三視圖中的小正方體計(jì)數(shù)問題

1、三視圖中的小正方體計(jì)數(shù)問題湖北省黃石市下陸中學(xué)宋毓彬通過小正方體組合圖形的三視圖，確定組合圖形中小正方體的個(gè)數(shù)，在中考或競(jìng)賽中經(jīng)常會(huì)遇到。解決這類問題如果沒有掌握正確的方法，僅僅依賴空間想象去解決，不僅思維難度很大，還很容易出錯(cuò)。通過三視圖計(jì)算組合圖形的小正方體的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是要弄清楚這個(gè)小正方體組合圖形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少層，理清了這些行、列、層的數(shù)量，小正方體的個(gè)數(shù)就迎刃而解了。在三視圖中，通過主視圖、俯視圖可以確定組合圖形的列數(shù)；通過俯視圖、左視圖可以確定組合圖形的行數(shù)；通過主視圖、左視圖可以確定行與列中的最高層數(shù)。以上方法可簡(jiǎn)要地概括為：“主俯看列，俯左看行，主左看層，

2、分清行列層，計(jì)數(shù)不求人?！币?、結(jié)果唯一的計(jì)數(shù)例1在一倉庫里堆放著若干個(gè)相同的正方體貨箱，倉庫管理員將這堆貨箱的三視圖畫了出來，如圖所示，則這堆正方體貨箱共有（）。A9箱 B10箱 C11箱 D12箱分析：由三視圖可知，這堆貨箱共有從前到后3行，從左到右3列。由左視圖：第一行均為1層，第二行最高2層，第三行最高3層；由主視圖：第一列、第三列均為1層，第二列（中間列）最高為3層。故第二行、第二列為2層，第三行第二列為3層，其余皆為1層。各行、各列小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖中所表示。這堆貨箱共有3+1+1+2+1+1=9（箱）。二、結(jié)果不唯一的計(jì)數(shù)例2（“希望杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）如圖2，是由若干個(gè)（大于

3、8個(gè)）大小相同的正方體組成的一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖，則這個(gè)幾何體的左視圖不可能是（）。分析：由給出的主視圖、俯視圖可以看出，該幾何體共有2行，3列。第1列均為1層，第2列最高2層，第3列最高3層。左視圖為A時(shí)，第1行、第2行最高均為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行、第2行均可為1層或2層，但不能同時(shí)為1層；第3列兩行均為3層。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖A所示，最少為1+2+1+3+3=10（個(gè)），最多為1+2+2+3+3=11個(gè)。左視圖為B時(shí)，第一行均為1層，第二行最高為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層，第2行均可為2層；第3列第1行為1層，第2行為

4、3層。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖B所示。小正方體個(gè)數(shù)為1+1+1+2+3=8（個(gè)）。左視圖為C時(shí)，第1行最高為2層，第2行最高為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層或2層，第2行均為1層或2層，但不能同時(shí)為1層；第3列第1行為1層或2層（不能與第2列第1行同時(shí)都為1層），第2行為3層。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖C所示。小正方體最少為1+2+1+1+3=8（個(gè)），最多為1+2+2+2+3=10個(gè)。左視圖為D時(shí)，第1行最高為3層，第2行最高為2層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層或2層，第2行均為1層或2層，但不能同時(shí)為1層；第3列第1行為3層，第2行為1層或

5、2層（不能與第2列第2行同時(shí)為1層）。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖C所示。小正方體最少為1+1+3+2+1=8（個(gè)），最多為1+2+2+2+3=10個(gè)。三、根據(jù)兩種視圖確定計(jì)數(shù)范圍例3（江陰市中考題）如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，則n的所有可能的值之和為。分析：題設(shè)中給出了主視圖、俯視圖，可知這個(gè)幾何體有3列，2行。第1列均為1層，第2列最高2層，第3列最高3層。幾何體小正方形塊數(shù)最少的情況是：第1列只有1行，共1個(gè)小正方體；第2列兩行，至少有一行為2層，最少有2+1=3個(gè)小正方體，第3列兩行中至少有一行為3層，最少有1+3=4個(gè)正方體。因此幾何體最少塊數(shù)為1+3+4=8塊。幾何體小正方形塊數(shù)最多的情況是：第1列只有1行，共1個(gè)小正方體；第2列兩行，均為2層，共有2+2=4個(gè)小正方體，第3列兩行均為3層，共有3+3=6個(gè)正方體。因此幾何體最少塊數(shù)為1+4+6=11塊。故n的所有可能值為8，9，10，11，所有可能值之和為8+9+10+11=38。作者簡(jiǎn)介：宋毓彬，男，45歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考、數(shù)理天地、中學(xué)生數(shù)學(xué)、數(shù)理化學(xué)習(xí)、數(shù)理化解題研究、中學(xué)課程