第一章數(shù)學(xué)模型概述

1、課 題第一章 數(shù)學(xué)模型概述 1.1數(shù)學(xué)模型概念1.2建模的方法和步驟1.3數(shù)學(xué)模型實(shí)例教學(xué)內(nèi)容1、介紹數(shù)學(xué)建模課程的發(fā)展歷史、數(shù)學(xué)模型的概念2、數(shù)學(xué)建模的基本要求和步驟以及簡單的數(shù)學(xué)模型教學(xué)目標(biāo)1、使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用2、建立模型的方法和基本步驟，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模課程對(duì)后繼課程的作用教學(xué)重點(diǎn)掌握數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用及模型的方法和步驟 教學(xué)難點(diǎn)各種數(shù)學(xué)模型的判斷以及方法分析雙語教學(xué)內(nèi)容、安排Mathematical modeling數(shù)學(xué)模型 model representation模型表示 model parameter 模型參數(shù) model evaluation模型評(píng)價(jià)mode

2、ling模型建立model reduction模型歸納model hypothesis 模型假設(shè)教學(xué)手段、措 施 課堂講授加多媒體演示 學(xué)生分組討論作業(yè)、后記學(xué)生自我設(shè)計(jì)一次作業(yè) 可以從書后自選題目 也可以通過調(diào)查自擬題目 教學(xué)過程及教學(xué)設(shè)計(jì)備注1.0 數(shù)學(xué)模型概述數(shù)學(xué)模型的歷史可以追朔到人類開始使用數(shù)字的時(shí)代。隨著人類使用數(shù)字，就不斷地建立各種數(shù)學(xué)模型，以解決各種各樣的實(shí)際問題。真正開始提出并研究它是20世紀(jì)70年代后，由于它的廣泛性與實(shí)用性，于是迅速推廣開來。大家可能記得，從20世紀(jì)80年代起，我國科技界興起一股不論對(duì)什么問題進(jìn)行研究，都要建立數(shù)學(xué)模型的風(fēng)氣。從此不論是經(jīng)濟(jì)、法律、醫(yī)學(xué)、農(nóng)

3、業(yè)、交通、軍事等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)模型已不再是陌生的名詞。在工程領(lǐng)域，電氣工程師必須建立所要控制的生產(chǎn)過程的數(shù)學(xué)模型，以便對(duì)控制裝置做出相應(yīng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算，才能實(shí)現(xiàn)有效的過程控制。氣象工作者為了得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，一刻也離不開根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立數(shù)學(xué)模型。生理醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間、空間變化的數(shù)學(xué)模型，就可以分析藥物的療效，有效的指導(dǎo)臨床用藥。城市規(guī)劃者需要建立一個(gè)包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對(duì)城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)依據(jù)。廠長經(jīng)理們應(yīng)該能夠根據(jù)產(chǎn)品的需求狀況、生產(chǎn)條件和成本、貯藏費(fèi)用等信息，籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型。

4、就是在平時(shí)對(duì)大學(xué)生的綜合素質(zhì)測評(píng)、對(duì)教師的工作業(yè)績的評(píng)定以及諸如訪友、采購等日常活動(dòng)，都可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，確立一個(gè)最佳方案。對(duì)于廣大的科學(xué)技術(shù)工作者對(duì)大學(xué)生的綜合素質(zhì)測評(píng)、對(duì)教師的工作業(yè)績的評(píng)定以及諸如訪友、采購等日常活動(dòng)，都可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，確立一個(gè)最佳方案。建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。1.1 數(shù)學(xué)模型概念什么是數(shù)學(xué)模型？國外曾有人為它下了一個(gè)簡單的定義：把實(shí)際問題中各變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)形式表示出來，叫數(shù)學(xué)模型。由于它的廣泛性，這樣的定義是難以真正理解它的真實(shí)含義的。下面舉例來說明。 1、各種應(yīng)用題的解過程都是數(shù)學(xué)模型。小學(xué)的數(shù)學(xué)題可

