高等數(shù)學(xué)題庫第09章(多元函數(shù)積分學(xué))

1、第9章 多元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題一一、填空題1. 當(dāng)函數(shù)在有界閉區(qū)域上_時，在上的二重積分必存在；2. 為圓形閉區(qū)域，則3. 改變積分次序 （1） （2） （3）二、利用二重積分的性質(zhì)估計二重積分的值，其中是矩形閉區(qū)域：。三、計算下列積分的值1. ，其中是由兩坐標(biāo)軸及直線所圍成的閉區(qū)域。2. 已知，先寫出該二重積分的兩個二次積分，然后求其值，其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域。3. 4.* 由圍成。四*、利用極坐標(biāo)計算下列各題1. 2. 3. 。習(xí)題二1. 把一元定積分的數(shù)學(xué)模型推廣到二維空間，可以得到一個式子，你對這個式子要說些什么？回顧一元定積分的定義，可以對推廣來的這個式子描述出一個完整的數(shù)學(xué)模型，

2、被稱為二重積分的定義，你將獲得一次創(chuàng)造思維的鍛煉，對微元法模型的理解會更深刻，不妨一試.答：在式中，表示將平面區(qū)域任意分割成份后所得第個小區(qū)域的面積, 是取自于第個小區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)的坐標(biāo), 是二元函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值, 表示所有個小區(qū)域的直徑中的最大值. 上式即表示, 當(dāng)函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)有定義時, 可將平面區(qū)域任意分割成個小區(qū)域, 記為第個小區(qū)域的面積, 然后在第個小區(qū)域中任取一點(diǎn), 作乘積的和, 若此和式的極限存在, 則稱二元函數(shù)在區(qū)域上可積, 并稱上述極限值為二元函數(shù)在區(qū)域上的二重積分.2. 試述二重積分的幾何意義.答：當(dāng)在區(qū)域上滿足時，代表以面內(nèi)的區(qū)域?yàn)榈?，以曲面為頂?shù)那斨w的體積.

3、若, 則表示體積的負(fù)值.3. 直角坐標(biāo)系下，計算二重積分的主要步驟有哪些，其關(guān)鍵點(diǎn)是什么？答：主要步驟包括：畫出積分區(qū)域的圖形, 選擇積分次序并確定積分限，計算累次積分求得結(jié)果. 其關(guān)鍵點(diǎn)是恰當(dāng)選擇積分次序，正確確定積分限.4. 在極坐標(biāo)系下，計算二重積分的主要步驟有哪些，其關(guān)鍵點(diǎn)是什么？答：主要步驟包括：畫出積分區(qū)域的圖形，并用極坐標(biāo)描述D, 確定積分限, 計算累次積分求得結(jié)果.其關(guān)鍵點(diǎn)是用極坐標(biāo)正確描述積分區(qū)域. 5. 就二重積分的積分域而言，當(dāng)積分域具有什么樣的特征時，選擇在直角坐標(biāo)系（或極坐標(biāo)系）下計算該二重積分.答：當(dāng)積分域?yàn)閳A形域，扇形域或形域時，選擇極坐標(biāo)系下計算該二重積分，其它

4、型的積分域，一般均選擇直角坐標(biāo)系下計算該二重積分.6. 當(dāng)被積函數(shù)具有何種特征時，選擇在直角坐標(biāo)系（或極坐標(biāo)系）下計算該二重積分方便.答：當(dāng)被積函數(shù)中含有的項(xiàng)時，選擇極坐標(biāo)系下計算二重積分方便，其他情形，一般選擇直角坐標(biāo)系下計算二重積分. 7 計算, 其中. 1 -1 1 解：如圖，先對后對積分，則 = = =.8計算，其中由面上的直線及所圍成.解：如圖, ： 先對后對積分，得-Oxy2211= = =.9。計算，其中.解：令，則可表為：從而 =2=. 10計算，其中是由圓周與所圍成的平面區(qū)域.解：令，則可表為：從而 = = = =4.Oxy2411畫出二次積分的積分區(qū)域并交換積分次序.解：的

5、圖形如右圖，由圖可知，也可表為所以交換積分次序后，得.Oxyz12利用二重積分求下列幾何體的體積：（1）平面所圍成的幾何體.解： 如圖，該幾何體可看成是以面的區(qū)域：為底，以平面為頂?shù)闹w，故體積 =.（2）平面= 0及拋物面所圍成的幾何體.解：如圖，幾何體可看成是以面內(nèi)的區(qū)域 ：為底，以曲面為頂?shù)那斨w.故體積V=令, 則：從而=.習(xí)題三1. 試述計算三重積分的步驟.答：（1）畫出積分區(qū)域的圖形, （2）將向某個坐標(biāo)面投影確定積分次序和積分限,（3）計算累次積分求得結(jié)果.2. 總結(jié)出在不同的坐標(biāo)系下，區(qū)域的表達(dá)式和相應(yīng)的積分表達(dá)式.答：（1）直角坐標(biāo)下，常將方形域表為： 相應(yīng)的積分表達(dá)式為：

