本構(gòu)方程及NS方程PPT課件

1、1,本構(gòu)方程及N-S方程,李連俠 水力學(xué)與山區(qū)河流開(kāi)發(fā)保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 2009年4月,2,內(nèi)容提要,流體運(yùn)動(dòng)分析及理想流體基本方程 真實(shí)流體受力分析 利用張量理論推導(dǎo)本構(gòu)方程和粘性流體力學(xué)基本方程,3,流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的分析,分析流場(chǎng)中任意流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)是研究整個(gè)流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。 流體運(yùn)動(dòng)要比剛體運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多，流體微團(tuán)基本運(yùn)動(dòng)形式有平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線(xiàn)變形和角變形運(yùn)動(dòng)等。實(shí)際運(yùn)動(dòng)也可能遇到只有其中的某幾種形式所組成。 當(dāng)流體微團(tuán)無(wú)限小而變成質(zhì)點(diǎn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)也是由平動(dòng)、線(xiàn)變形、角變形及旋轉(zhuǎn)四種基本形式所組成。,4,平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線(xiàn)變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng),右圖為任意t時(shí)刻在平面流場(chǎng)中所取的一個(gè)正

2、方形流體微團(tuán)。由于流體微團(tuán)上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不一致，經(jīng)過(guò)微小的時(shí)間間隔后，該流體微團(tuán)的形狀和大小會(huì)發(fā)生變化，變成了斜四邊形。,5,流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式 與微團(tuán)內(nèi)各點(diǎn)速度的變化有關(guān)。 設(shè)方形流體微團(tuán)中心 M 的流速 分量為 ux 和 uy ，則微團(tuán)各側(cè)邊 的中點(diǎn) A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分別為：,微團(tuán)上每一點(diǎn)的速度都包含中心點(diǎn)的速度以及由于坐標(biāo)位置不同所引起的速度增量?jī)蓚€(gè)組成部分。,6,平移運(yùn)動(dòng)速度 微團(tuán)上各點(diǎn)公有的分速度 ux 和uy ，使它們?cè)?dt 時(shí)間內(nèi)均沿 x 方向移動(dòng)一距離 uxdt , 沿 y 方向移動(dòng)一距離 uydt 。因而，把中心點(diǎn) M 的速度 ux和 uy ，定義

3、為流體微團(tuán)的平移運(yùn)動(dòng)速度。 線(xiàn)變形運(yùn)動(dòng) 微團(tuán)左、右兩側(cè)的 A 點(diǎn)和 C 點(diǎn)沿 x 方向的速度差為 ，當(dāng)這速度差值為正時(shí)，微團(tuán)沿 x 方向發(fā)生伸長(zhǎng)變形；當(dāng)它為負(fù)時(shí)，微團(tuán)沿 x 方向發(fā)生縮短變形。 線(xiàn)變形速度 單位時(shí)間，單位長(zhǎng)度的線(xiàn)變形稱(chēng)為線(xiàn)變形速度。流體微團(tuán)沿 x 方向的線(xiàn)變形速度：,7,旋轉(zhuǎn)角速度 把對(duì)角線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)角速度定義為整個(gè)流體微團(tuán)在平面上的旋轉(zhuǎn)角速度。,；,；,角變形速度：直角邊 AMC （或BMD）與對(duì)角線(xiàn) EMF 的夾角的變形速度,8,亥姆霍茲速度分解定理,整理推廣得,9,微元體及其表面的質(zhì)量通量,微元體內(nèi)的 質(zhì)量變化率,輸入微元體 的質(zhì)量流量,質(zhì)量守恒,直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程,輸

