高考數(shù)學(xué)函數(shù)知識點歸納總結(jié)

1、一、函數(shù)的概念與表示1、映射:設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，則這樣的對應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：AB。注意點:判斷一個對應(yīng)是映射的方法:可多對一，不可一對多，都有象，象唯一.2、函數(shù):如果A,B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函數(shù)，記作,其中.原像的集合A叫做函數(shù)的定義域.由所有象f(x)構(gòu)成的集合叫做的值域，顯然值域是集合B的子集.構(gòu)成函數(shù)概念的三要素: 定義域(x的取值范圍)對應(yīng)法則（f）值域（y的取值范圍）兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件：定義域和對

2、應(yīng)關(guān)系完全一致.二、函數(shù)的定義域、解析式與值域1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：（1）整式的定義域是全體實數(shù)；（2）分式的分母不為零；（3）偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；（4）零取零次方?jīng)]有意義（零指數(shù)冪的底數(shù)不為0）；（5）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；（6）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；（7）若函數(shù)是一個多項式，需要求出各單項式的定義域，然后取各部分結(jié)果的交集；（8）復(fù)合函數(shù)的定義域： 若已知的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域，相當(dāng)于求使時的取值范圍； 若已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求的定義域，相當(dāng)于求的值域.2求函數(shù)值域的方法直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單

3、的復(fù)合函數(shù)；換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合的形式；判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；適合分子或分母為二次且R的分式；此種類型不拘泥于判別式法，如的形式可直接用不等式性質(zhì)；可先化簡再用均值不等式；通常用判別式法； 可用判別式法或均值不等式；1-1-222分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x有范圍限制時要畫圖）；單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；圖象法：1.二次函數(shù)必畫草圖求其值域；在給定區(qū)間上求最值有兩類：閉區(qū)間上的最值；求區(qū)間動（定），對稱軸定（動）的最值問題；注意“兩看”：一看開口，二看對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系.2.注意型函數(shù)的圖像在單調(diào)性中的

4、應(yīng)用：增區(qū)間為，減區(qū)間為，；利用對號函數(shù)：（如右圖）；幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域.主要是含絕對值函數(shù)三函數(shù)的奇偶性1定義:設(shè)y=f(x)，xA，如果對于任意A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù). 如果對于任意A，都有，則稱y=f(x)為奇函數(shù).2.性質(zhì)：y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對稱, y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱;若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則f(0)=0;奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇兩函數(shù)的定義域D1 ，D2，D1D2要關(guān)于原點對稱3奇偶性的判斷看定義域是否關(guān)于原點對稱;看f(x)與f(-x)的關(guān)系或觀察函數(shù)圖

5、像的對稱關(guān)系；4，復(fù)合函數(shù)的奇偶性：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”四、函數(shù)的單調(diào)性作用：比較大小，解不等式，求最值.1、函數(shù)單調(diào)性的定義：如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)），區(qū)間D叫的單調(diào)區(qū)間. 圖像特點：增函數(shù)：從左到右上升（y隨x的增大而增大或減小而減小）； 減函數(shù)：從左到右下降（y隨x的增大而減小或減小而增大）；2.判斷單調(diào)性方法：定義法上是增函數(shù)；上是減函數(shù).觀察法：根據(jù)特殊函數(shù)圖像特點；掌握規(guī)律：對于兩個單調(diào)函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：(i)當(dāng)和具有相同的增減性時，的增減性與，相同，、的增減性不能確定；(ii)當(dāng)

6、和具有相異的增減性時，我們假設(shè)為增函數(shù)，為減函數(shù)，那么：的增減性不能確定； 、為增函數(shù)；為減函數(shù).3.奇偶函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。4. 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定（同增異減）：是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù).5、 函數(shù)的對稱性函數(shù)的圖象的對稱性（自身）1.函數(shù)的圖象關(guān)于直對稱 特殊的有：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱（奇函數(shù)）;函數(shù)是偶函數(shù)關(guān)于對稱;2.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱. 特殊的有： 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱; 函數(shù)的圖

