統(tǒng)計學(xué)課件及習(xí)題答案05第五章 平均指標(biāo)與變異指標(biāo)

1、第五章 平均指標(biāo)和變異指標(biāo),統(tǒng)計學(xué)課件,制作人： 胡 寶 臣,教學(xué)目的與要求 通過本章學(xué)習(xí)，了解平均指標(biāo)和變異指標(biāo)的意義和種類，掌握各種計算方法及其應(yīng)用條件，能夠應(yīng)用平均指標(biāo)和變異指標(biāo)進行基本的統(tǒng)計分析。,教學(xué)重點與難點 重點：各種加權(quán)平均數(shù)的計算方法和應(yīng)用條件； 理解計算和應(yīng)用平均指標(biāo)的原則；標(biāo)準(zhǔn)差的計算； 難點：正確理解加權(quán)平均計算方法中的權(quán)數(shù)； 權(quán)數(shù)的正確選擇；變異系數(shù)計算的必要性。,本章主要內(nèi)容,變異指標(biāo),平均指標(biāo)的 計算方法,平均指標(biāo)的 概念及作用,第一節(jié) 平均指標(biāo),一、平均指標(biāo)的概念及作用,平均 指標(biāo),靜態(tài) 平均指標(biāo),動態(tài) 平均指標(biāo),反映總體各單位在 某一數(shù)量標(biāo)志下標(biāo)志值 的一般水

2、平,反映研究對象在不同 時間上的水平的一般水平,平均指標(biāo)：簡單地說就是若干變量值的平均。,平均指標(biāo)與總量指標(biāo)和相對指標(biāo)的特點比較,平均指標(biāo)還是： 抽象化數(shù)值 代表性數(shù)值 集中趨勢,平均指標(biāo)的作用-對現(xiàn)象進行對比分析（1）,利用平均指標(biāo)可以對同類現(xiàn)象在不同空間、不同時間上進行比較，以反映其水平的高低、效益的好壞、質(zhì)量的優(yōu)劣等。如：,2008年我國城鎮(zhèn)不同性質(zhì)單位就業(yè)人員平均勞動報酬,資料來源：2009年中國統(tǒng)計年鑒(之后年鑒已無該分類）,個別不能代表一般。如研究學(xué)歷和工資依存關(guān)系時，不能用四個學(xué)歷的單個人的工資來說明問題，也不能用不同學(xué)歷工資總額來說明問題，而要用平均工資才能反映其內(nèi)在真實的依存

3、關(guān)系。,某企業(yè)職工學(xué)歷及工資資料 指標(biāo)名稱 研究生 本科生 ?？粕??？埔韵?月工資總額（元） 42000 75000 100000 125600 職工人數(shù)（人） 15 30 50 100 平均工資（元） 2800 2500 2000 1256,平均指標(biāo)的作用-分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系（2）,若某地區(qū) “十二五”計劃期間經(jīng)濟平均增長速度為7%，那么該地區(qū)到2015年GDP就會達到2.6萬億，若人口2015年該地區(qū)人口為8500萬人，則人均30588元。,平均指標(biāo)的作用-利用平均指標(biāo)進行估計推算（3）,平均指標(biāo)計算方法,算術(shù) 平均法,簡單調(diào)和平均法,中位數(shù) 和 眾數(shù),幾何 平均法,調(diào)和 平均法,加

4、權(quán)算術(shù)平均法,簡單算術(shù)平均法,簡單幾何平均法,加權(quán)調(diào)和平均法,加權(quán)幾何平均法,二、平均指標(biāo)的種類及計算方法,（一）算術(shù)平均法,算術(shù)平均法：根據(jù)總體各單位標(biāo)志值的算術(shù) 和計算的平均數(shù)。其基本公式為：,【需要注意】 區(qū)分平均數(shù)與具有“平均”含義的強度相對數(shù)； 此公式是基本公式，具體形式要看所給資料而定。 由于掌握的資料不同，可將算術(shù)平均法分為： 簡單算術(shù)平均法和加權(quán)算術(shù)平均法。,1.簡單算術(shù)平均法,簡單算術(shù)平均法的應(yīng)用條件 若掌握的是未經(jīng)分組整理的總體各單位的具體標(biāo)志值，可采用簡單算術(shù)平均法，計算各標(biāo)志值的算術(shù)和再除以總體單位數(shù)即可。用這種方法計算的平均數(shù)，稱為簡單算術(shù)平均數(shù)。用公式表示如下：,式

