八上培優(yōu)5 半角模型

1、八上培優(yōu)5 半角模型 方法 ：截長(zhǎng)補(bǔ)短圖形中，往往出現(xiàn)90套45的情況，或者120套60的情況。還有套的情況。求證的結(jié)論一般是線段的和與差。解決的方法是：截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形。旋轉(zhuǎn)移位造全等，翻折分割構(gòu)全等。截長(zhǎng)法，補(bǔ)短法。勤學(xué)早和新觀察均有專題。勤學(xué)早在第49頁(yè)，新觀察在第34頁(yè)，新觀察培優(yōu)也有涉及，在第27頁(yè)2兩個(gè)例題，29頁(yè)有習(xí)題。這些題大同小異，只是圖形略有變化而已。證明過(guò)程一般要證明兩次全等。下面是新觀察第34頁(yè)14題1.如圖，四邊形ABCD中，A=C=90，D=60，AB=BC，E、F，分別在AD、CD上，且EBF=60求證：EF=AE+CF2.如圖2，在上題中，若E、F分別在A

2、D、DC的延長(zhǎng)線上，其余條件不變，求證：AE=EF+CF3.如圖 ，A=B=90, CA=CB=4, ACB=120，ECF=60，AE=3, BF=2, 求五邊形ABCDE的面積.4如圖1在四邊形ABCD中AB=AD，B+D=180，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且BAD=2EAF（1）求證：EF=BE+DF；（2）在（1）問(wèn)中，若將AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系3.如圖3，在四邊形ABDC中，B+C=180，DB=DC，BDC=120，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60的角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接E

3、F，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明勤學(xué)早第40頁(yè)試題1.（1）如圖，已知AB=AC, BAC=90，MAN=45, 過(guò)點(diǎn)C作NCAC交AN于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BM垂直AB交AM于點(diǎn)M，當(dāng)MAN在BAC內(nèi)部時(shí)，求證：BM+CN=MN; 證明: 延長(zhǎng)MB到點(diǎn)G，使BG=CN,連接AG，證ABGACN(SAS),AN=AG,BAG= ,NAC. LGAM=GAB + BAM=CAN+ BAM=45= LMAN,證AMNAMG(SAS), MN= MG= BM + BG= BM十NC.證明二：(此證明方法見(jiàn)新觀察培優(yōu)第27頁(yè)例3)(2)如圖,在(1)的條件下，當(dāng)AM和AN在AB兩側(cè)時(shí)，

4、(1)的結(jié)論是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:不成立，結(jié)論是:MN=CN一BM,證明略.基本模型二 120套 602. 如圖，ABC中,CA=CB,ACB=120,E為AB上一點(diǎn)，DCE=60,DAE= 120，求證:DE=BE證明:(補(bǔ)短法)延長(zhǎng)EB至點(diǎn)F,使BF=AD,連接CF,則CBFCAD，CEDCEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如圖,ABC中,CA=CB,ACB=120，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，DCE=DAE= 60，求證:AD+DE= BE.證明:(截長(zhǎng)法)在BE上截取BF=AD,連接CF，易證CBFCAD，CEDACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比較：

5、新觀察培優(yōu)版27頁(yè) 例4如 圖，ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，BDC是頂角，BDC= 120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交AB、AC于M、N, 連結(jié)MN, 試求AMN的周長(zhǎng). 分析:由于MDN=60,BDC=120，所以BDM十CDN=60，注意到DB=DC，考慮運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)法”將BDM和CDN移到一起，尋找全等三角形。另一方面,AMN的周長(zhǎng)AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,證三角形全等解決.新觀察培優(yōu)68頁(yè) 例5 如圖， 點(diǎn)A、B(2,0)在x軸上原點(diǎn)兩側(cè), C在y軸正半軸上, OC平分ACB.(1)求A點(diǎn)坐標(biāo);(2)如圖