5、以分為文字題、碼字題兩類，文字題較難，何況還可以有不同的方法、思路，這部分就是在建模。碼字題是以有算式，只需要求解可看作是模型的求解。有這樣一道題：雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？用x,y分別表示雞與兔，可以列出方程 x+y=46 ,2x+4y=128 實(shí)際上，這組方程就是上述雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型。列出方程，原問題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問題。方程的解為x=28,y=18,這就是雞兔同籠問題的答案。2、九大行星的發(fā)現(xiàn)過程。太陽系有金星、木星、水星、火星、土星、地球、天王星、海王星和冥王星等九大行星。在人類發(fā)展的歷史長河中，很早就通過觀察注意到了金、木、水、火、土五星與其他星不同，中國歷

6、史上的“五行”一說也來源于此。在伽利略、哥白尼的太陽中心說確立后，到它們與地球一起是太陽系的行星，不久又發(fā)現(xiàn)了天王星，之后就沒有單純依靠觀測發(fā)現(xiàn)其它行星。微積分發(fā)展起來之后，人們開始計(jì)算太陽系每顆行星的軌道?？茖W(xué)家發(fā)現(xiàn)除了天王星之外，其它行星的理論軌道基本吻合，而天王星相差較大，仿佛受到變化的外力，估計(jì)有另外的行星通過萬有引力在影響著它的運(yùn)動(dòng)。于是根據(jù)天王星運(yùn)動(dòng)的差異，經(jīng)過計(jì)算確定在天空的某一位置應(yīng)有一顆行星，這樣在確定的區(qū)域里去尋找，終于發(fā)現(xiàn)了第八顆行星海王星。后來，有人又用同樣方法發(fā)行了冥王星。用數(shù)學(xué)模型的方法找到海王星的事例 ，是人類最初也是最重要的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的范例。 3、美國總統(tǒng)競選

7、的模擬?？偨y(tǒng)競選是西方國家政治上的頭等大事。早在20世紀(jì)30年代美國有人企圖用模擬的方法去預(yù)測一下評(píng)選結(jié)果，于是國家出資成立一個(gè)專門的預(yù)測機(jī)構(gòu)。通過收集資料，設(shè)計(jì)不同的模擬方法，進(jìn)行預(yù)測。開始沒有使用計(jì)算機(jī)，后來使用計(jì)算機(jī)，前后預(yù)測了十幾屆的總統(tǒng)選舉，都收到非常好的效果。首先選舉結(jié)果沒有預(yù)測錯(cuò)，其次票數(shù)也基本一致，這里主要是采用模擬模型。4、內(nèi)燃機(jī)。從20世紀(jì)80年代初起，國內(nèi)興起優(yōu)化設(shè)計(jì)的風(fēng)氣，各行各業(yè)的設(shè)計(jì)部門紛紛采用各種方法對(duì)自己的設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化。日本在這方面走在前面，各種產(chǎn)品小巧而精致，性能又好。內(nèi)燃機(jī)設(shè)計(jì)行業(yè)首先注意到，內(nèi)燃機(jī)的性能主要由進(jìn)氣過程、排氣過程而決定，而兩個(gè)過程由凸輪來完成

8、，那么凸輪的形狀設(shè)計(jì)自然是內(nèi)燃機(jī)性能的主要決定因素了。但凸輪有許多個(gè)，每一條曲線的形狀都影響性能，而性能也由許多指標(biāo)構(gòu)成。這比n維變量m個(gè)目標(biāo)函數(shù)的非線性規(guī)劃難得多，盡管許多人在這些方面做了大量工作，但是本質(zhì)的問題數(shù)學(xué)模型的建立沒有解決。至今仍是應(yīng)用領(lǐng)域的一個(gè)有待解決的實(shí)際問題。 又有人提出一種方法，排氣管里的壓力波能充分決定整機(jī)的工作性能，經(jīng)研究這個(gè)壓力波滿足熱傳導(dǎo)方程，而不同的設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)著方程中參數(shù)a與初始條件、邊界條件的改變 。 反過來確定a與一組初始條件、邊界條件也就相當(dāng)于進(jìn)行了一個(gè)設(shè)計(jì)。于是采用計(jì)算機(jī)模擬這個(gè)熱傳導(dǎo)方程的發(fā)展過程，在反復(fù)調(diào)整邊界與初始條件在模擬，尋找最優(yōu)的性能就是一種全

