微積分 不定積分 教案 PPT課件

1、.,1,第五章 不定積分,.,2,例,第一節(jié) 不定積分的概念,一、原函數(shù)與不定積分的概念,定義,不定積分又稱反導(dǎo)數(shù),它是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算.,本章所講的內(nèi)容就是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。,.,3,原函數(shù)存在定理：,簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,問題：,(1) 原函數(shù)是否存在？,(2) 是否唯一？,因此初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù) 。,(但原函數(shù)不一定是初等函數(shù)),.,4,唯一性？,.,5,記為,定義,.,6,例1 求,解,解,例2 求,.,7,由不定積分的定義，可知,結(jié)論：,微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.,或,或,.,8,實(shí)例,啟示,能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？,二、 基本積分表,.,9,基本積

2、分表 ,(k是常數(shù));,說明：,.,10,基本積分表 ,(k是常數(shù));,.,11,基本積分表 ,.,12,例3 求積分,解,根據(jù)積分公式（2）,.,13,例4 設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,3), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.,解,設(shè)曲線方程為,根據(jù)題意知,由曲線通過點(diǎn)(1,3),所求曲線方程為,(1, 3) ,.,14,證,等式成立.,（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）,第二節(jié) 不定積分的運(yùn)算法則,.,15,例1,例2,例3,直接積分法,.,16,例4,例5,.,17,例8,例9,例10,.,18,問題,？,第三節(jié) 換元積分法,一、第一類換元法 (湊微分法),湊微分

3、,.,19,湊微分法的關(guān)鍵是“湊”, 湊的目的是把被積函數(shù)的中間變量變得與積分變量相同.,.,20,例1,例2 運(yùn)用 d ( x+ k ) =dx,.,21,例3 運(yùn)用 d ( ax + b ) = a dx,.,22,例4 運(yùn)用 d (x2 ) = 2x dx,.,23,(1)根據(jù)被積函數(shù)復(fù)合函數(shù)的特點(diǎn)和基本積分公式的形式, 依據(jù)恒等變形的原則, 把 dx湊成d(x) . 如,(2)把被積函數(shù)中的某一因子與dx湊成一個(gè)新的微分d(x) .如,“湊微分”的方法有:,方法1較簡單, 而方法2則需一定的技巧, 請同學(xué)們務(wù)必記牢以下常見的湊微分公式！,.,24,常用湊微分公式：,等等.,.,25,例

4、5,例6,例7,.,26,例7,例8,.,27,例9,例10,.,28,練習(xí) 一,.,29,6.,7.,8.,.,30,例11,另：,例12,類似地，,.,31,例13,練習(xí),說明,當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.,.,32,例14,例15,或解,.,33,例16,例17,例18,.,34,例19,解法1,解法2,解法3,.,35,例20,.,36,解,例21 設(shè) 求 .,令,.,37,第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過如何適當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對被積表達(dá)式做適當(dāng)

5、的微分變形，拼湊出合適的微分因子。,.,38,二、第二類換元法,回代,得,問題,解決方法,“根式替換”,.,39,稱為第二換元法,回 代,.,40,例1,解,“根式替換”,.,41,例2,解,.,42,指數(shù)替換,.,43,例5 求,解,令,注意：根式替換與指數(shù)替換可以結(jié)合使用,.,44,例4,解,三角替換,正弦替換,.,45,例5,解,正切替換,.,46,例6,解,正割替換,.,47,說明：,以上幾例所使用的均為三角代換,目的是化掉根式.,一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有,可令,可令,可令,但是否一定采用三角代換并不是絕對的, 有時(shí)可靈活采用別的方法 .,注意：所作代換的單調(diào)性。對三角代換而言，

6、 掌握著取單調(diào)區(qū)間即可。,.,48,例7,解,或解：,倒數(shù)代換,.,49,例8,解,或解：,（練習(xí)）,.,50,若被積函數(shù)包含根式,可考慮如下替換：,.,51,.,52,基本積分表 ,.,53,.,54,例9,例10,.,55,例11,例12,.,56,湊微分,分部積分公式,問題,解決思路,利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.,第四節(jié) 分部積分法,分部積分的過程：,.,57,在兩個(gè)被積函數(shù)中選擇一個(gè)先積出來，使得原來的較難積出的不定積分轉(zhuǎn)移為另一個(gè)比較容易積出的不定積分，這種新的積分技巧，被稱為 “ 分部積分法 ” 。,分部積分法中先積函數(shù)（ v(x ) ）的選擇，一般可以遵照 “指三冪對反” 的先積

7、原則，也就是排在前面的函數(shù)，作為v（與dx湊微分后成dv）為好。,.,58,例1,注,積分更難進(jìn)行 .,例2,.,59,例3,例4,分部積分法可多次使用.,.,60,練習(xí),總結(jié),若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函數(shù)為 , 使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)),.,61,例6,.,62,例7,例8,.,63,例9,例10,練習(xí),.,64,例11,.,65,所以,例12,.,66,例13,解,.,67,例13,分部積分法與換元法結(jié)合:,解,.,68,例14,.,69,解,例15,由題意,.,70,說明:,分部積分題目的類型:,1) 直接分部化簡積分 ;,2)

8、分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;,(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C ),.,71,思考與練習(xí),1. 下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里? 應(yīng)如何改正?,得 0 = 1,答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為 0 .,求此積分的正確作法是用換元法 .,.,72,第五節(jié) 幾種特殊類型函數(shù)的積分,一、有理函數(shù)的積分,.,73,假定分子與分母之間沒有公因式,有理函數(shù)是真分式；,有理函數(shù)是假分式；,利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.,例,要點(diǎn),將有理函數(shù)化為部分分式之和.,以下只考慮真分式的積分.,.,74,將分母作因式分解，按照多項(xiàng)式的性質(zhì)得知，

9、得到的因式只可能出現(xiàn)下面四種可能 ：,.,75,（1）分母中若有因式 ，則分解后有,有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：,特殊地：,分解后為,.,76,特殊地：,分解后為,.,77,真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法,例1,.,78,代入特殊值來確定系數(shù),例2,.,79,例3,.,80,真分式可分為以下四種類型的分式之和：,這四類分式均可積分,且原函數(shù)為初等函數(shù).因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).,.,81,四種典型部分分式的積分:,變分子為,再分項(xiàng)積分,.,82,例4,例5,.,83,例6,例7,.,84,例8. 求,解: 原式,思考: 如何求,提示:,變形方法同例8,并利用 遞推公式。,.,85,注意,以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對 一個(gè)具體問題而言，未必是最簡捷的方法，應(yīng)首先考慮用其它的簡便方法。,基本思路,.,86,例8,靈活運(yùn)用其它方法：,例9,.,87,二、三角函數(shù)有理式的積分,萬能代換公式：,化為有理函數(shù)的積分.,.,88,例10 求積分,解