高一數(shù)學平面向量知識點及典型例題解析

1、高一數(shù)學 第八章 平面向量第一講 向量的概念與線性運算一【要點精講】1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。幾何表示法，；坐標表示法。向量的模（長度），記作|.即向量的大小，記作|。向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，規(guī)定平行于任何向量。（與0的區(qū)別）單位向量1。平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量，記作相等向量記為。大小相等，方向相同2向量的運算（1）向量加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法.如圖，已知向量a，b，在平面內任取一點，作a，b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即 a+b特殊情況：向量加法的三角形法則可推廣至多個向量

2、相加： ，但這時必須“首尾相連”。向量減法： 同一個圖中畫出 要點:向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點.（3）實數(shù)與向量的積3兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。 二【典例解析】題型一： 向量及與向量相關的基本概念概念例1判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向

3、 (2)若(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同 (6)若，則；(7)若，則 (8) 的充要條件是且； (9) 若四邊形ABCD是平行四邊形,則練習. (四川省成都市一診)在四邊形ABCD中，“”是“四邊形ABCD為梯形”的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件 D、既不充分也不必要條件題型二: 考查加法、減法運算及相關運算律例2 化簡= 練習1.下列命題中正確的是 A BC D2.化簡得 A B C D3如圖，D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、CA的中點，則()A.0 B.0C.0 D.0 題型三: 結合圖型考查向量加、減法例3在所

4、在的平面上有一點，滿足，則與的面積之比是( )A B C D例4重心、垂心、外心性質ABCDE練習: 1如圖，在ABC中，D、E為邊AB的兩個三等分點，=3a，=2b，求，2已知求證3若為的內心，且滿足，則的形狀為（ ） A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形4已知O、A、B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足20，則()A2 B2 C. D5已知平面上不共線的四點O，A，B，C.若320，則等于_6已知平面內有一點P及一個ABC，若，則()A點P在ABC外部 B點P在線段AB上 C點P在線段BC上 D點P在線段AC上7在ABC中，已知D是AB邊上一點，若2，則等于

5、()A. B. C D題型四: 三點共線問題例4 設是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點共線,求k的值例5已知A、B、C、P為平面內四點， A、B、C三點在一條直線上 =m+n，求證： m+n=1練習：1已知：，則下列關系一定成立的是（ ）A、A，B，C三點共線 B、A，B，D三點共線C、C，A，D三點共線 D、B，C，D三點共線2(原創(chuàng)題)設a，b是兩個不共線的向量，若2akb，ab，2ab，且A，B，D三點共線，則實數(shù)k的值等于_第2講 平面向量的基本定理與坐標表示一【要點精講】1平面向量的基本定理如果是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中

6、不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.2平面向量的坐標表示 如圖，在直角坐標系內，我們分別取與軸、軸方向相同的_單位向量_ 、作為基底任作一個向量，有且只有一對實數(shù)、，使得，把叫做向量的（直角）坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示與相等的向量的坐標也為特別地，特別提醒：設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示3平面向量的坐標運算（1）若，則=，= （2） 若，則 （3）若和實數(shù)，則4向量平行的充要條件的坐標表示：設=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中B

7、CAOMD ()的充要條件是二【典例解析】題型一. 利用一組基底表示平面內的任一向量例1 在OAB中，AD與BC交于點M，設=，=，用,表示.練習:1若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是 ( ) A與 B3與2 C與 D與22在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若，其中、R，則_.題型二: 向量加、減、數(shù)乘的坐標運算 例3 已知A（2,4）、B（3,1）、C（3,4）且,求點M、N的坐標及向量的坐標. 練習:1. (2008年高考遼寧卷)已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，則頂點D的坐標為() A(2，)

8、B(2，) C(3,2) D(1,3) 2若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P點的坐標； 3若M(3, -2) N(-5, -1)，點P在MN的延長線上，且 , 求P點的坐標； 4.(2009年廣東卷文)已知平面向量a= ，b=， 則向量 ( ) A平行于軸 B.平行于第一、三象限的角平分線 C.平行于軸 D.平行于第二、四象限的角平分線 5在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，4)，點G(2，1)在中線AD上，且2， 則點C的坐標是()A(4,2) B(4，2) C(4，2) D(4,2)6設向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a、4b2c、2(a

9、c)、d的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量d為()A(2,6) B(2,6) C(2，6) D(2，6)7已知A(7,1)、B(1,4)，直線yax與線段AB交于C，且2，則實數(shù)a 等于()A2 B1 C. D.題型三: 平行、共線問題 例4已知向量，若，則銳角等于（ ） A B C D 例5（2009北京卷文）已知向量， 如果那么( ) A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向 練習：1若向量=(-1,x)與=(-x, 2)共線且方向相同，求x 2已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及， 求(1)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限。 (2)四邊形OABP能否

10、構成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由。 3已知向量a(1,2)，b(0,1)，設uakb，v2ab，若uv，則實數(shù)k的值為() A1 B C. D1 4已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則等于()A B2 C. D25已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若點A、B、C能構成三角形，則實數(shù)m應滿足的條件是()Am2 Bm Cm1 Dm16已知點,試用向量方法求直線和（為坐標原點）交點的坐標。題型四：平面向量綜合問題例6 已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量， .（1） 若/，求證：ABC為等腰三角形； （2） 若，邊