5、中： 代表平均數(shù) x代表各標(biāo)志值 是總和符號 n代表標(biāo)志值個數(shù),2、加權(quán)算術(shù)平均法,加權(quán)算術(shù)平均法的應(yīng)用條件 若資料為各組標(biāo)志值和權(quán)數(shù)（次數(shù)或比重）的變量數(shù)列，應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均法，即以各組標(biāo)志值為變量，以各組次數(shù)或比重為權(quán)數(shù)進行加權(quán)平均。計算公式如下：,式中：x為各組標(biāo)志值； f為各組次數(shù),2、加權(quán)算術(shù)平均法（實例）,某企業(yè)20名職工日產(chǎn)量資料,注意 以比重為權(quán)數(shù)計算的結(jié)果 與用絕對數(shù)計算結(jié)果完全一樣。 本例為單項數(shù)列資料。若為組 距數(shù)列，需先算組中值。,【加權(quán)算術(shù)平均法計算步驟】,各組 標(biāo)志值 乘次數(shù)得 各組標(biāo)志 總量,加總 得到 總體 標(biāo)志 總量,計算 總體 單位 總量,總體 標(biāo)志總量

6、除以 總體單位 總量,各組標(biāo)志值； 各組權(quán)數(shù)（次數(shù)或比重）,基本要求是：各組標(biāo)志值與各組權(quán)數(shù)之積有實際意 義，即為算術(shù)平均數(shù)算式中的分子（總體標(biāo)志總量）,【影響因素】,【權(quán)數(shù)選擇】,【課堂討論1】,(2)若甲企業(yè)計劃銷售額為1000萬，計劃完成程度為50%，乙 計劃銷售額為10萬，計劃完成程度為150%，能否說這兩個企業(yè)平均計劃完成程度為100%呢？,討論 計算該公司平均 計劃完成程度時是否 以各組門市部數(shù)為權(quán)數(shù) 進行計算？,(3)某公司下屬15個門市部計劃完成情況見下表：,(1)若甲企業(yè)計劃完成程度為50%，乙為150%，能否說這 兩個企業(yè)平均計劃完成程度為100%呢？,某集團公司下屬甲、乙

7、、丙三個子公司生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，有關(guān)資料如下表:,討論 能否以人數(shù) 為權(quán)數(shù)計算該集團 公司所屬三個子公司 的單位產(chǎn)品原材料 平均消耗量？,【課堂討論2】,正確選擇權(quán)數(shù)實例（1）,某公司下屬15個門市部計劃完成情況資料,正確選擇權(quán)數(shù)實例（續(xù)）,分析：由于各組規(guī)模不同，銷售額存在差別。各組計劃完成程度在平均計劃完成程度計算時作用是不同的，規(guī)模大的門市部計劃完成程度對平均計劃完成程度影響作用大。門市部數(shù)不能作權(quán)數(shù)。此問題在實際工作中尤其是要注意的。根據(jù)此例，應(yīng)以計劃完成程度為變量，以計劃銷售額為權(quán)數(shù)進行加權(quán)算術(shù)平均（此處套用加權(quán)算術(shù)平均的算法，但和基本公式的要求并不一致）。正確計算是：,正確選擇權(quán)數(shù)實

8、例（2）,根據(jù)表中資料計算三個公司的單位產(chǎn)品原材料平均消耗量：,正確選擇權(quán)數(shù)實例（2）,方法二：平均單位產(chǎn)品原材料消耗量（以“產(chǎn)量”作權(quán)數(shù)）,方法一：平均單位產(chǎn)品原材料消耗量（以“人數(shù)”作權(quán)數(shù)）,（二）調(diào)和平均法,導(dǎo)例：某種蔬菜甲、乙、丙三個市場的價格分別為每千克0.5 元、0.4元和0.2元。若： 甲、乙、丙三個市場各買1千克； 甲、乙、丙三個市場分別買3千克、5千克、10千克； 甲、乙、丙三個市場各買1元； 甲、乙、丙三個市場分別買5元、8元、10元。 要求分別計算該種蔬菜的平均購買價格。 （注意：不能是三種蔬菜，不同質(zhì)；也不是早、中、晚三個時間，不同時。靜態(tài)平均） 分析：無論什么資料，蔬

