特殊的高次方程的解法

1、特殊的一元高次方程的解法1教學目標知識與技能：理解和掌握二項方程的意義以及二項方程的解法；過程與方法：學會把一個代數(shù)式看作一個整體，掌握可以通過換元轉(zhuǎn)化為二項方程的方程的解法, 經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程，感受自主探究的快樂.教學重點及難點重點：掌握二項方程的求解方法.難點：把“整體”轉(zhuǎn)化為“新”元的二項方程.教學過程設(shè)計一、 情景引入 1復習提問復習：請同學們觀察下列方程(1) 2x+1=0； (2) ； (3) ； (4) =3； (5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) .提問：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5個方程與前3個方程有何異同？（3）方程（5）、（

2、6）、（7）有什么共同特點？二、學習新課 1概念辨析（1） 一元高次方程通過上述練習，師生共同得出一元高次方程的特點：（1）整式方程;（2）只含一個未知數(shù);（3）含未知數(shù)的項最高次數(shù)大于2次.從而提出一元高次方程的概念，并標題，提出本節(jié)課的主要內(nèi)容，學習簡單高次方程及其解法.（2）二項方程：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項方程.（3）一般形式：關(guān)于x的一元n次二項方程的一般形式為 注 =0（a0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. 這里所涉及的二項方程的次數(shù)不超過6次. 2例題分析解下列簡單的高次方程：（1）（2）（3）（4）分析 解

3、一元n次（n2）次二項方程，可轉(zhuǎn)化為求一個已知數(shù)的n次方根.如果在實數(shù)范圍內(nèi)這個數(shù)的n次方根存在，那么可利用計算器求出這個方程的根或近似值.思考：解二項方程 （學生自主歸納，教師總結(jié)）結(jié)論：對于二項方程 當n為奇數(shù)時，方程有且只有一個實數(shù)根.當n為偶數(shù)時，如果ab0，那么方程沒有實數(shù)根.特殊的高次方程的解法2 教學目標知識與技能：理解雙二次方程的意義，了解高次方程求解的基本方法是降次，會用換元法把雙二次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程；過程與方法：學會判斷雙二次方程的根的個數(shù);情感態(tài)度與價值觀：通過學習增強分析問題和解決問題的能力.教學重點及難點掌握雙二次方程的求解方法，學會判斷雙二次方程的根的個數(shù).教

4、學過程設(shè)計一、 情景引入 1復習請同學們解下列一元二次方程：(1) (2) （解題時可以穿插復習一元二次方程的四種解法：因式分解法、開平方法、配方法、求根公式法）2思考：若令,則方程變形為（1），（2）如何求解上述方程？3觀察：提問：以下哪些方程與，具有共同的特點？（1） （2）（3）（4） （5）這類方程有什么共同的特點？二、學習新課 1概念辨析（1） 雙二次方程：只含有偶數(shù)次項的一元四次方程.注 當常數(shù)項不是0時，規(guī)定它的次數(shù)為0.（2）一般形式：（3）學生歸納：如何求解雙二次方程？ 分析 求解的思想方法是“降次”，通過換元把它轉(zhuǎn)化為一元二次方程. 換元法對于某些特殊的一元高次方程，可以添

5、設(shè)一個輔助元替換原來的未知數(shù)，達到使高次方程降次的目的，這種解一元高次方程的方法稱為換元法。換元法是一種重要的數(shù)學方法，它不僅可以用在解方程中，在其他許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。換元法解一元高次方程的一般步驟：(1) 設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式(2) 解所得到的關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值(3) 把輔助未知數(shù)的值代回原設(shè)中，求出原未知數(shù)的值，即原方程的解2例題分析 例4：解下列方程： （1） （2） 例5：解方程 分析：雙二次方程既可以用換元法，也可以把看作一個整體直接求解. 3問題拓展不解方程，判斷下列方程的根的個數(shù)：； ； .分析：令0,y1

