曲線(xiàn)積分曲面積分總結(jié)

1、第十三章 曲線(xiàn)積分與曲面積分 定積分和重積分是討論定義在直線(xiàn)段、平面圖形或者空間區(qū)域上函數(shù)的積分問(wèn)題但在實(shí)際問(wèn)題中，這些還不夠用，例如當(dāng)我們研究受力質(zhì)點(diǎn)作曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所作的功以及通過(guò)某曲面流體的流量等問(wèn)題時(shí)，還要用到積分區(qū)域是平面上或空間中的一條曲線(xiàn)，或者空間中的一張曲面的積分，這就是這一章要講的曲線(xiàn)積分和曲面積分.第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)在設(shè)計(jì)曲線(xiàn)構(gòu)件時(shí)，常常要計(jì)算他們的質(zhì)量，如果構(gòu)件的線(xiàn)密度為常量，那么這構(gòu)件的質(zhì)量就等于它的線(xiàn)密度與長(zhǎng)度的乘積. 由于構(gòu)件上各點(diǎn)處的粗細(xì)程度設(shè)計(jì)得不完全一樣, 因此, 可以認(rèn)為這構(gòu)件的線(xiàn)密度(單位長(zhǎng)度的質(zhì)量)是變量, 這樣構(gòu)件的

2、質(zhì)量就不能直接按下面它的線(xiàn)密度與長(zhǎng)度的乘積來(lái)計(jì)算. 下面考慮如何計(jì)算這構(gòu)件的質(zhì)量. 設(shè)想構(gòu)件為一條曲線(xiàn)狀的物體在平面上的曲線(xiàn)方程為，其上每一點(diǎn)的密度為圖13-1如圖13-1我們可以將物體分為段，分點(diǎn)為, 每一小弧段的長(zhǎng)度分別是取其中的一小段弧來(lái)分析在線(xiàn)密度連續(xù)變化的情況下, 只要這一小段足夠小，就可以用這一小段上的任意一點(diǎn)的密度來(lái)近似整個(gè)小段的密度這樣就可以得到這一小段的質(zhì)量近似于將所有這樣的小段質(zhì)量加起來(lái)，就得到了此物體的質(zhì)量的近似值即用表示個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度. 為了計(jì)算的精確值, 取上式右端之和當(dāng)時(shí)的極限，從而得到即這個(gè)極限就是該物體的質(zhì)量這種和的極限在研究其它問(wèn)題時(shí)也會(huì)遇到. 上述結(jié)果是

3、經(jīng)過(guò)分割、求和、取極限等步驟而得到的一種和數(shù)得極限，這意味著我們已經(jīng)得到了又一種類(lèi)型的積分. 拋開(kāi)問(wèn)題的具體含義，一般的來(lái)研究這一類(lèi)型的極限，便引入如下定義：定義13.1 設(shè)是面內(nèi)的一條光滑曲線(xiàn)，函數(shù)在上有界，用上任意插入一點(diǎn)列將曲線(xiàn)分為個(gè)小段. 設(shè)第段的長(zhǎng)度為()，又為第個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)，作乘積，并作和，若當(dāng)各小段的長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí)，此和式的極限存在，稱(chēng)此極限為函數(shù)在曲線(xiàn)上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分, 也稱(chēng)為第一類(lèi)曲線(xiàn)積分, 記作, 即,其中叫做被積函數(shù)，稱(chēng)為積分弧段當(dāng)是光滑封閉曲線(xiàn)時(shí)，記為類(lèi)似地，對(duì)于三元函數(shù)在空間的曲線(xiàn)上光滑，也可以定義在曲線(xiàn)上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分這樣，本節(jié)一開(kāi)始所要求的構(gòu)件

4、質(zhì)量就可表示為由對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的定義可以知道，第一類(lèi)曲線(xiàn)積分具有下面的性質(zhì)：性質(zhì)1（線(xiàn)性性）若在曲線(xiàn)上第一類(lèi)曲線(xiàn)積分存在，是常數(shù), 則在曲線(xiàn)上第一類(lèi)曲線(xiàn)積分也存在，且；性質(zhì)（對(duì)路徑的可加性）設(shè)曲線(xiàn)分成兩段. 如果函數(shù)在上的第一類(lèi)曲線(xiàn)積分存在，則函數(shù)分別在和上的第一類(lèi)曲線(xiàn)積分也存在. 反之，如果函數(shù)在和上的第一類(lèi)曲線(xiàn)積分存在，則函數(shù)在上的第一類(lèi)曲線(xiàn)積分也存在. 并且下面等式成立(表示)對(duì)于三元函數(shù)也有類(lèi)似的性質(zhì)，這里不再一一列出二、 第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算定理13.1 設(shè)有光滑曲線(xiàn)即,連續(xù). 若函數(shù)在上連續(xù)，則它在上的第一類(lèi)曲線(xiàn)積分存在，且證明 如前面定義一樣，對(duì)依次插入，并設(shè)，. 注意到 記小