9、菜平均 價格都是購買額除以購買量。即：,（二）調(diào)和平均法（續(xù)1）,根據(jù)以上資料，蔬菜平均購買價格計算分別為：,簡單算術(shù) 平均法,加權(quán)算術(shù) 平均法,簡單調(diào)和 平均法,加權(quán)調(diào)和 平均法,（二）調(diào)和平均法（續(xù)2）,調(diào)和平均法：變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱倒數(shù)平均法。在統(tǒng)計實踐中，有時因缺乏總體的單位數(shù)資料，不能直接采用算術(shù)平均法方法進行計算，這時需要將算術(shù)平均法的形式加以改變。調(diào)和平均法常常作為算術(shù)平均法的變形來使用。,在各組標(biāo)志總量不等時， 應(yīng)采用加權(quán)調(diào)和平均法：,在各組標(biāo)志總量都是1時， 采用簡單調(diào)和平均法：,（二）調(diào)和平均法（續(xù)3）,實例：某企業(yè)購進某種原材料三批，已知每批購進價格和購進

10、金額，要求計算該種原材料的平均價格。資料見下表：,加權(quán)算術(shù)平均法與加權(quán)調(diào)和平均法的比較,加權(quán)算術(shù)平均法與加權(quán)調(diào)和平均法的應(yīng)用,股民老張先后3次購買了中國石油的股票，具體購買情況如下： 1.分別在32元、20元和15元時購買2000股3000股 和 5000股； 2.分別在32元、20元和15元時購買96000元30000 元 和75000元； 要求分別計算老張所購買的中國石油的平均購買價格。,（三）幾何平均法,導(dǎo)例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要先后經(jīng)過四個車間（四 個工序），已知四個車間的合格率分別為80%、90%、85%和70%，求四個車間的平均合格率？,1 車間 80%,2 車間 90%,4 車

11、間 70%,3 車間 85%,分析：每個車間計算合格率的基數(shù)是不一樣的。若投入生產(chǎn)100件產(chǎn)品的原材料，經(jīng)過第一車間只能生產(chǎn)80件并進入到第二車間（基數(shù)就變成了80），各車間基數(shù)依次減少。由于各比率的基數(shù)不同，比率不能直接相加求總比率。針對此例，總合格率不等于80%+90%+85%+70%。,（三）幾何平均法（續(xù)1）,幾何平均法：個變量值連乘積的次方根。 應(yīng)用條件：總比率（或總速度）等于各比率（或各速度）之積時，求平均比率（或平均發(fā)展速度）時才可以用幾何平均法，否則不可用。幾何平均法平均的變量值的形式是相對數(shù)。在計算平均比率、平均速度或平均利率等情況時使用。,（三）幾何平均法（續(xù)2）,實例：某

12、企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品需先后經(jīng)過20個車間，各車間合格率資料如下：,（三）幾何平均法（續(xù)3）,實例：某公司向商業(yè)銀行申請一筆貸款，期限為10年，以復(fù)利來計息。10年的利率分別是：第1年至第2年為3%，第3年至第5年為4.5%，第6年至第7年為5%，第8年至第9年為5.5%，第10年為6%，求該筆貸款的平均年利率。,分析：由于銀行對貸款的計息以復(fù)利計算，則各年的利率不能直接相乘。因此，必須先將各年利率 換算成各年本利率，即“1 + 年利率”。再 以各年本利率相乘得到總本利率。若各 年利率相等，則n年后的總利率為：,（三）幾何平均法（續(xù)4）,分析：由于各年利率不等，就可以采用加權(quán)幾何平均法計算年平均本利

13、率，最后，用年平均年本利率減1就是平均年利率。計算過程如下：,年均本利率,=104.65%,則該公司10年貸款平均年利率為4.65%。,（四）眾數(shù),眾數(shù)：總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。 出現(xiàn)次數(shù)越多，眾數(shù)的代表性就越強。計算和應(yīng)用眾數(shù)的條件是總體單位數(shù)較多且有明顯的集中趨勢。 （集貿(mào)市場的隨行就市）,（五）中位數(shù),中位數(shù)：將總體各單位標(biāo)志值按從小到大順序排列，處于中間位置的數(shù)值。若總體單位數(shù)是偶數(shù)，則處于中間的兩個標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)是中位數(shù)。實際中，常用年齡中位數(shù)說明人口老齡化問題。,第二節(jié) 計算和應(yīng)用平均指標(biāo)的原則,一、同質(zhì)性是計算和應(yīng)用平均指標(biāo)的基礎(chǔ) 平均指標(biāo)是反映同質(zhì)總體各單位標(biāo)志值一般水