6、（2）柱面坐標(biāo)系下：常將柱形域表為DxyabOz：相應(yīng)的積分表達(dá)式為=.（3）球面坐標(biāo)系下：常將球形域表為：相應(yīng)的積分表達(dá)式為： .DxyzOOxyz113 計算其中由平面 , = 0, = 0, = 0所圍成的空間區(qū)域.解：如圖 所以 .4。選適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計算，其中是由柱面及平面所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域.Oxyz11解：如圖，選取柱面坐標(biāo)系計算方便,此時， 所以 = =.5利用三重積分計算曲面與曲面所圍成的立體體積.解：取球面坐標(biāo)系計算方便.此時兩曲面所圍區(qū)域 所以體積 = = =.答案習(xí)題一一、1. 連續(xù)； 2. 3.(1) , (2) ,(3) 。二、。三、1.2. 3. 4. 1。四

7、、1. 2. 3.。習(xí)題二1. 把一元定積分的數(shù)學(xué)模型推廣到二維空間，可以得到一個式子，你對這個式子要說些什么？回顧一元定積分的定義，可以對推廣來的這個式子描述出一個完整的數(shù)學(xué)模型，被稱為二重積分的定義，你將獲得一次創(chuàng)造思維的鍛煉，對微元法模型的理解會更深刻，不妨一試.答：在式中，表示將平面區(qū)域任意分割成份后所得第個小區(qū)域的面積, 是取自于第個小區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)的坐標(biāo), 是二元函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值, 表示所有個小區(qū)域的直徑中的最大值. 上式即表示, 當(dāng)函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)有定義時, 可將平面區(qū)域任意分割成個小區(qū)域, 記為第個小區(qū)域的面積, 然后在第個小區(qū)域中任取一點(diǎn), 作乘積的和, 若此和式的極限存

8、在, 則稱二元函數(shù)在區(qū)域上可積, 并稱上述極限值為二元函數(shù)在區(qū)域上的二重積分.2. 試述二重積分的幾何意義.答：當(dāng)在區(qū)域上滿足時，代表以面內(nèi)的區(qū)域?yàn)榈?，以曲面為頂?shù)那斨w的體積. 若, 則表示體積的負(fù)值.4. 直角坐標(biāo)系下，計算二重積分的主要步驟有哪些，其關(guān)鍵點(diǎn)是什么？答：主要步驟包括：畫出積分區(qū)域的圖形, 選擇積分次序并確定積分限，計算累次積分求得結(jié)果. 其關(guān)鍵點(diǎn)是恰當(dāng)選擇積分次序，正確確定積分限.4. 在極坐標(biāo)系下，計算二重積分的主要步驟有哪些，其關(guān)鍵點(diǎn)是什么？答：主要步驟包括：畫出積分區(qū)域的圖形，并用極坐標(biāo)描述D, 確定積分限, 計算累次積分求得結(jié)果.其關(guān)鍵點(diǎn)是用極坐標(biāo)正確描述積分區(qū)域

9、. 5. 就二重積分的積分域而言，當(dāng)積分域具有什么樣的特征時，選擇在直角坐標(biāo)系（或極坐標(biāo)系）下計算該二重積分.答：當(dāng)積分域?yàn)閳A形域，扇形域或形域時，選擇極坐標(biāo)系下計算該二重積分，其它型的積分域，一般均選擇直角坐標(biāo)系下計算該二重積分.6. 當(dāng)被積函數(shù)具有何種特征時，選擇在直角坐標(biāo)系（或極坐標(biāo)系）下計算該二重積分方便.答：當(dāng)被積函數(shù)中含有的項(xiàng)時，選擇極坐標(biāo)系下計算二重積分方便，其他情形，一般選擇直角坐標(biāo)系下計算二重積分. 8 計算, 其中. 1 -1 1 解：如圖，先對后對積分，則 = = =.8計算，其中由面上的直線及所圍成.解：如圖, ： 先對后對積分，得-Oxy2211= = =.9。計算，

10、其中.解：令，則可表為：從而 =2=. 10計算，其中是由圓周與所圍成的平面區(qū)域.解：令，則可表為：從而 = = = =4.Oxy2411畫出二次積分的積分區(qū)域并交換積分次序.解：的圖形如右圖，由圖可知，也可表為所以交換積分次序后，得.Oxyz12利用二重積分求下列幾何體的體積：（1）平面所圍成的幾何體.解： 如圖，該幾何體可看成是以面的區(qū)域：為底，以平面為頂?shù)闹w，故體積 =.（2）平面= 0及拋物面所圍成的幾何體.解：如圖，幾何體可看成是以面內(nèi)的區(qū)域 ：為底，以曲面為頂?shù)那斨w.故體積V=令, 則：從而=.習(xí)題三1. 試述計算三重積分的步驟.答：（1）畫出積分區(qū)域的圖形, （2）將向某個坐標(biāo)面投影確定積分次序和積分限,（3）計算累次積分求得結(jié)果.2. 總結(jié)出在不同的坐標(biāo)系下，區(qū)域的表達(dá)式和相應(yīng)的積分表達(dá)式.答：（1）直角坐標(biāo)下，常將方形域表為： 相應(yīng)的積分表達(dá)式為：（2）柱面坐標(biāo)系下：常將柱形域表為DxyabOz：相應(yīng)的積分表達(dá)式為=.（3）球面坐標(biāo)系下：常將球形域表為：相應(yīng)的積分表達(dá)式為： .DxyzOOxyz113 計