5、弧段的長(zhǎng)度為，那么由的連續(xù)性與微分中值定理，有所以, 當(dāng),時(shí),這里 設(shè)則有令 要證明的是因?yàn)閺?fù)合函數(shù)關(guān)于連續(xù)，所以在閉區(qū)間上有界，即存在，對(duì)一切有再由在上連續(xù)，所以它在上一致連續(xù). 即當(dāng)任給，必存在，當(dāng)時(shí)有從而所以再?gòu)亩ǚe分定義得所以當(dāng)兩邊取極限后，即得所要證的結(jié)果. 特別地，如果平面上的光滑曲線(xiàn)的方程為則例13.1計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與點(diǎn)之間的一段?。ㄈ鐖D13.1-2）圖13-2解：積分曲線(xiàn)由方程給出，所以 =.例13.2 計(jì)算積分，其中為圓周:.解：由于為圓周：，所以對(duì)于三元函數(shù)的對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分，可以類(lèi)似地計(jì)算例如：若曲線(xiàn)由參數(shù)方程，確定，則有，從而例13.計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中

6、是螺旋線(xiàn) 上相應(yīng)于從到的一段弧解：由上面的結(jié)論有例14.4 計(jì)算, 其中為球面被平面所截得的圓周. 解：由對(duì)稱(chēng)性可知所以 習(xí)題13.11. 計(jì)算半徑為、中心角為的圓弧對(duì)于它的對(duì)稱(chēng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（設(shè)線(xiàn)密度）.2. 計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中為螺旋線(xiàn)，上相應(yīng)于從到的一段弧.3. 計(jì)算其中為曲線(xiàn)由到間的一段弧.4. 求，其中是橢圓周位于第一象限中的那部分。5. 計(jì)算，其中為曲線(xiàn)6. 求，其中為雙曲線(xiàn)從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。7. 計(jì)算其中為連接及兩點(diǎn)的直線(xiàn)段.8. 計(jì)算其中為圓周,直線(xiàn)及軸在第一象限內(nèi)所扇形的整個(gè)邊界.9. 計(jì)算其中為折線(xiàn)這里、依次為點(diǎn)、。10. 計(jì)算，其中為曲線(xiàn), .11. 設(shè)為雙紐線(xiàn), 計(jì)算積分.

7、12. 設(shè)為橢圓, 其周長(zhǎng)為, 求.參考答案12.3.4.5. 6. 7. 8. 9. 910. 11. 12. 第二節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)在實(shí)際中還碰到另一種類(lèi)型的曲線(xiàn)積分問(wèn)題. 例如一質(zhì)點(diǎn)在空間中沿著一條光滑曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)上的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的另一個(gè)端點(diǎn)，在外力的作用下質(zhì)點(diǎn)從移動(dòng)到，現(xiàn)在求力所作的功由物理學(xué)的知識(shí)知道：若力與位移都是常量，則有現(xiàn)在的是一個(gè)變量，位移也是變量為了求這個(gè)力所作的功我們可以將曲線(xiàn)分為若干段，即插入個(gè)分點(diǎn)這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分別是在每一小段弧上，可以認(rèn)為位移就是，在小弧段上任意一點(diǎn)的力來(lái)近似質(zhì)點(diǎn)在這一小弧段上移動(dòng)所受到的力于是

8、當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從移到時(shí)，力所作的功近似為，將力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力的作用下質(zhì)點(diǎn)從移動(dòng)到所作的功的一個(gè)近似值即注意，而，所以再對(duì)上面的式子在所有小弧段的長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí)取極限，若此極限存在，則它就是變力所作的功即從上面的分析可以看出，這個(gè)極限和前面講的定積分、重積分、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分有很多的相似之處，它們都是一個(gè)乘積和式的極限這種類(lèi)型的和式極限就是下面所要討論的第二類(lèi)曲線(xiàn)積分. 定義13.2 (對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分或第二類(lèi)曲線(xiàn)積分)設(shè)是空間中的一條有向光滑的曲線(xiàn)，兩個(gè)端點(diǎn)分別為和. 為定義在曲線(xiàn)上的函數(shù)在內(nèi)依次插入點(diǎn)，并令, .并且這些點(diǎn)是從到排列的. 這樣就將曲線(xiàn)分為個(gè)小的弧段()設(shè)，