4、出微元體 的質(zhì)量流量,不可壓縮流體連續(xù)性微分方程,10,1、x方向：dt時(shí)間內(nèi)沿從六面體 x 處與 x+dx 處輸入與輸出的質(zhì)量差：,Y方向： ； Z方向：,2、dt時(shí)間內(nèi)，整個(gè)六面體內(nèi)輸入與輸出的質(zhì)量差：,11,3、微元體內(nèi)的質(zhì)量變化：,從而有：,或：,連續(xù)性方程,連續(xù)方程物理意義：流體在單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)單位體積空間輸出與輸入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零。,矢量形式：,（適用于層流、湍流、 牛頓、非牛頓流體）,12,上式表明，對(duì)于不可壓縮液體，單位時(shí)間單位體積空間內(nèi)流入與流出的液體體積之差等于零，即液體體積守恒。,適用范圍：,恒定流或非恒定流；理想液體或?qū)嶋H液體。,連續(xù)性方程是流體流動(dòng)

5、微分方程最基本的方程之一。任何流體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)均必須滿(mǎn)足。,一維流動(dòng)的連續(xù)方程,若流體不可壓縮：,13,理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程,理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研究流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)?？梢杂门ｎD第二定律加以推導(dǎo)。,受力分析：,1、質(zhì)量力：,2、表面力：,fxdxdydz,切向應(yīng)力0（理想流體） 法向應(yīng)力壓強(qiáng),x軸正方向,x軸正方向,x軸負(fù)方向,14,理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程,根據(jù)牛頓第二定律得x軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程,理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程,即歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程,15,粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程,以流體微元為分析對(duì)象，流體的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為如下的矢量形式： 這里 ： 是流體微團(tuán)的加速度，微分符號(hào)： 稱(chēng)為物質(zhì)導(dǎo)

6、數(shù)或隨體導(dǎo)數(shù)，它表示流體微團(tuán)的某性質(zhì) 時(shí)間的變化率。,(1),(2),(3),16,應(yīng)力狀態(tài)及切應(yīng)力互等定律,微元體上X和Z方向的表面力,粘性流場(chǎng)中任意一點(diǎn)的應(yīng)力有9個(gè)分量，包括3個(gè)正應(yīng)力分量和6個(gè)切應(yīng)力分量：,應(yīng)力狀態(tài)：,切應(yīng)力互等定律,在6個(gè)切應(yīng)力分量中，互換下標(biāo)的每一對(duì)切應(yīng)力是相等的。,17,微元體表面力的總力分量,X方向的表面力：,Y方向的表面力：,Z方向的表面力：,18,動(dòng)量流量及動(dòng)量變化率,動(dòng)量在微元體表面的輸入與輸出,動(dòng)量流量,動(dòng)量通量,動(dòng)量流量,x,流通面積,圖中標(biāo)注的是動(dòng)量的輸入或輸出方向，而動(dòng)量或其通量本身的方向均指向x方向，即分速度vx的方向。,19,x方向：,輸入輸出微

7、元體的動(dòng)量流量,y方向：,z方向：,微元體內(nèi)的動(dòng)量變化率,x方向：,y方向：,z方向：,流體的瞬時(shí)質(zhì)量為,X方向的瞬時(shí)動(dòng)量為,20,x方向的運(yùn)動(dòng)方程：,以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程,y方向的運(yùn)動(dòng)方程：,z方向的運(yùn)動(dòng)方程：,注：上式就是以應(yīng)力表示的粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程， 適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體。,21,方程的物理意義：,方程左邊是：任意時(shí)刻t通過(guò)考察點(diǎn)A的流體質(zhì)點(diǎn)加速度的三個(gè)分量；,方程右邊是：作用在單位體積流體上的表面力和體積力在各坐標(biāo)上的分量。,方程可簡(jiǎn)略表示成：,這就是以單位體積的流體質(zhì)量為基準(zhǔn)的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律,22,粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程,以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程，需補(bǔ)充方程才能求解。,N

8、avierStokes方程,對(duì)一維流動(dòng)問(wèn)題：,補(bǔ)充方程：牛頓剪切定律,對(duì)粘性流體流動(dòng)問(wèn)題：,補(bǔ)充方程：廣義的牛頓剪切定律 即：牛頓流體本構(gòu)方程,目的,將應(yīng)力從運(yùn)動(dòng)方程中消去，得到由速度分量和壓力表示的粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程，即N-S方程。,關(guān)鍵：尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系,23,牛頓流體的本構(gòu)方程,引入的基本假設(shè)：,為了尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，Stokes提出三個(gè)基本假設(shè)：,應(yīng)力與變形速率成線(xiàn)性關(guān)系;,應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系各向同性；,靜止流場(chǎng)中，切應(yīng)力為零，各正應(yīng)力均等于靜壓力,24,牛頓流體的本構(gòu)方程：,25,本構(gòu)方程的討論：,正應(yīng)力中的粘性應(yīng)力：,流體正應(yīng)力與三個(gè)速度偏導(dǎo)