11、長c = 2，角C = ，求ABC的面積 . 練習已知點A(1,2)，B(2,8)以及，求點C、D的坐標和的坐標第三講 平面向量的數(shù)量積及應用一【要點精講】（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量a與a，作，則AA（）叫與的夾角；說明：兩向量的夾角必須是同起點的，范圍0q180。C（2）數(shù)量積的概念非零向量與， =cos叫做與的數(shù)量積（或內積）。規(guī)定；向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義： 等于的長度與在方向上的投影的乘積.注意：只要就有=0，而不必=或=由=及0卻不能推出=得|cos1=|cos2及|0，只能得到|cos1=|cos2，即、

12、在方向上投影相等，而不能得出=(見圖) ()()，向量的數(shù)量積是不滿足結合律的對于向量、，有|，等號當且僅當時成立（4）向量數(shù)量積的性質向量的模與平方的關系：。乘法公式成立；向量的夾角：cos=。（5）兩個向量的數(shù)量積的坐標運算已知兩個向量，則=。（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作。兩個非零向量垂直的充要條件：O（7）平面內兩點間的距離公式設，則或。 (平面內兩點間的距離公式) .二【典例解析】題型一：數(shù)量積的概念例1判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）； （3）若，則；（4）若，則當且僅當時成立；（5）對任意向量都成立；題型二. 求數(shù)量積、求模、求夾角的簡單應用例2 ；題型三

13、：向量垂直、平行的判定例3已知向量，且，則 。例4已知，按下列條件求實數(shù)的值。（1）；（2）；。例5已知： 、是同一平面內的三個向量，其中 =（1，2）（1） 若|，且，求的坐標；（2）若|=且與垂直，求與的夾角.練習1 若非零向量、滿足，證明:2 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一個內角為直角， 求k值3已知向量，若，則（ ） A B C D4.5知為的三個內角的對邊，向量若，且，則角的大小分別為（ ）AB C D題型四：向量的夾角例6已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，求與的夾角練習1已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。2| |=1，| |

14、=2，= + ，且，則向量與的夾角為（ ） A30B60C120D1503設非零向量a、b、c滿足|a|b|c|，abc，則a，b()A150 B120 C60 D304已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，則a與c的夾角為()A30或150 B60或120 C120 D1505.過ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點D、E若，則的值為（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC為正三角形易得3選B4. 設向量與的夾角為，則5在ABC中，()|2，則三角形ABC的形狀一定是()A等邊三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形.6已知向量與互相垂直

15、，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 題型五：求夾角范圍例7已知,且關于的方程有實根,則與的夾角的取值范圍是 A.0, B. C. D.練習1設非零向量=，=，且，的夾角為鈍角，求的取值范圍2已知，,如果與的夾角為銳角,則的取值范圍是 3設兩個向量、，滿足，、的夾角為60，若向量與向量 的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.4如圖，在RtABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問ABCa的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值.（以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立坐標系）題型六：向量的模例8已知向量與的夾角為，則等于（ ） A5B4C3D1練習1平面向量a與b的

16、夾角為，a(2,0), | b |1，則 | a2b |等于（ ）A. B.2 C.4 D.122已知平面上三個向量、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120，（1）求證：；（2）若，求的取值范圍.3平面向量中，已知，且，則向量_.4已知|=|=2，與的夾角為600，則+在上的投影為 。5設向量滿足，則 。6已知向量的方向相同，且，則_ _。7、已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的（ )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 內心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 內心題型七：向量的綜合應用 例9已知向量(2,2)，(4,1)，在x軸上一點P，使有最小值，則P點的坐標是

17、_練習1已知向量a與向量b的夾角為120，若向量cab，且ac，則的值為()A. B. C2 D. 2已知圓O的半徑為a，A，B是其圓周上的兩個三等分點，則()A.a2 Ba2 C.a2 Da24(原創(chuàng)題)三角形ABC中AP為BC邊上的中線，|3，2，則|_.5在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知m(cos，sin)，n(cos，sin)，且滿足|mn|.(1)求角A的大??；6在中，的面積是，若，則( ) 7已知為原點，點的坐標分別為，其中常數(shù)，點在線段上，且有，則的最大值為（ ） 8已知向量， 。（1）當，求；（2）若對一切實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍。9. 若正方形邊長為

18、1，點在線段上運動，則的取值范圍是 -2，10. 已知是兩個互相垂直的單位向量, 且,則對任意的正實數(shù),的最小值是 .各區(qū)期末試題ABCDE10. 在矩形中，是上一點，且，則的值為（ ）ABPO19.如圖，點是以為直徑的圓上動點，是點關于的對稱點，.（）當點是弧上靠近的三等分點時，求的值；（）求的最大值和最小值.（6）如圖所示，點在線段上，且，則 （ ）（A） （B） （C） （D）(16) 在平面直角坐標系中，已知點，點是直線上的一個動點.（）求的值；（）若四邊形是平行四邊形，求點的坐標；（）求的最小值.3已知、三點的坐標分別為、，且.2 若，求角的值； 若，求的值.2已知二次函數(shù)對任意，都有成立，設向