7、象關(guān)于原點對稱（奇函數(shù)）; 函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于點 對稱. 若一個函數(shù)的反函數(shù)是它本身,那么它的圖像關(guān)于直線y=x對稱.兩個函數(shù)圖象的對稱性:函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱;函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱特殊地: 與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱;函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的解析式為;函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱的解析式為;函數(shù)與的圖像關(guān)于直線成軸對稱函數(shù)與的圖像關(guān)于直線成軸對稱函數(shù)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線 成軸對稱.六函數(shù)的周期性：1定義 若是周期函數(shù)，T是它的一個周期.說明：nT也是的周期。推廣：若，則是周期函數(shù)，是它的一個周期結(jié)論1：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論2：如果（），那

8、么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論3：如果定義在上的函數(shù)有兩條對稱軸、對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論4：如果偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論5：如果奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論6：如果函數(shù)同時關(guān)于兩點、（）成中心對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論7：如果奇函數(shù)關(guān)于點（）成中心對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論8：如果函數(shù)的圖像關(guān)于點（）成中心對稱，且關(guān)于直線（）成軸對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論9：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論10：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論11：如果，那么是周期函數(shù)，

9、其中一個周期七、反函數(shù)1.只有單調(diào)的函數(shù)才有反函數(shù)；反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；2、求反函數(shù)的步驟 （1）解 (2)換 (3)寫定義域。3、關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)（1）y=f(x)和y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的單調(diào)性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，從中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1f(x)=x;（5）若點 (a,b)在y=f(x)的圖象上，則 (b,a)在y=f-1(x)的圖象上；（6）y=f(x)的圖象與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象的交點一定在直線y=x上; 八二次函數(shù)(涉及二次

10、函數(shù)問題必畫圖分析)一般式： ；頂點式：；零點式：1二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點坐標(biāo)，開口向上，開口向下2二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系一元二次方程的根為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值.韋達定理：3.一元二次不等式的解集(a0)二次函數(shù)情況一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a0)=b2-4acax2+bx+c0 (a0) ax2+bx+c0)圖象與解0=00 , a1)互為反函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax (a0且a1)y=logax (a0 , a1)定義域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )過定

11、點（，1）（1，）圖象指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a0 , a1)圖象關(guān)于y=x對稱單調(diào)性a 1,在(-,+ )上為增函數(shù)a1,在(0,+ )上為增函數(shù)a1 ? y0? y0?指數(shù)函數(shù)圖像分布規(guī)律：時，越大函數(shù)圖像在y軸右側(cè)越靠近y軸； 時，越小函數(shù)圖像在y軸左側(cè)越靠近y軸；對數(shù)函數(shù)圖像分布規(guī)律：時，越大函數(shù)圖像在x軸上方越靠近x軸； 時，越小函數(shù)圖像在x軸下方越靠近x軸；2. 比較兩個冪值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同2、 ，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關(guān)系（對數(shù)式比較大小同理）3.研究指數(shù)，

12、對數(shù)函數(shù)問題，盡量化為同底，并注意對數(shù)問題中的定義域限制4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分？問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問題，討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑冪函數(shù)：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中n為常數(shù).圖像及性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過點（1，1）（原因：）；所有的冪函數(shù)在第四象限沒有圖像.（2）n0時，冪函數(shù)的圖象都通過原點，并且在0，+上，是增函數(shù)（從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上升）.特別地，當(dāng)時，圖像下凸，當(dāng)時，圖像上凸； （3）n0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù). 在第一象限內(nèi)，當(dāng)向原點靠近時，圖象在軸的右方無限逼近軸正