9、數(shù)有關(guān) (即:線(xiàn)變形率)，同固體力學(xué)中的虎克定律。,線(xiàn)變形率與流體流動(dòng)：,從流體流動(dòng)角度看，線(xiàn)變形率的正負(fù)反映了流體的流動(dòng)是加速還是減速；體變形率的正負(fù)反映了流動(dòng)過(guò)程中流體體積是增加還是減少。,正應(yīng)力與線(xiàn)變形速率：,附加粘性正應(yīng)力,附加粘性正應(yīng)力的產(chǎn)生是速度沿流動(dòng)方向的變化所導(dǎo)致的。,26,正應(yīng)力與壓力：,由于粘性正應(yīng)力的存在，流動(dòng)流體的壓力在數(shù)值上一般不等于正應(yīng)力值。但有：,這說(shuō)明：三個(gè)正壓力在數(shù)值上一般不等于壓力，但它們的平均值卻總是與壓力大小相等。,切應(yīng)力與角邊形率：,流體切應(yīng)力與角變形率相關(guān)。,牛頓流體本構(gòu)方程反映了流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，是流體力學(xué)的虎克定律（反映應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)

10、系）。,27,流體運(yùn)動(dòng)微分方程N(yùn)avierStokes方程,適用于牛頓流體,28,常見(jiàn)條件下NS方程的表達(dá)形式：,適用于牛頓流體,常粘度條件下NS方程：,矢量形式：,29,適用于牛頓流體,不可壓縮流體的NS方程：,矢量形式：,30,常粘度條件下不可壓縮流體的NS方程：,矢量形式：,非定常項(xiàng) 定常流動(dòng)為0 靜止流場(chǎng)為0,對(duì)流項(xiàng) 靜止流場(chǎng)為0 蠕變流時(shí) 0,單位質(zhì)量流體 的體積力,單位質(zhì)量流體 的壓力差,擴(kuò)散項(xiàng)（粘性力項(xiàng)） 對(duì)靜止或理想流體為0 高速非邊界層問(wèn)題0,31,流動(dòng)微分方程的應(yīng)用求解步驟,根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)對(duì)一般形式的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，獲得針對(duì)具體問(wèn)題的微分方程或方程組。 提出相關(guān)的初始條件和

11、邊界條件。 初始條件：非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題,邊界條件,固壁流體邊界：,流體具有粘性，在與壁面接觸處流體速度為零。,液體氣體邊界：,對(duì)非高速流，氣液界面上，液相速度梯度為零。,液體液體邊界：,液液界面兩側(cè)的速度或切應(yīng)力相等。,32,廣義牛頓粘性應(yīng)力公式 粘性流體動(dòng)力學(xué)基本方程,一、應(yīng)力張量分析,二、變形速率張量,三、本構(gòu)方程,四、連續(xù)方程,六、能量方程,五、運(yùn)動(dòng)方程,七、方程組的封閉性,33,廣義牛頓粘性應(yīng)力公式,在流體作直線(xiàn)層流運(yùn)動(dòng)的條件下，我們可以直接由試驗(yàn)得到切應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系式。 在流體作非直線(xiàn)層流運(yùn)動(dòng)的條件下，并不能直接由試驗(yàn)給出應(yīng)力與變形速率之間的一般關(guān)系式。為了得到這樣的關(guān)系式，必須