9、記各弧段長(zhǎng)為, . 在小弧段上任意取一點(diǎn)，若存在，則稱(chēng)之為函數(shù)在有向曲線(xiàn)上對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分(或稱(chēng)第二類(lèi)曲線(xiàn)積分)記為即類(lèi)似地，有；分別稱(chēng)為函數(shù)在有向曲線(xiàn)上對(duì)坐標(biāo)和對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分這些積分統(tǒng)稱(chēng)為第二類(lèi)曲線(xiàn)積分若為封閉有向曲線(xiàn),則記為、或由對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的定義可以知道，第二類(lèi)曲線(xiàn)積分具有下面的性質(zhì)：；（線(xiàn)性性）：若兩個(gè)向量值函數(shù) ()存在, 則其中為常數(shù)（路徑可加性）：設(shè)定向分段光滑曲線(xiàn)分成了兩段和，它們與的取向相同（記），則向量函數(shù)在上的第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的存在性等價(jià)于在和上的第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的存在性且有；（方向性）：如用表示與方向相反的曲線(xiàn)則有二、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分(第二類(lèi)曲線(xiàn)積分)的計(jì)算設(shè)的參數(shù)方

10、程為,，起點(diǎn)為 ，終點(diǎn)為，函數(shù)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在曲線(xiàn)弧上插入若干個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)于的取值分別是， ，而，于是由積分中值定理有此時(shí)取分別為,，則類(lèi)似地可以求和最后得到在這里的積分的上限下限分別對(duì)應(yīng)的是終點(diǎn)和起點(diǎn)求曲線(xiàn)積分的一般步驟是： 將用各自的參數(shù)方程代替； 將曲線(xiàn)的終點(diǎn)和起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值作為定積分的上下限； 將曲線(xiàn)積分化為定積分，計(jì)算定積分，即得曲線(xiàn)積分的值特別地，當(dāng)是平面上的光滑曲線(xiàn)時(shí)，設(shè)曲線(xiàn)方程為，起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值分別是，則有例13.5 計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中為拋物線(xiàn)從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧，如右圖圖13-3解：將要計(jì)算的積分化為對(duì)的定積分，即以為積分變量，曲線(xiàn)段的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值分別是和，將曲

11、線(xiàn)積分中的用代替，所以例13.6計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中為橢圓沿逆時(shí)針?lè)较蚪猓簷E圓的參數(shù)方程為，所以可以將曲線(xiàn)積分化為對(duì)參數(shù)的積分，起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的的值分別為和，分別用參數(shù)方程代替，由此得到注意，這個(gè)積分剛好是橢圓面積的兩倍 例13-4圖 例13-5圖例13.7計(jì)算曲線(xiàn)積分其中分別是下面的曲線(xiàn)段(1) 拋物線(xiàn)上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧；(2) 直線(xiàn)上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段?。?3) 從點(diǎn)到沿軸點(diǎn)，再由豎直向上至解：(1) 將積分化為對(duì)的定積分，起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值分別是，用代替，得到(2) 將積分化為對(duì)的定積分，起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值分別是，用代替，得到(3) 曲線(xiàn)可以分為兩段，其中一段的曲線(xiàn)方程為，另一段的曲線(xiàn)方

12、程為，所以從上面的例子可以看出，盡管積分的路徑不同，但是積分的值仍然有可能相同例13.8 計(jì)算,其中為(1) 半徑為、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)針?lè)较蚶@行的上半圓周；（2）從點(diǎn)沿軸到點(diǎn)的直線(xiàn)段解 （1）因?yàn)椋? 那么 (2) 積分路徑為 從變到, 因此 從這個(gè)例子可以看出: 被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.三、 兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的聯(lián)系設(shè)有向光滑曲線(xiàn)段的參數(shù)方程為，起點(diǎn)和終所對(duì)應(yīng)的分別是和，且，函數(shù)在曲線(xiàn)段上連續(xù)，則對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分又有向曲線(xiàn)的切向量為，它的方向余弦為，注意到，所以由對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分公式，得到由此得到兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系：類(lèi)似地，可以得到兩類(lèi)空間曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系：