9、新的內(nèi)燃機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。 5、沖壓過程的有限元模型。沖壓是汽車、拖拉機(jī)等行業(yè)非常重要的加工手段，即板材在壓力下加工成型。模具是蟲牙行業(yè)最重要的設(shè)備。成本最高，遠(yuǎn)超出常人的預(yù)想。一套模具在設(shè)計(jì)、制造出來以后，它的性能已經(jīng)決定，不能更改。因此模具的設(shè)計(jì)與制造都是責(zé)任很大的工作，技術(shù)性要求很高，能否在設(shè)計(jì)時(shí)用計(jì)算機(jī)模擬一下所設(shè)計(jì)的模具的工作性能呢？這是當(dāng)今世界上公認(rèn)的難題之一。我國年輕學(xué)者胡平教授潛心鉆研近十年，基本上解決了這一難題，世界上公認(rèn)他的成果處于首位。他是采用有限元?jiǎng)偠染仃嚦晒δM了瞬間的鋼板變形，指出危險(xiǎn)應(yīng)力區(qū)與具體的應(yīng)力值，這樣反復(fù)修改設(shè)計(jì)、反復(fù)模擬，即可得到性能優(yōu)良的模具設(shè)計(jì)。6、到

10、處都有數(shù)學(xué)模型的問題。不是只有那些大型、核心的問題才有數(shù)學(xué)模型問題。在我們身邊到處都是需解決的問題。20年前中央發(fā)下的售房的價(jià)格通知中，有這樣一個(gè)公式，根據(jù)房子成本價(jià)、使用年限以及工齡等可算出應(yīng)售出的價(jià)格。公式中有一括號(hào)，括號(hào)內(nèi)是加減運(yùn)算，其中一項(xiàng)是工齡，括號(hào)外是一乘法運(yùn)算，因子是用房子使用年限構(gòu)成的“成新率”，含義是按使用年限對(duì)房屋進(jìn)行折舊。但是有心人馬上能看出公式有毛病；工齡也被折舊了！本來對(duì)這樣一個(gè)簡單的公式，只要對(duì)大家都公平，沒有仔細(xì)推敲，也都知道這不是出于數(shù)學(xué)工作者之手，不必求全責(zé)備。可偏偏不是這樣，明顯看出這種公式對(duì)工齡越長、住房越久的人越不公平。從這個(gè)問題更看出普及建模能力的必要

11、性。 從以上 我們可以看出數(shù)學(xué)建模的威力，它正在滲透在科學(xué)研究、工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、我們?nèi)粘Ｉ畹雀鞣矫妗Ｄ敲磾?shù)學(xué)建模的精確定義是什么呢？ 數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和工具，對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的信息（現(xiàn)象、數(shù)據(jù)）加以翻譯、歸納的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過演繹、求解以及推斷，給出數(shù)學(xué)上的分析、預(yù)測、決策或控制，再經(jīng)過翻譯和解釋，回到現(xiàn)實(shí)世界中。最后，這些推論或結(jié)果必須經(jīng)受實(shí)際的檢驗(yàn)，完成實(shí)踐理論實(shí)踐這一循環(huán)，如果檢驗(yàn)的結(jié)果是正確或基本正確的，即可用來指導(dǎo)實(shí)際，否則，要重新考慮翻譯、歸納的過程，修改數(shù)學(xué)模型。作為一種數(shù)學(xué)思考方法，數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)的對(duì)象通過心智活動(dòng)構(gòu)造出的一種能抓住其重要而且有用的（常常是形象化的或者