6、y20,y1+y20 原方程有四個實數(shù)根.0,y1y20,y1+y20,y1y20, 原方程有兩個實數(shù)根.0 原方程沒有實數(shù)根.：（1）（x2+2x）2-7(x2+2x)+12=0; （2）（x2+x）2+（x2x）=2;（3）（6x2-7x）2-2（6x2-7x）=3;（4）(x2+x)2-5x2-5x=6.：（1）(2x2-3x+1)2+4x2-1=6x ; （2）12x4-56x3+89x2-56x+12=0.解：觀察方程的系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)有以下特點：x4的系數(shù)與常數(shù)項相同，x3的系數(shù)與x的系數(shù)相同，像這樣的方程我們稱為倒數(shù)方程由 四、課堂小結(jié)（學生總結(jié)，教師歸納）1解雙二次方程的一般

7、過程是什么？（1）換元；（2）解一元二次方程；（3） 回代.2如何判斷雙二次方程的根的個數(shù)？五、作業(yè)布置解下列高次方程:（1）（x2-x）2-4（2x2-2x-3）=0;（2）（x2-2x+3）2=4x2-8x+17;（3） x4-（a2+b2）x2a2b2=0;（4）（x2+8x12）26（x28x12）9=0. 特殊的高次方程的解法3教學目標知識與技能：根據(jù)方程的特征，運用適當?shù)囊蚴椒纸夥ㄇ蠼庖辉叽畏匠?過程與方法：通過學習增強分析問題和解決問題的能力.教學重點及難點用因式分解法求解一元高次方程.教學過程設(shè)計一、 情景引入 1復習（1）將下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2-4x+3； x

8、4-4；x3-2x2-15x； x4-6x2+5；（x2-x）2-4（x2-x）-12.（2）提問：解二項方程的基本方法是什么？（開方）解雙二次方程的基本方法是什么？（換元）分析：不管是開方還是換元都是通過“降次”達到化歸目的.2觀察：（1）若令x2-4x+3； x4-4；x3-2x2-15x； x4-6x2+5；（x2-x）2-4（x2-x）-12的右邊都為0，請指出哪些是高次方程？（2）這些高次方程如何求解？二、學習新課因式分解法因式分解法是解一元高次方程首選的方法。這種解法的理論根據(jù)是兩個因式的積等于零的充分必要條件是這兩個因式至少要有一個等于零，即： 。因式分解法解一元高次方程的一般步

9、驟：(1) 將方程右邊化為零(2) 將方程左邊分解為幾個一次因式乘積(3) 令每個因式分別為零，得到幾個一元一次方程或一元二次方程(4) 解這幾個一元一次方程或一元二次方程，它們的解就是原方程的解1例題分析例6 解下列方程 （1）5x3=4x2； （2）2x3+x2-6x=0.說明 只有方程整理成一邊為零時，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程 （1）x3-5x2+x-5=0； （2）x3-6=x-6x2.2問題拓展（1）解方程 x3-2x2-4x8=0解 原方程可變形為x2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0所以 x1x22，x3=-

10、2（2）歸納： 當ad=bc0時，形如ax3bx2cxd=0的方程可這樣解決：令，則a=bk,c=dk,于是方程ax3+bx2+cx+d=0可化為 bkx3+bx2+dkx+d即 (kx+1)(bx2+d)=0三、鞏固練習1直接寫出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它們是_.2解下列方程：（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.3解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=04拓展：（1）（x2-x-6）（x2-x2）=0，（2）（x-3）（x2）（x2-x2）=0.分析：在具體操作過程中，把x2-x當作一個“整體”，可直接利用十字相乘法分解，

11、這樣省略了許多代換程序.（3）解方程(x-2)(x1)(x4)(x+7)=19解 把方程左邊第一個因式與第四個因式相乘，第二個因式與第三個因式相乘，得(x2+5x-14)(x25x4)=19設(shè)則(y-9)(y+9)=19，即y2-8119說明 在解此題時，仔細觀察方程中系數(shù)之間的特殊關(guān)系，則可用換元法解之在換元時也可以令y= x2+5x，因為換元的目的是為了降次.拓展部分是學有余力的學生選做，教師可根據(jù)學生的實際進行選擇.分層作業(yè)：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1 （4）(x+5)2+(2x