13、這種聯(lián)系還可以用向量表示：其中，為在曲線(xiàn)上點(diǎn)處的單位切向量，稱(chēng)為有向曲線(xiàn)元習(xí)題13.21. 求. 其中曲線(xiàn)為圓周, 積分方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较? .2. 求, 其中是由球面與平面, , 的交線(xiàn),和組成.3. 求. 其中曲線(xiàn)由折線(xiàn)及曲線(xiàn)兩段組成, 起點(diǎn)為, 其中, 4. 求. 其中是由直線(xiàn), , 及構(gòu)成的正向矩形回路.5. 求. 其中為曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)于從到的一段.6. 試將表示成定積分. 其中是以,及為頂點(diǎn)的三角形的正向.7. 求. 其中為有向閉曲線(xiàn), 這里依次為點(diǎn),.8. 一力場(chǎng)由沿橫軸正方向的常力所構(gòu)成. 試求當(dāng)一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿圓周按逆時(shí)針?lè)较蛞七^(guò)位于第一象限的那一段弧時(shí)場(chǎng)力所作的功.9. 一力場(chǎng)中的

14、力的大小與作用點(diǎn)到軸的距離成正比, 方向垂直向著該軸. 試求當(dāng)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿圓周由點(diǎn)依正向移動(dòng)到點(diǎn)時(shí),力場(chǎng)所作的功.10. 求是從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線(xiàn).參考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 第三節(jié)Green公式及曲線(xiàn)積分與路徑的無(wú)關(guān)性 一 Green公式本節(jié)將建立對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與二重積分之間的聯(lián)系即要建立起平面區(qū)域上的二重積分與的邊界曲線(xiàn)上的第二類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系.我們知道閉區(qū)域有兩種，一種是單連通的，一種是多連通的若區(qū)域D中的任意一條封閉曲線(xiàn)的內(nèi)部的所有的點(diǎn)都屬于D，則D是單連通的，否則是多連通的如圖13-6是單連通的，圖13-7是多連通的例如區(qū)域是單連通的，

15、而區(qū)域是多連通的通俗的說(shuō)，多連通區(qū)域就是有“洞”的區(qū)域?qū)τ趨^(qū)域的邊界曲線(xiàn)，我們規(guī)定它的正方向如下：當(dāng)觀察者沿著曲線(xiàn)移動(dòng)時(shí)，區(qū)域D總是在他的左邊由此定義可以知道，當(dāng)區(qū)域D是單連通區(qū)域時(shí)，其邊界曲線(xiàn)的正方向時(shí)逆時(shí)針?lè)较虍?dāng)D是多連通時(shí)，如其邊界曲線(xiàn)為L(zhǎng),則其外面的曲線(xiàn)的方向是逆時(shí)針的，內(nèi)部的曲線(xiàn)的方向是順時(shí)針的如圖 圖13-6 圖13-7yxoabDcdABCE定理13.2（Green公式） 若有界閉區(qū)域的邊界由分段光滑的曲線(xiàn)L所圍成，函數(shù)在區(qū)域中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有，其中取正向圖13-8證明：(1)設(shè)區(qū)域是有界單連通的閉區(qū)域，平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)與的邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)，即既是型，又是型的區(qū)域不

16、妨設(shè)或，則同理可證于是D(2)若平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)與的邊界的交點(diǎn)多于兩個(gè)，可以引入輔助曲線(xiàn)將區(qū)域劃分為有限個(gè)區(qū)域使得每個(gè)部分符合(1)中所討論的形式如圖13-9所示.將分成三個(gè)既是-型區(qū)域又是-型區(qū)域，于是 圖13-9 FGDCEAB(對(duì)來(lái)說(shuō)是正方向)(3)若區(qū)域不止有一條閉曲線(xiàn)所圍成, 如圖13-10.這時(shí)可適當(dāng)添加直線(xiàn)段, 則的邊界曲線(xiàn)由,及構(gòu)成. 這樣就把區(qū)域轉(zhuǎn)化為(2)的情形來(lái)處理. 由(2)可知 圖13-10 (對(duì)來(lái)說(shuō)為正方向)Green公式的實(shí)質(zhì): 溝通了沿閉曲線(xiàn)的積分與二重積分之間的聯(lián)系. 從而可應(yīng)用它來(lái)簡(jiǎn)化某些曲線(xiàn)積分或二重積分的計(jì)算. 為了便于記憶, Green公式也可寫(xiě)成下