12、是符號(hào)的）表示。更具體的，它是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，動(dòng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，或者能預(yù)測對(duì)象的未來狀況，或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制。數(shù)學(xué)模型的分類方法有多種，下面介紹常用的幾種分類。（1）按照建模所用的數(shù)學(xué)方法的不同，可分為：人口模型、運(yùn)籌學(xué)模型、微分方程模型、概率統(tǒng)計(jì)模型、控制論模型等（2）按照數(shù)學(xué)模型應(yīng)用領(lǐng)域的不同，可分為人口模型、交通模型、體育模型、經(jīng)濟(jì)預(yù)測模型、金融模型、環(huán)境模型、生理模型、生態(tài)模型、企業(yè)管理模型等。（3）按照人們對(duì)建模機(jī)理的了解程度的不同，有所謂的白箱模型、灰箱模型

13、、黑箱模型。這是把研究對(duì)象比喻為一只箱子里的機(jī)關(guān)，我們要通過建模過程來揭示它的奧妙。白箱主要指物理、力學(xué)等一些機(jī)理比較清楚的學(xué)科描述的現(xiàn)象以及相應(yīng)的工程技術(shù)問題，這些方面的數(shù)學(xué)模型大多已經(jīng)建立起來，還需深入研究的主要是針對(duì)具體問題的特定目的進(jìn)行修正與完善，或者是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)與控制等?；蚁渲饕干鷳B(tài)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中遇到的模型，人們對(duì)其機(jī)理雖有所了解，但還不很清楚，故稱為灰箱模型。在建立和改進(jìn)模型方面還有不少工作要做。黑箱主要指生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中遇到的模型機(jī)理知之甚少，甚至完全不清楚，故稱為黑箱模型。人們對(duì)其在工程技術(shù)和現(xiàn)代化管理中，有時(shí)會(huì)遇到這樣一類問題：由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜以及觀測困難

14、等原因，人們也常常將它作為灰箱或黑箱模型問題來處理。應(yīng)該指出的是，這三者之間并沒有嚴(yán)格的界限，而且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，情況也是不斷變化的。（1）按照模型的表現(xiàn)特性可分為：確定性與不確定性模型，不確定模型包括隨機(jī)性與模糊性模型；靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型；離散模型與連續(xù)模型；線性模型與非線性模型。1.2 建立數(shù)學(xué)模型的方法與步驟現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題是多種多樣的，而且大多比較復(fù)雜，所以建立數(shù)學(xué)模型需要哪些步驟并沒有固定的模式，建立數(shù)學(xué)模型的方法也是多種多樣的。但是建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟也有一些共性的東西，掌握這些共同的規(guī)律，將有助于數(shù)學(xué)模型的建立。一、數(shù)學(xué)建模的方法數(shù)學(xué)建模的方法按大類來分，大體上可分為

15、三類：1、機(jī)理分析法機(jī)理分析法就是根據(jù)人們對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的了解和已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)等，分析研究對(duì)象中各變量（因素）之間的因果關(guān)系，找出反映其內(nèi)部機(jī)理規(guī)律的一類方法。建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。使用這種方法的前提是我們對(duì)研究對(duì)象的機(jī)理應(yīng)有一定的了解，模型也要求具有反映內(nèi)在特征的物理意義。機(jī)理分析要針對(duì)具體問題來做，因而沒有統(tǒng)一的方法。2、測試分析法 測試分析法是一種統(tǒng)計(jì)分析法。當(dāng)我們對(duì)研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行觀測，并以這些實(shí)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，按照一定準(zhǔn)則找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型。當(dāng)我們對(duì)對(duì)象的內(nèi)部規(guī)律基本不清楚，模型也不需要反映內(nèi)部特征時(shí)，就可以用測試分

16、析建立數(shù)學(xué)模型。測試分析有一套完整的數(shù)學(xué)方法。3、綜合分析法對(duì)于某些實(shí)際問題，人們常將上述兩種建模方法結(jié)合起來使用，例如用機(jī)理分析法確定模型結(jié)構(gòu)，再用測試分析法確定其中的參數(shù)。二、數(shù)學(xué)建模的基本步驟 1、模型準(zhǔn)備對(duì)原始實(shí)際問題進(jìn)行調(diào)查了解，抽象出語言敘述的模型及相應(yīng)的數(shù)據(jù)條件等，常稱為原始模型。（建模競賽時(shí)常換為問題重述）實(shí)際上抽象出原始模型時(shí)常常已對(duì)模型的進(jìn)一步建立及求解有了一些想法，比如采用哪種類型模型等。此步驟注意要將所有搜集到信息表述出來，不得遺漏。2、 模型的假設(shè) 這是非常關(guān)鍵的步驟，不同的假設(shè)將導(dǎo)致不同的模型。利用合理的、必要的假設(shè)，可簡化模型使無法下手的問題易于解決。但過度的簡化