12、-1)2=(x+5)(2x-1)+67 高次方程及解法4 一般地，我們把次數(shù)大于2的整式方程，叫做高次方程。由兩個或兩個以上高次方程組成的方程組，叫做高次方程組。對于一元五次以上的高次方程，是不能用簡單的算術(shù)方法來求解的。對于一元五次以下的高次方程，也只能對其中的一些特殊形式的方程，采用“1判根法”、“常數(shù)項約數(shù)法”、“倒數(shù)方程求根法”、“雙二次方程及推廣形式求解法”等方法，將一元五次以下的高次方程消元、換元、降次，轉(zhuǎn)化成一次或二次方程求解。一、 1判根法在一個一元高次方程中，如果各項系數(shù)之和等于零，則1是方程的根；如果偶次項系數(shù)之和等于奇次項系數(shù)之和，則 -1是方程的根。求出方程的1的根后，

13、將原高次方程用長除法或因式分解法分別除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次數(shù)后依次求根?！?判根法”是解一元高次方程最簡捷、最快速的重要方法，一定要熟練掌握運用。例1 解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：觀察方程,因為各項系數(shù)之和為:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常數(shù)項算在偶數(shù)項系數(shù)當中),根據(jù)歌訣“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1), (x4+2x3-9x2-2x+8)(x-1)= x3+3x2-6x-8 觀察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次項系數(shù)之和為：3-8=-5；奇次項系數(shù)之和為：1-6=-5，根據(jù)歌訣“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式（x+1

14、）， （x3+3x2-6x-8） (x+1)=x2+2x-8，對一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, 原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式為：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:當(x-1)=0時,有x1=1;當(x+1)時，有x2= -1;當(x-2) =0時，有x3=2; 當(x+4)=0時，有x4=-4點撥提醒：在運用“1判根法”解高次方程時，一定注意把“常數(shù)項”作為“偶次項”系數(shù)計算。二、常數(shù)項約數(shù)求根法根據(jù)定理:“如果整系數(shù)多項式anxnan-1xn-1+a1x+a0可分解出因式px-q,即方程anxnan-1xn-1+a1x+

15、a0=0有有理數(shù)根（、Q 是互質(zhì)整數(shù)），那么，一定是首項系數(shù)an 的約數(shù)，Q一定是常數(shù)項 a0的約數(shù)”，我們用“常數(shù)項約數(shù)”很快找到求解方程的簡捷方法。“常數(shù)項約數(shù)求根法”分為兩種類型：第一種類型：首項系數(shù)為1。對首項（最高次數(shù)項）系數(shù)為1的高次方程，直接列出常數(shù)項所有約數(shù)，代入原方程逐一驗算，使方程值為零的約數(shù)，就是方程的根。依次用原方程除以帶根的因式，逐次降次，直至將高次方程降為二次或一次方程求解。例1 解方程x4+2x3-4x2-5x-6=0解：第一步：首先列出“常數(shù)項”-6的所有約數(shù)1、2、3、6 第二步：將這些約數(shù)逐一代入原方程驗算，確定原方程中所含的“帶根”因式。根據(jù)各項系數(shù)和不為

16、零和奇數(shù)項系數(shù)和不等于偶數(shù)項系數(shù)和，排除1根， f(2)=16+16-16-10-6=0 f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3）第三步：用長除法將原方程降次。（x4+2x3-4x2-5x-6）(x-2) (x+3)= x2+x+1第四步：解一元二次方程x2+x+1=0x= x1= x2= x3=2 x4= -3第二種類型，首項系數(shù)不為1 。對首項系數(shù)不為的高次方程，首先以首項系數(shù)為“公因數(shù)”提取到小括號外，然后對小括號內(nèi)的方程的常數(shù)項列出公約數(shù)。特別注意此時代入方程驗算的值一定是而不是，因為此時原方程的因式是（x），其余的解法步驟同首項系數(shù)為的解法

17、步驟相同。例解方程x3-x2x -6解：將原方程化為 （x3-x2x -） 此時，“常數(shù)項”為-2，它的約數(shù)為 1， ，根據(jù)“1判根法”排除1，這時，代人原方程驗算的只能是=，或= - f()=3=30=0所以原方程中有因式（3 x-2）。（3x3-x2x -6）(3x -2)= x2+3解方程式x2+3=0 x=，x1=，x2=-原方程的解為x1=，x2= ，x3=三、倒數(shù)方程求根法1、定義：系數(shù)成首尾等距離的對稱形式的方程，叫做倒數(shù)方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，或者a= -e,b= -d2、性質(zhì)：倒數(shù)方程有三條重要性質(zhì)：（1）倒數(shù)方程沒有零根；（2）如果a是方程的根