17、面形式下面介紹一個(gè)Green公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用設(shè)，則有格林公式，有所以區(qū)域的面積為，其中是區(qū)域的邊界曲線(xiàn)若取, 也有的面積.若取, 也有的面積.例13.9 計(jì)算星形線(xiàn)所圍成的圖形的面積解：所成的面積為從上面的例子可以看到，有時(shí)用公式計(jì)算面積相當(dāng)容易下面利用Green公式計(jì)算一個(gè)對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分例13.10 計(jì)算,其中是曲線(xiàn)，方向是逆時(shí)針?lè)较蚪猓菏菂^(qū)域的邊界，所以有Green公式有上面的例子中的曲線(xiàn)是封閉曲線(xiàn)，對(duì)于不是封閉曲線(xiàn)的曲線(xiàn)，也可以考慮用Green公式，不過(guò)這時(shí)要先將加一段曲線(xiàn)使得原來(lái)的曲線(xiàn)封閉看下面的例子例13.11計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中是半圓周，上從點(diǎn)到的曲線(xiàn)解：為了能利用Green公式，連

18、接，得到封閉曲線(xiàn)所以又所以 .例13.12 計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中是一條不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的光滑閉曲線(xiàn)，方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蚪猓毫?，注意到設(shè)所圍的區(qū)域?yàn)椋?，則若，則函數(shù)在點(diǎn)不可微，所以不能直接用Green公式，取的一個(gè)充分小的鄰域（其邊界為,順時(shí)針?lè)较颍?，使得（如圖13.11）則在區(qū)域中是可微的，所以所以 圖13-11例13.13 計(jì)算拋物線(xiàn)與軸所圍成的圖形的面積.解ONA為直線(xiàn),曲線(xiàn)AMO由函數(shù)表示,如圖13-12. 因此o 圖13-12二 曲線(xiàn)積分與路徑的無(wú)關(guān)性由上節(jié)例13.12可知起點(diǎn)與終點(diǎn)相同, 盡管積分的路徑不同，但是積分的值仍然有可能相同而由例13.13可知起點(diǎn)與終點(diǎn)相同, 若沿的路徑不同,則其

19、積分值也不同. 本部分將討論曲線(xiàn)在什么條件下,它的值與所沿的路徑無(wú)關(guān). 下面先給出積分與路徑無(wú)關(guān)的定義.定義13.3 設(shè)為平面區(qū)域,為上的連續(xù)函數(shù). 如果對(duì)于內(nèi)以?xún)牲c(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的逐段光滑曲線(xiàn), 積分值只與兩點(diǎn)有關(guān), 而同從到的路徑無(wú)關(guān),就稱(chēng)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān). 否則稱(chēng)為與路徑有關(guān).由Green公式可以得到下面的定理。定理13.3 設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則下面的四個(gè)條件是等價(jià)的：(1) 在區(qū)域的任意逐段光滑的封閉曲線(xiàn)上，有；BA(2) 在區(qū)域中的連接的曲線(xiàn)段上的曲線(xiàn)積分與從到的路徑無(wú)關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。(3) 是某個(gè)函數(shù)的全微分。(4) 在區(qū)域中有成立。 圖13-13證明 (1)(2): 設(shè)為內(nèi)任意兩點(diǎn), 是中從到的任意兩條路徑,則就是內(nèi)的一條閉曲線(xiàn). 如圖13-13所示. 因此于是因此曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān).(2)(3) 設(shè)為一定點(diǎn), 為內(nèi)任意一點(diǎn). 由(2)可知, 曲線(xiàn)積分與路徑選擇無(wú)關(guān), 所以當(dāng)在內(nèi)變動(dòng)時(shí),其積分值是點(diǎn)的函數(shù), 記BACyDxx圖13-14取充分性, 使, 則函數(shù)對(duì)于的偏增量因?yàn)樵趦?nèi)對(duì)于曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān),所以由于直線(xiàn)段平行于軸, 所以, (常數(shù)), 因而,且對(duì)上式右端應(yīng)用積分中值定理,得再因在上的連續(xù)性, 推得同理可證 于是有.(3)(4) 設(shè)存在函數(shù)使得故因此因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),所以從而在內(nèi)每一點(diǎn)處都有(4)