談談函數(shù)與方程的思想方法

1、談談函數(shù)與方程的思想方法丁勇 函數(shù)與方程的思想是指在解決某些數(shù)學問題時，構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)與方程，把問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)與輔助方程性質(zhì)的思想。 下面就結(jié)合2005年的高考試題，說明如何運用函數(shù)與方程的思想方法去分析和解決問題。 例1. 設不等式對滿足的一切實數(shù)m恒成立，求實數(shù)x的取值范圍。 解析：此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關于x的不等式進行分類討論。然而，若變換一個角度以m為主元，記，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）的值在區(qū)間2，2內(nèi)恒負時參數(shù)x應該滿足的條件。 要使，只要使 即 從而解得。 評注：本例采用變更主元法，化繁為簡，再巧用函數(shù)圖象的特征（一條線段），解法易懂易做。如何從

2、一個含有多個變元的數(shù)學問題里，選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數(shù)關系，有時便成了數(shù)學問題能否“明朗化”的關鍵所在。 例2. 設，且，求ab的值。 解析：由已知兩式結(jié)構(gòu)的相似性，聯(lián)想到相應函數(shù) 令，則是奇函數(shù)，且是增函數(shù)。這樣，已知是 ， ， 得， 則有 從而，所以。 評注：本例由已知式構(gòu)造函數(shù)，再巧用奇偶性和單調(diào)性，解法奇妙。選取變元，構(gòu)造函數(shù)關系來解決數(shù)學問題，這是運用函數(shù)思想解題的較高層次，只有平時多加訓練并注意積累，才能做到運用自如。 例3. 設，其中，如果當時，f(x)有意義，求a的取值范圍。 解析：二次函數(shù)及圖象、二次不等式、二次方程三者是緊密聯(lián)系的，許多問題都可以利用它們來解

3、決，只要進行合理的轉(zhuǎn)化就可以了。 可知， 即當時恒成立。 而都是減函數(shù)， 則在上是增函數(shù)。 故當x1時，g(x)取得最大值是， 從而得a的取值范圍是。 評注：本例采用分離參數(shù)法，再構(gòu)造函數(shù)，使不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，方向明確，解法簡捷。在數(shù)學各分支中若遇到有關不等式、方程及最值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析，?？墒箚栴}變得明了，從而易于找到一種適當?shù)慕忸}途徑。這充分體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想的實用性和重要性。 例4. 如果函數(shù)的最大值是4，最小值是1，求實數(shù)a、b的值。 解析：由y的最大值是4，知存在實數(shù)x使4，即方程有實根，故有 又由y的最大值是4，知對任意實數(shù)x恒有， 即恒

4、成立， 故 從而有 同樣由y的最小值是1，可得 由，可解得。 評注：本例解法中，對題設中給出的最值，一方面認為是方程的實數(shù)解，另一方面又認為是不等式的恒成立條件。由于對題設條件的理解深刻，所以構(gòu)思新穎，證法嚴謹。 例5. ABC的三邊a，b，c滿足b8c，試確定ABC的形狀。 解析：因為bc8， 所以b，c是方程的兩實根， 即，所以a6。從而得bc4，因此ABC是等腰三角形。 評注：構(gòu)建一元二次方程的模型解決數(shù)學問題，是一種行之有效的手段，其獨特功能在于充分運用構(gòu)建的一元二次方程及根的判別式和求根公式變更命題，從而使問題獲得圓滿解決。 例6. 設函數(shù)，其中。 （1）若f(x)在x3處取得極值，

5、求常數(shù)a的值； （2）若f(x)在上為增函數(shù)，求a的取值范圍。 解析：（1） 因f(x)在x3時取得極值， 所以 解得a3 經(jīng)檢驗知當a3時，x3為f(x)的極值點。 （2）令0 得 當a1時，若，則（x）0，所以f(x)在（）和（1，）上為增函數(shù)，故當時，在（，0）上為增函數(shù)。 當時，若，則，所以在（，1）和（a，）上為增函數(shù)，從而f(x)在（，0上也為增函數(shù)。 綜上所述，當時，f(x)在（，0）上為增函數(shù)。 評注：三次函數(shù)在求導之后，導函數(shù)成為二次函數(shù)，而二次函數(shù)、二次不等式、二次方程三者之間是相互依存的，利用它們可以將問題進行轉(zhuǎn)化，使二次方程的解與函數(shù)的極值相關，二次不等式的解與函數(shù)的單調(diào)性相關。 總之，函數(shù)與方程涉及的知識點多、面廣，函數(shù)與方程的思想方法是中學數(shù)學中十分重要的一種思想和方法，也是高考中考查的重點。因此，我們要重視和學會運用這一方法去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題，強化函數(shù)與方程的思想方法的應用意識和基本訓練，以適應高考新的變化和要求。年級高中學科數(shù)學版本期