18、，則也是方程的根；（3）奇數(shù)次倒數(shù)方程必有一個根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一個次數(shù)后的方程仍是倒數(shù)方程。3、倒數(shù)方程求解方法：如果a x4+bx3+cx2+dx+e=0是倒數(shù)方程，由于倒數(shù)方程沒有零根，即x0,所以，方程兩邊同除以x2得：a(x2+)+b(x+)+e=0,令x+=y, x2+=y2-2,即原方程變?yōu)椋篴y2+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+=y，解得x的值。例1 解方程2 x4+3x3-16x2+3x+2=0解： x2 0 方程兩邊同除以 x2 得：2x2+3x-16+=0,即2（x2+）+3（x+）-16=0, 2（x+）-2+3（x

19、+）-16=0, 令x+=y, 代入方程整理得：2y2+3y-20=0, 解之得：y1= -4, y2= 即x+= -4, x2+1= -4x, x2+4x+1=0, x=-2,x1= -2+, x2= -2 -又 x+= 2x2+2=5x, 2x2-5x+2=0 (2x-1)(x-2)=0 x3=, x4=2經(jīng)檢驗知x1= -2+, x2= -2-，x3=, x4=2都是原方程的根。例2 解方程6x5 - 4 x4 -3x3+3x2 -4x -6=0 解：觀察該方程首尾等距離對應(yīng)項系數(shù)互為相反數(shù)，且最高次冪項數(shù)是奇數(shù)，有根x=1,方程兩邊同除以因式（x-1）得：6x4+10x3+7x2+10

20、x+6=0，方程兩邊同除以x2并整理得：6+10, 令y=得 方程x+無實數(shù)解：得：x經(jīng)檢驗知：是原方程的實數(shù)根。四、雙二次方程及推廣形式求根法雙二次方程有四種形式：第一種是標準式，如：ax4+bx2+c=0 ,此時設(shè)y=x2 原方程化為含y的一元二次方程ay2+by+c=0，求出y值在代入x2之值，從而求出x之值。第二種形式雙二次方程的推廣形式。如：（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0 ,此時設(shè)y=(ax2+bx+c),也可轉(zhuǎn)化為含y的一元二次方程y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y從而求出原方程的根x之值。第三種形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d

21、)+m=0,此時，方程左邊按照“創(chuàng)造相同的多項式，換元替換”的要求，將（x+a）(x+c); (x+b)(x+d)結(jié)合（一般是最小數(shù)與最大數(shù)，中間數(shù)與中間數(shù)組合），展開相乘，創(chuàng)造相同的多項式（ax2+bx+c）或成比例的多項式m(ax2+bx+c),然后設(shè)y=ax2+bx+c,將原方程轉(zhuǎn)化為含y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，將y值代入ax2+bx+c=y求x之值。第四種形式是（x-a）4+(x-b) 4=c的形式，此時，將“-a”換成“+b”或?qū)ⅰ?b”換成“+a”，利用y=x+,消去x的三次項和一次項，變成雙二次方程+的形式求解。例1 解方程x4+3x2-10=0解：本例屬于雙二次方程標準式ax4+bx2+c=0的形式，直接設(shè)y=x2,則原方程化為：y2+3y-10=0 (y+5)(y+2)=0 y= -5或者y=2 (舍去)，x2=2,x1=，例2 解方程（x2-3x+2）2=9x-3x2-2解：本例屬于雙二次標準方程ax4+bx2+c=0推廣形式的第二種類型（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0，因為括號內(nèi)的二次三項式和括號外的二次三項式經(jīng)過整理，對應(yīng)項系數(shù)成比例，即：(x2-3x+2)2+3(x2-3x+2)-4=0設(shè)y=x2-3x+2,則原方程轉(zhuǎn)化為y2 +3y -4=0 ，或者 y=1 x2-3x+2=-4 ,x2