6、1, AQ在CAB內(nèi)部，P是AQ上一點(diǎn)， 滿足ACB=AQB, AP=BQ. 試判斷CPQ的形狀，并予以證明;(3)如圖2. BDBC交y軸負(fù)半軸于D. BDO=60, F為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，E在CB延長(zhǎng)線上，滿足CFD+E=180. 當(dāng)F在AC上移動(dòng)時(shí)，結(jié)論: CE+CF值不變; CE- CF 值不變，其中只有一個(gè)正確結(jié)論，請(qǐng)選出正確結(jié)論并求其值.分析:(1)由A0CBOC得AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由ACPBCQ得CP=CQ.(3)由BDBC,BDO=60，可證得等邊ABC.由角平分線和DB_BC的條件,運(yùn)用對(duì)稱性知DA AC, 連結(jié)DA, 加上條件CFD+E=180，可

7、證得ADFBDE, 于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三 2套4.(1)如圖1，在四邊形ABCD中， AB=AD,B+D=180, E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且EAF= BAD, 求證:EF= BE+ DF;(2)如圖2,在(1)的條件下,若將AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E,F分別運(yùn)動(dòng)到BC,CD延長(zhǎng)線上時(shí)，則EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是EF=BE- DF解:(1)EF=BE+DF, 延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE,連接AG,證ABEADG (SAS), .AE = AG,BAE=DAG，EAF=BAD,GAF=DAG+DAF=BAE+DAF= BAD- EAF= EAF,

8、 EAF= GAF,證AEFGAF(SAS),.EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;(2)EF=BE DF.外地試題：4探究：如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45，連結(jié)EF，求證：EF=BE+DF應(yīng)用：如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，AB=AD，B+D=90，EAF=BAD，若EF=3，BE=2，則DF= 5通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45，連接EF，求證：EF=BE+DF（1）思路梳理

9、AB=AD，把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ADG，可使AB與AD重合ADG=B=90，F(xiàn)DG=ADG+ADC=180，則點(diǎn)F、D、G共線根據(jù) SAS，易證AFG AFE，從而得EF=BE+DF；（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=90點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，EAF=45若B、D都不是直角，但當(dāng)B與D滿足等量關(guān)系 B+D=180時(shí)，仍有EF=BE+DF，請(qǐng)給出證明；（3）聯(lián)想拓展如圖3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且DAE=45，猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程7（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，B=D

10、=90，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且AE=AF，EAF=BAD現(xiàn)有三種添加輔助線的方式：延長(zhǎng)EB至G，使BG=BE，連接AG；延長(zhǎng)FD至G，使DG=BE，連接AG；過(guò)點(diǎn)A作AGEF，垂足為G；選擇其中一種方法添加輔助線，求證：EF=BE+FD；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，若B+D=180，EAF=BAD，證明（1）中結(jié)論是否還成立？（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EAF=BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明8（1）如圖1，在四邊形ABCD中

11、，AB=AD，B=D=90，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD求證：EF=BE+FD（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EAF=BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明半角模型問(wèn)題放到平面直角坐標(biāo)系中是什么樣子？1如圖1，在

12、平面直角坐標(biāo)系中，AOB為等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖2，若C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰直角ACD，ACD=90，連接OD，求AOD的度數(shù)；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于E，F(xiàn)為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G在EF的延長(zhǎng)線上，以EG為直角邊作等腰RtEGH，過(guò)A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M，連FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明；若不成立，說(shuō)明理由解：（1）如圖所示，作AEOB于E，A（4，4），OE=4，AOB為等腰直角三角形，且AEOB，OE=EB=4，OB=8，B（8，0）；（2）如圖所示，作AEOB于E，DFOB于F， ACD為等腰直角

13、三角形，AC=DC，ACD=90即ACF+DCF=90，F(xiàn)DC+DCF=90，ACF=FDC，又DFC=AEC=90，DFCCEA（AAS），EC=DF=4，F(xiàn)C=AE，A（4，4），AE=OE=4，F(xiàn)C=OE，即OF+EF=CE+EF，OF=CE，OF=DF，DOF=45，AOB為等腰直角三角形，AOB=45，AOD=AOB+DOF=90；（3）AM=FM+OF成立，理由：如圖所示，在AM上截取AN=OF，連ENA（4，4），AE=OE=4，又EAN=EOF=90，AN=OF，EANEOF（SAS），OEF=AEN，EF=EN，又EGH為等腰直角三角形，GEH=45，即OEF+OEM=45，

