概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論2-1

1、第二章隨機(jī)變量及其分布, 2.隨機(jī)變量與其分布函數(shù) 2.離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.,2.1 隨機(jī)變量與其分布函數(shù),1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.,例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則1,2,3,4,5,6中每個樣本點(diǎn)eii對應(yīng)著事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i”，i=1,2,6；,2.1.1 隨機(jī)變量,又如：某射手每次命中目標(biāo)的概率為0.8，若獨(dú)立射出次，求次命中目標(biāo)次數(shù)為k的概率，k=0,1,2,3。,令X=三次中命中目標(biāo)的次數(shù)，則題意要求 PX=

2、k, k=0,1,2,3.,這是三重伯努利試驗(yàn)，因此,如：某放射物在一段時間內(nèi)放出的粒子數(shù)為k的概率。,令為“在一段時間內(nèi)放出的粒子數(shù)”， 即求PX=k, k=0,1,2,;,如：測定元件壽命，樣本空間 t | t 0 ,令為“元件使用壽命”，則“元件壽命大于500小時”可表為PX500.,2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.,例1 將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面與反面出現(xiàn)的情況，則S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT, TTH,TTT,我們用X表示三次拋擲為正面的次數(shù)，則可得到下面這個定義域?yàn)镾，值域?yàn)閷?shí)

3、數(shù)集合0,1,2,3即,正如裁判員在運(yùn)動場上不叫運(yùn)動員的名字 而叫號碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系.,又如 擲硬幣，正面，反面，令“”代表“”，“0”代表“T”,則0,1,出現(xiàn)H的概率為PX=1=0.5;,定義2.1.1 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S=e. X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù). 稱X=X(e)為隨機(jī)變量.,這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值單值函數(shù).,e.,X(e),R,隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z,W,N 等表示,而表示隨機(jī)變量所取的值時,一般采用小寫字母 x, y, z, w, n等.,（1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的

4、范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個值.,（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.,注意：這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣！,有了隨機(jī)變量, 隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.,引入隨機(jī)變量的意義,如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機(jī)變量.,事件收到不少于1次呼叫,沒有收到呼叫, X 1,X= 0,隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.,事件及 事件概率,隨機(jī)變量

5、及其 取值規(guī)律,解：分析,例1 一報童賣報，每份0.15元，其成本為0.10元. 報館每天給報童1000份報，并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回. 設(shè)X為報童每天賣出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.,當(dāng) 0.15 X1000 0.1時，報童賠錢,故報童賠錢 X 666,我們將研究兩類隨機(jī)變量：,如“取到次品的個數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)”等.,隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量,連續(xù)型隨機(jī)變量,例如，“電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中常遇到的“測量誤差”等.,這兩種類型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點(diǎn).,如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，

6、那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間 內(nèi)的,概率.,設(shè) X 是一個 隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，稱,為 X 的分布函數(shù) ,記作 F (x) .,2.1.2 分布函數(shù),(1) 在分布函數(shù)的定義中, X是隨機(jī)變量, x是參變量.,(2) F(x) 是隨機(jī)變量 X取值不大于 x 的概率，即分 布函數(shù)F(x)描述的是事件“Xx”的概率，它是定義 于全體實(shí)數(shù)，以區(qū)間0,1為值域的普通函數(shù).,(3) 對任意實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間( x1 , x2 內(nèi) 的概率為：,P x1X x2,因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.,=P X x2 - P X x1 ,=

7、 F(x2)-F(x1),請注意 :,分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)， 正是通過它，我們可以用高等數(shù) 學(xué)的工具來研究隨機(jī)變量的概率 問題.,分布函數(shù)(x)的性質(zhì),（2）F(x)是一個不減函數(shù)，即若,（3）,（4）F(x+0)=F(x), 即F(x)是右連續(xù)的,（1） 0F(x)1,如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個隨機(jī)變量X 的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)(1)-(4)是鑒別一個函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件.,（5）PXx=1-PXx=1-F(x),（6）PX=x=F(x)-F(x-0),（7）PXx=F(x-0),（8）PXx=1-F(x-0),例2,設(shè) 隨機(jī)變量 X 的分布律為,的分布函數(shù)圖,例3 若在ABC中任取一點(diǎn)P，令到邊AB的距離為x，求x的分布函數(shù).,例4 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,求常數(shù)A和B的值.,試說明F