14、平的指標(biāo)，平均指標(biāo)要保證在同質(zhì)總體內(nèi)計算。 注意：同質(zhì)性是相對的。研究目的不同，同質(zhì)性所指也不同。 例如：研究城鄉(xiāng)收入差別時，城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民分屬兩個不同總體，應(yīng)分別計算其平均收入；研究不同行業(yè)職工工資水平差別時，則城鎮(zhèn)職工又分屬不同的行業(yè)，此時的同質(zhì)性是指行業(yè)相同。 有時候甚至在一個企業(yè)職工性質(zhì)也有很大差異如農(nóng)民工和非農(nóng)民工，前者收入非常低。,二、用組平均數(shù)補充說明總平均數(shù),在同質(zhì)總體中，又存在不同類型的組，而總體各組間還存在很大差別。平均指標(biāo)若沒有科學(xué)的分組，那就往往掩蓋矛盾，成為籠統(tǒng)的指標(biāo)，甚至成為虛構(gòu)的指標(biāo)?？偲骄鶖?shù)抽象掉了總體內(nèi)各組的差異，它也不能全面說明總體特征。因此，就需通過分

15、組，分別計算各組平均數(shù)以補充說明總平均數(shù)。,【課堂討論】 資料：若A公司職工月平均工資為2550元，B公司 職工月平均工資為1650元。從工資水平考慮，你認(rèn) 為應(yīng)該選擇哪個公司合適？為什么？,A、B兩公司職工月工資水平資料,【問題思考】若僅從工資考慮，你選哪公司？為什么？請解釋同學(xué)歷職工B公司都高于A公司而總平均工資卻低于A公司的原因？,三、用次數(shù)分布資料補充說明總平均數(shù),總平均數(shù)掩蓋了差異狀況。為了全面深入地分析問題，我們不能只看現(xiàn)象總的平均水平，還必須了解總體單位在各組次數(shù)分布情況，把總平均數(shù)與次數(shù)分布資料相結(jié)合?，F(xiàn)以某公司下屬的50個分公司年度產(chǎn)量計劃完成情況為例來說明。 情景設(shè)計：某公

16、司統(tǒng)計人員如何向公司總經(jīng)理匯報總公司計劃完成情況。（若總公司平均計劃完成程度為105%）,公司計劃完成程度分布數(shù)列,四、平均數(shù)分析與典型事例相結(jié)合,平均數(shù)說明的是總體某一變量值的一般水平，它體現(xiàn)的是一定范圍內(nèi)社會經(jīng)濟現(xiàn)象的共性，但同時卻掩蓋了現(xiàn)象的個性特征。因此，為了豐富平均數(shù)對社會現(xiàn)象的認(rèn)識作用，往往還需要結(jié)合具體的典型事例，特別是要研究先進和落后的典型，以補充平均數(shù)之不足。,五、平均指標(biāo)與變異指標(biāo)相結(jié)合,【問題防范：平均數(shù)“陷阱”】 某人生產(chǎn)了以下8個零件，平均尺寸為6mm，正好等于標(biāo)準(zhǔn)尺寸，是否意味著這個人生產(chǎn)的零件都合格？ 1 2 5 6 7 8 9 10,我們好幾人工資都是1100元

17、。,我的工資是1200元，在公司算中等收入,我公司員工的收入很高，月平均工資5000元。,這個公司員工工資到底怎么樣？,【問題防范：平均數(shù)“陷阱”】撓頭的數(shù)字,職員B,職員A,經(jīng)理,應(yīng)聘者,結(jié)論：平均指標(biāo)要和變異指標(biāo)相結(jié)合,謹(jǐn)防平均數(shù)“陷阱” 平均指標(biāo)反映總體一般水平，掩蓋了差異（組與組的差異和總體單位的差異），而綜合反映個體差異也是認(rèn)識研究總體的重要數(shù)量特征。變異指標(biāo)就是反映總體各單位標(biāo)志值（或?qū)傩裕┎町惢螂x散程度的統(tǒng)計指標(biāo)，因此，二者應(yīng)該相結(jié)合，這樣對總體數(shù)量特征認(rèn)識得才更為全面。,第三節(jié) 變異指標(biāo),主要內(nèi)容 變異指標(biāo)的概念及作用 變異指標(biāo)的種類及計算,一、變異指標(biāo)的概念及作用,變異指標(biāo)：