17、而得到模型可能無實(shí)用價(jià)值，舍不得簡化又可能導(dǎo)致得到一個(gè)無法求解的模型或模型的解非常復(fù)雜，以致無法應(yīng)用。到底簡化到什么程度要看問題的性質(zhì)與建模的目的以及建立模型中的某些需要。這里要提醒注意的是：對(duì)于一個(gè)假設(shè)，最重要的是它是否符合實(shí)際情況，而不是為了解決問題的方便。 通常做出合理假設(shè)的依據(jù)一是處于對(duì)問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)，二是來自對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可是兩者的綜合。作假設(shè)時(shí)既要運(yùn)用與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識(shí)，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量使問題簡化（比如線形化、均勻化等）。經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用 有些假設(shè)在建模過程中才會(huì)

18、發(fā)現(xiàn)。因此在建模是要注意調(diào)整假設(shè)。 3 、模型的建立 根據(jù)所做的假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個(gè)量之間的等式或不等式關(guān)系，列出表格，畫出圖形或確定其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是建立數(shù)學(xué)模型的第三步。為了完成這項(xiàng)數(shù)學(xué)模型的主體工作，人們常常需要廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，除了微積分、微分方程、線形代數(shù)及概率統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)外，還會(huì)用到諸如規(guī)劃論、排隊(duì)論、圖與網(wǎng)絡(luò)及對(duì)策論等。推而廣之，可以說任何一個(gè)數(shù)字分支都可能應(yīng)用到建模過程中。當(dāng)然，這并非是要求你對(duì)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都精通，事實(shí)上，建模時(shí)還有一個(gè)原則，即盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，以便使更多的人了解和使用。當(dāng)然建模時(shí)需要有靈活、清醒的頭腦和創(chuàng)造性思維的能力。4 、模型的求解

19、 根據(jù)模型的性質(zhì)，選擇適當(dāng)方法去解?？赡苁墙馕龇椒ǎ部墒乔蠼平?。再根據(jù)建模目的對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測，決策與控制。5、模型的檢驗(yàn) 把上述結(jié)果翻譯回原問題，并與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性與合理性。如果模型不實(shí)用，必須從模型假設(shè)那里重新開始，直到得到可用模型。6、模型的推廣在一個(gè)領(lǐng)域里解決問題時(shí)建立的模型，常常簡單的稍加處理推廣到其他領(lǐng)域。討論一下這方面內(nèi)容常可增加模型的應(yīng)用價(jià)值。1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例1 、動(dòng)物數(shù)量預(yù)測 動(dòng)物繁殖是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，但是如果把影響繁殖的許多次要因素忽略掉或簡單化，可以用微分方程來描述動(dòng)物繁殖的近似規(guī)律，從而預(yù)測動(dòng)物的未來數(shù)量。 現(xiàn)在考慮一種與外界完全隔絕的某種動(dòng)物，這里所說的與外界完全隔絕是指他們中間除了本族的出生和死亡之外，既無遷出也無遷入。設(shè)在時(shí)間內(nèi)這種動(dòng)物的數(shù)量為，并設(shè)他們的出生率與死亡率分別為與。假設(shè)他們的出生數(shù)與死亡數(shù)都和時(shí)的動(dòng)物數(shù)及時(shí)間成正比。現(xiàn)在討論動(dòng)物數(shù)與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系。 ：設(shè)時(shí)間間隔內(nèi)動(dòng)物數(shù)量的增量為，由題意，在時(shí)間內(nèi)這類動(dòng)物的出生量與死亡量分別為與。根據(jù)增量=出生量-死亡量 容易得到 即 如果處始條件為，解上變量