12、對(duì)粘性流體中的應(yīng)力性質(zhì)作仔細(xì)的分析。,34,一、應(yīng)力張量分析,運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，可以由九個(gè)分量來(lái)表示，這九個(gè)應(yīng)力分量組成一個(gè)二階對(duì)稱(chēng)張量,分別為與坐標(biāo)軸x，y，z相垂直的平面上的應(yīng)力,35,任意平面上的應(yīng)力可表示為,+,n為任意平面的法向單位向量,36,為便于書(shū)寫(xiě)，我們規(guī)定：分別用e1、e2、e3代替i、j、k，帶有下標(biāo)的量的下標(biāo)分別用i=1，2，3代替x,y,z。并且遵循愛(ài)因斯坦符號(hào)算法規(guī)則：一項(xiàng)中下標(biāo)符號(hào)重復(fù)的量，表示此項(xiàng)是變換下標(biāo)后的各項(xiàng)相加。,例如：,37,在靜止流體中或理想流體中，過(guò)一點(diǎn)的任意平面的法向應(yīng)力的方向，都與該平面的單位法線(xiàn)向量n的方向相反，且法向應(yīng)力的數(shù)值p與n

13、無(wú)關(guān)，即,式中，p只是坐標(biāo)位置及時(shí)間的函數(shù)p=p(x,y,z,t)。這個(gè)壓力就是經(jīng)典熱力學(xué)平衡態(tài)意義上的壓力。,在粘性流體動(dòng)力學(xué)中，流體質(zhì)點(diǎn)的物理量都處在變化過(guò)程中，過(guò)一點(diǎn)的不同平面上的法向應(yīng)力的數(shù)值并不一定相同。因此，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，并不存在平衡態(tài)意義上的壓力。但我們可以定義一平均意義上的壓力Pm, ，它是球形流體微團(tuán)(也可取任意形狀的流體微團(tuán)，結(jié)果相同)表面所承受的法向應(yīng)力Pnn的平均值的負(fù)值，即,38,式中 a為球形微團(tuán)的半徑。,球面上的法向應(yīng)力,和球面微元面積分別可寫(xiě)成,39,于是,此式右側(cè)包括9項(xiàng)，分別積分之，最后得,即,40,由此可見(jiàn)，流場(chǎng)中任意一點(diǎn)的平均壓力pm，等于過(guò)此點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)面

14、上的法向應(yīng)力p11,p22,p33的算術(shù)平均值的負(fù)值。 平均壓力偏量: 平均壓力與平衡態(tài)壓力之差pm-p。 現(xiàn)在讓我們把從應(yīng)力張量pm中分離出來(lái)。為此，令,即,為單位二階張量；D稱(chēng)作偏應(yīng)力張量。,41,上式可寫(xiě)成分量形式,式中,為偏應(yīng)力張量的分量；,為單位二階張量的分量,因此應(yīng)力張量又可寫(xiě)成,42,二、變形速率張量,我們?cè)?jīng)得到描寫(xiě)流體變形速率的9個(gè)分量，由這9個(gè)分量可以組成一個(gè)描寫(xiě)變形速率的二階對(duì)稱(chēng)張量E,式中,因此變形速率張量E可表示為,式中,43,過(guò)一點(diǎn)的任意平面上的變形速率可寫(xiě)成,式中,44,三、應(yīng)力張量與變形速率張量的關(guān)系,斯托克斯根據(jù)牛頓粘性公式提出了關(guān)于應(yīng)力與變形速率之間的一般關(guān)

15、系的三條假定： (1)應(yīng)力與變形速率成線(xiàn)性關(guān)系； (2)應(yīng)力與變形速率的關(guān)系在流體中各向同性； (3)在靜止流體中,切應(yīng)力為零，正應(yīng)力的數(shù)值為靜壓力p。 根據(jù)這三條假定,不難給出應(yīng)力與變形速率的一般關(guān)系式。我們將分兩步討論： 第一步，建立偏應(yīng)力張量D與變形速率E之間的關(guān)系； 第二步，建立平均壓力偏量與變形速率E之間的關(guān)系。,45,(一)偏應(yīng)力張量D與變形速率張量E之間的關(guān)系,根據(jù)斯托克斯的第(1)、(2)條假定，偏應(yīng)力張量與變形速率張量之間的關(guān)系可寫(xiě)成,或,式中系數(shù)a，b可以是坐標(biāo)位置的函數(shù)，但由于假定各向同性，因此它們與作用面的方向無(wú)關(guān)。,將該式用于牛頓平板試驗(yàn)，上式可寫(xiě)成,對(duì)比牛頓粘性應(yīng)力