14、AEN+OEM=45又AEO=90，NEM=45=FEM，又EM=EM，NEMFEM（SAS），MN=MF，AM-MF=AM-MN=AN，AM-MF=OF，即AM=FM+OF；【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型2如圖，直線L交x軸、y軸分別于A、B兩點(diǎn)，A（a，0）B（0，b），且（a-b）2+|b-4|=0（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）C為線段AB上一點(diǎn)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足OCP=45，求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過(guò)B作BDOC

15、，交OC、OA分別于F、D兩點(diǎn)，E為OA上一點(diǎn)，且CEA=BDO，試判斷線段OD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由（1）解：（a-b）2+|b-4|=0，a-b=0，b-4=0，a=4，b=4，A（4，0），B（0，4）；（2）3如圖，已知A（a，b），ABy軸于B，且滿足|a-2|+（b-2）2=0，（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1，分別以AB，AO為邊作等邊三角形ABC和AOD，試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖2，過(guò)A作AEx軸于E，點(diǎn)F、G分別為線段OE、AE上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足FBG=45，試探究的值是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由2017-20

16、18江漢期中 如圖點(diǎn)P為ABC的外角BCD的平分線上一點(diǎn)，PA=PB（1）求證：PAC=PBC；（2）作PEBC于E，若AC=5，BC=11，求SPCE：SPBE；（3）若M、N分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，且MPN=APB，則線段AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PEBC于E，PFAC于F，PC平分DCB，PE=PF，在RtPAF和RtPEB中，PFPEPAPB，RtPAFRtPEB，PAC=PBC，（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PFAC于F，PEBC，CP是BCD的平分線，PE=PF，PCF=PCE，PC=PC，PCFPCE，CF=CE，由（1）知，RtPAFRtP

17、EB，AF=BE，AF=AC+CF，BE=BC-CE，AC+CF=BC-CE，5+CF=11-CE，CE=CF=3，PFCPEC，SPFC=SPEC，RtPAFRtPEB，SPAF=SPEB，SPCE：SPBE=SPFC：SPFA=CFPF：ACPF=CF：AC=3：（3+5）=3：8；（3）如圖3，在BC上截取BQ=AM，在PMA和PQB中， PMAPQB，PM=PQ，MPA=QPB，APM+QPA=APQ+QPB，即：APB=MPQ，MPN=APB，MPN=MPQ，MPN=QPN，在MPN和QPC中，MPNQPC，MN=QN，BN=AM+MN【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形

18、的判定和性質(zhì)，角平分線定理和角平分線的定義，解（1）的關(guān)鍵是判斷出PE=PF，解（2）的關(guān)鍵是求出CE=CF=3，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形判斷出APB=MPQ，是一道中等難度的中考常考題2015-2016江岸八上期末 已知在ABC中，AB=AC，射線BM、BN在ABC內(nèi)部，分別交線段AC于點(diǎn)G、H（1）如圖1，若ABC=60、MBN=30，作AEBN于點(diǎn)D，分別交BC、BM于點(diǎn)E、F求證：CE=AG；若BF=2AF，連接CF，求CFE的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，AE交BM于點(diǎn)F，連接CF，若BFE=BAC=2CFE，直接寫(xiě)出= 【分析】（1）由AB=AC，ABC=60得到ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BAC=ACB=60，AB=CA，求得BFD=AFG=60，推出EAC=GBA證得GBAEAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；如圖1，取BF的中點(diǎn)K連接AK，由BF=2AF，推出FAK是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到FAK=FKA，求得AKFBFD30，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=CE，BG=AE，AGB=AEC，推出GAKEFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CFE=AKF即可得到結(jié)論；（2）如圖2，在BF上取BK=AF，連接AK，推出EAC=FBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)