13、半軸，當(dāng)慢慢地變大時，圖象在軸上方并無限逼近軸的正半軸.十一函數(shù)的圖象變換1、平移變換：（左+ 右- ，上+ 下- ）即2、對稱變換：（對稱誰，誰不變，對稱原點都要變）十二函數(shù)的其他性質(zhì)1函數(shù)的單調(diào)性通常也可以以下列形式表達： 單調(diào)遞增； 單調(diào)遞減2函數(shù)的奇偶性也可以通過下面方法證明： 奇函數(shù)； 偶函數(shù)3函數(shù)的凸凹性： 凹函數(shù)（圖象“下凹”，如：指數(shù)函數(shù)） 凸函數(shù)（圖象“上凸”，如：對數(shù)函數(shù)）十三函數(shù)的應(yīng)用:二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系：設(shè)一元二次方程的兩個不等根為，且，相應(yīng)的二次函數(shù).方程的根即為二次函數(shù)圖像與x軸的交點，他們的分步情況如下：分布情況函數(shù)圖像二次函數(shù)法二次方程法兩個負(fù)根xy兩個正

14、根xy一正根，一負(fù)根兩根都小于kkxy兩根都大于kkxy一個大于k，一個小于kkyx兩根都在（m,n）內(nèi)mnyx兩根只有一個在（m,n）內(nèi)ynm一根在（m,n）內(nèi)，令一根在（p,q）內(nèi)n pq my函數(shù)零點問題：對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點，即存在使，這個c也就是方程的根.（1） 利用函數(shù)圖像解決函數(shù)零點問題（轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題）；（2） 利用零點性質(zhì)求參數(shù)取值范圍. 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：一.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程是高考的熱點問題，解決該類問題必須熟記導(dǎo)數(shù)公式，明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義

15、是曲線在某點處切線的斜率，切點既在切線上又在曲線上注意：1.“過某點的切線”中的某點可以不在曲線上，而“在某點的切線”中的某點一定在這條曲線上；過某點的切線條數(shù)可能是不止一條，但在某點的切線條數(shù)必定唯一. 2.曲線的切線與這條曲線的公共點可能不唯一，只是在切點的鄰近區(qū)域才是唯一的，當(dāng)曲線是二次曲線時，公共點只有一個；當(dāng)曲線為其他曲線時，公共點可能有多個,如曲線在點（1,1）處的切線與該曲線有兩個公共點（1,1），（-2，-8）2 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極、最值問題已成為高考考查的熱點解決該類問題要明確：極值點一定是導(dǎo)數(shù)為零的點，但導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點

16、，導(dǎo)函數(shù)的變號零點才是函數(shù)的極值點（例如是導(dǎo)數(shù)為零的點但不是極值點；求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)定義域；求最值時需要把極值和端點值逐一求出，比較即可核心考點：1. 含參函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）與極值、最值思路提示：第一步，求函數(shù)定義域；第二步，求導(dǎo)函數(shù)；第三步，以導(dǎo)函數(shù)的零點存在性進行討論；第四步，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)存在多個零點時，討論他們的大小關(guān)系及與區(qū)間的位置關(guān)系；第五步，判斷導(dǎo)函數(shù)符號，從而得出函數(shù)的單調(diào)性；第六步，綜合上述討論下結(jié)論.2. 含參函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性、無單調(diào)性或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍思路提示：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為或恒成立；先分析導(dǎo)函數(shù)圖像形式和特點，如一次函數(shù)最值落

17、在端點，開口向上拋物線最大值落在端點，考口向下拋物線最小值落在端點等；已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上存在極值（即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點），可利用分離變量法求解參變量范圍；或者利用補集思想；已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增或減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于或小于零有解.3. 方程解（函數(shù)零點）的個數(shù)問題思路提示：研究函數(shù)的零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化已知含參函數(shù)存在零點求參數(shù)范圍問題一般對進行參變分離，得到的形式，則所求a的范圍就是的值域；當(dāng)研究函數(shù)零點個數(shù)問題時，要借助數(shù)形結(jié)合.4. 不等式恒成立與存在性問題思路提示：1.在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題，可采用“分離常數(shù)”或“直接移項構(gòu)造輔助函數(shù)”。（1） 若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則：不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2） 若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為（m,n），則：不等式（或）在區(qū)間D上恒成立不等式（或）在區(qū)間D上恒成立思路提示2：（1） 若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間