16、公式,可以確定系數(shù),46,于是,系數(shù)b可以應(yīng)用平均壓力pm的性質(zhì)來(lái)確定。,47,將此三式相加可得,而由定義,故上式左側(cè)為零,于是由,得,從而,或?qū)懗?48,（二）平均壓力偏量與變形速率之間得關(guān)系,我們?cè)赋?，?yán)格說(shuō)來(lái)，在粘性流體動(dòng)力學(xué)中并不存在平衡態(tài)壓力，而是人為定義的平均壓力。平均壓力與平衡態(tài)壓力是又差別的，這個(gè)差別反映了由于速度場(chǎng)的不均勻所造成的流體質(zhì)點(diǎn)得狀態(tài)對(duì)于平衡態(tài)得偏離。 利用斯托克斯假定可以確定平均應(yīng)力偏量與變形速率之間的關(guān)系。由于斯托克斯的第（1），（2）條假定，可以給出下列線(xiàn)性關(guān)系,式中g(shù),c為系數(shù)，它們可以是坐標(biāo)的函數(shù)，但由于假定各向同性，因此它們與平均壓力偏量的作用面的方向

17、無(wú)關(guān)。,49,利用斯托克斯的第三條假定，可以確定系數(shù)c。 在靜止流體中 ，,代入上述關(guān)系式可得 c=0,令,則上式可寫(xiě)成,于是,或,或,通常稱(chēng),為第二粘性系數(shù)，或體變形粘性系數(shù),50,(三)應(yīng)力張量與變形速率張量的一般關(guān)系式,將式(1218)、(1222)代入式(1210)可得應(yīng)力與變形速率的一般關(guān)系式,或?qū)懗?此式稱(chēng)作廣義牛頓粘性應(yīng)力公式。,51,(四)討論,(1)應(yīng)力與變形速率成線(xiàn)性關(guān)系的假定，對(duì)于大多數(shù)真實(shí)流動(dòng)來(lái)說(shuō)是與實(shí)際相符的。但是在像激波層這樣的區(qū)域中，應(yīng)力與變形速率成線(xiàn)性關(guān)系的假定是不符合實(shí)際的，此時(shí)廣義牛頓粘性應(yīng)力公式不再適用。 (2)應(yīng)力與變形速率關(guān)系在流體中各向同性是建立在流

18、體分子結(jié)構(gòu)各向同性的前提之下的。對(duì)于絕大多數(shù)的流體來(lái)說(shuō)，這個(gè)前提能夠得到滿(mǎn)足。但是對(duì)于長(zhǎng)分子結(jié)構(gòu)的流體，就不再具有各向同性的性質(zhì)，因此廣義牛頓粘性應(yīng)力公式不再適用。,52,(3)由關(guān)系式可見(jiàn)，平均壓力偏量 pm-p取決于 。對(duì)于不可壓縮流體，由于 ，因此pm=p，即平均壓力等于平衡態(tài)壓力。但是應(yīng)當(dāng)注意，平均壓力仍然是法向應(yīng)力的平均值的負(fù)值， 而并不是pm、p11、p22、p33這四個(gè)值相等。 對(duì)于靜止流體，由于變形速率為零，因此 pm=p ，此時(shí),53,對(duì)于可壓縮流體，在一般情況下，,與p相比往往是小量。因此，斯托克斯又假定,于是，,實(shí)際上對(duì)絕大多數(shù)氣體和液體的真實(shí)流動(dòng)都可以認(rèn)為,但是在像激波