18、反映總體各單位差異或離散程度的綜合指標(biāo)，又稱標(biāo)志變動度。變異指標(biāo)是反映總體數(shù)量特征的重要指標(biāo)。 平均指標(biāo)掩蓋了總體內(nèi)各單位的差異，然而總體內(nèi)各單位的差異則是客觀存在的，這就需要進一步計算能夠反映總體各單位差異程度或離散程度的變異指標(biāo)。如果說平均指標(biāo)說明總體單位的集中趨勢，那么變異指標(biāo)則說明總體單位的離中趨勢 。, 變異指標(biāo)的作用, 變異指標(biāo)可以衡量平均數(shù)代表性的大??； 甲：30 60 90 120 150 180 210 乙：120 120 120 120 120 120 120 反映社會經(jīng)濟活動過程的均衡性、穩(wěn)定性； 如收入分配的均衡；降雨量的均衡等；產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定； 考試成績的穩(wěn)定；農(nóng)作物

19、高產(chǎn)穩(wěn)產(chǎn)等；穩(wěn)定則容易判斷事 物的性質(zhì) 變異指標(biāo)是抽樣推斷中確定樣本容量的重要依據(jù)。,二、變異指標(biāo)的種類及計算,變異指標(biāo),全距,平均差,標(biāo)準(zhǔn)差,變異系數(shù) 離散系數(shù),加權(quán)式平均差,簡單式平均差,簡單式標(biāo)準(zhǔn)差,加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差,是非標(biāo)志標(biāo)準(zhǔn)差,全距系數(shù),平均差系數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),（一）全距（極差）,未分組資料： 全距R=最大值-最小值 組距分組資料：全距R=最高組上限-最低組下限 若為開口組，可先求出組中值，再利用組中值求得全距。 組距資料求出的全距只是全距的近似值。全距用以說 明被研究現(xiàn)象中標(biāo)志值變動的最大范圍。 全距計算簡單，易懂，在實際工作中常用于產(chǎn)品質(zhì)量 的檢驗和控制。但由于它受兩個極端數(shù)值的影

20、響，其測定 結(jié)果，難以準(zhǔn)確反映變量的實際離散程度。因此，它只是 測定變量變異程度的一種粗略方法。,（二） 平均差,平均差是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差的平均。 由于各個變量值對算術(shù)平均數(shù)離差總合恒等于零，因而，采用離差絕對值的形式計算平均差。平均差與全距不同，它考慮了總體中個單位變量值得變動影響，對整個變量值的離散趨勢有較充分的代表性。由于掌握資料不同，平均差可分為簡單平均式和加權(quán)平均式兩種。,（三）標(biāo)準(zhǔn)差,標(biāo)準(zhǔn)差：總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，即方差的平方根，又稱均方根差。 （是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差也是標(biāo)準(zhǔn)差，此概念不妥。應(yīng)叫做標(biāo)志值的標(biāo)準(zhǔn)差更為合適）,標(biāo)準(zhǔn)差

21、的特點：意義與平均差基本相同，但在數(shù)學(xué)處理上它 是采用平方的方法來消除離差的正負(fù)號。其靈敏性也更高，是最常用的變異指標(biāo)。 標(biāo)準(zhǔn)差的計算：根據(jù)資料不同，標(biāo)準(zhǔn)差的計算分為：簡單式、加權(quán)式和是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差三種形式。,標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法,1簡單式標(biāo)準(zhǔn)差 在資料未分組時，采用 簡單式。其計算公式為： 2加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差 在資料分組時，要用加 權(quán)式。其計算公式為： 3. 是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差 在總體分為“是”和“非”兩部 分時，其計算公式為：,標(biāo)準(zhǔn)差的計算實例,根據(jù)某企業(yè)日產(chǎn)量資料，計算標(biāo)準(zhǔn)差,標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差,能夠把總體分為“是”和“非”兩個部分的標(biāo)志叫是非標(biāo)志。如把全部產(chǎn)品按是否合格分為“是”（合格）和“非”（不合格）兩部分；總體中每個單位的具體表現(xiàn)分別為“是”或“非”。由此可以看出，個體屬性也是有差異的，要綜合反映這種差異，就需要計算是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差。 思考：如某方案有贊成和反對兩種意見，如果贊成或反對都說明意見比較集中，差異程度小；若贊成，反對則說明意見分歧很大，勢均力敵若贊成，反對，則雖然方案通過，但說明意見分歧仍然很大，該放案還有很多不足，需要改進和完善。,標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差,總體全部單位數(shù)用N表示，具有某種標(biāo)志屬性的單位數(shù)用 表示，不具有某種標(biāo)志屬性的單位數(shù)用 表示。 成數(shù)：具有某種屬性的單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重 （P）或不具