19、層這樣的區(qū)域中，由于,與p相比可能是同量級(jí)的這時(shí)候就不能再假定,因此也就不能認(rèn)為p=pm,54,（4）第二粘性系數(shù) 只可能是正值。,在 的條件下，平衡態(tài)壓力總是大于平均壓力的結(jié)論，即ppm,首先對(duì)式上式兩側(cè)乘以 ，則可得,單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量流體所作的實(shí)際膨脹功,單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量流體在平衡態(tài)條件下所作的可逆膨脹功,單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量流體所作的體積變化的耗散功,55,粘性流體動(dòng)力學(xué)基本方程,一、連續(xù)方程式與應(yīng)力無(wú)關(guān)，因此它的形式不變,二、運(yùn)動(dòng)方程,一般形式的運(yùn)動(dòng)方程如下,為作用在單位質(zhì)量流體上的表面力,56,利用張量表示法,運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成,將廣義牛頓粘性應(yīng)力公式代入上式,此式又稱(chēng)納維-斯托克斯方

20、程，向量形式為,57,各種特殊情況下的NS方程,（1）對(duì)于 ，的流體，N-S方程可以寫(xiě)成,式中右側(cè)第四項(xiàng)中的偏微分部分可寫(xiě)稱(chēng),58,于是納維-斯托克斯方程可寫(xiě)成,它的向量形式為,2）對(duì)于,不可壓縮流體，由于,向量形式,張量形式,59,三、能量方程,能量方程的一般式為,為表面力在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)單位質(zhì)量流體所作的功。,為以熱傳導(dǎo)方式傳給單位質(zhì)量流體的熱量。,由富里埃定律知,60,從分子輸運(yùn)的觀點(diǎn)來(lái)看，熱傳導(dǎo)反映了分子的能量輸運(yùn)，粘性力反映了分子的動(dòng)量輸運(yùn)。若假定分子輸運(yùn)通量(即動(dòng)量或能量)與分子的輸運(yùn)強(qiáng)度(即宏觀速度梯度或溫度梯度)成正比，并假定概率分布函數(shù)隨空聞與時(shí)間的變化都很小，則由分子運(yùn)動(dòng)論可

21、以直接得到廣義牛頓粘性應(yīng)力公式和富里埃熱傳導(dǎo)定律。,將以上兩式代入能量方程可得,三種形式的能量方程式：能量，溫度，焓,61,四、關(guān)于粘性流體動(dòng)力學(xué)方程組的封閉性,連續(xù)方程式，納維-斯托克斯方程式和能量方程式是研究牛頓流體的粘性流體動(dòng)力學(xué)的基本方程組。在這些方程中，獨(dú)立的未知物理量共包含14個(gè)標(biāo)量函數(shù)，但是基本方程組中只包含5個(gè)獨(dú)立方程，因此這組方程并不封閉。,為了使方程組封閉，除必須給出,三個(gè)表示流體物性的確切關(guān)系式外，還必須補(bǔ)充6個(gè)獨(dú)立方程。而這些補(bǔ)充的關(guān)系式和方程組只能由其它的條件、假定、或規(guī)律來(lái)提供。,62,在通常的流體力學(xué)問(wèn)題中，輻射熱與其它量相比為小量，故可假定,在通常的流體力學(xué)問(wèn)題

22、中，質(zhì)量力為重力，即 f=g,如果能再找到兩個(gè)聯(lián)系熱力學(xué)狀態(tài)參數(shù)的狀態(tài)方程，則可使方程封閉。但是，到目前為止，尚未找到普遍適用的狀態(tài)方程。我們?cè)谶@里只準(zhǔn)備討論一類(lèi)簡(jiǎn)單的流體，即它們?cè)跓釋W(xué)上和熱量上是完全的氣體，即它們滿(mǎn)足,63,由以上諸式構(gòu)成了重力場(chǎng)中完全氣體在無(wú)輻射條件下的封閉方程組,7個(gè)未知物理量 7個(gè)方程，封閉,64,常物性不可壓縮流體基本方程式,65,粘性流動(dòng)的邊界條件,由上面幾節(jié)的討論，我們已經(jīng)得到粘性流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本方程組。由偏微分方程理論知，任何一個(gè)方程或封閉方程組具有無(wú)數(shù)組可能的解。因此，若要得到完全確定的解，必須給出完全確定的定解條件，即所謂邊界條件和起始條件。為了給定粘性流動(dòng)在邊界上的物理量，必須首