特殊的高次方程的解法

1、特殊的一元高次方程的解法1教學(xué)目標(biāo)知識與技能：理解和掌握二項(xiàng)方程的意義以及二項(xiàng)方程的解法；過程與方法：學(xué)會把一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體，掌握可以通過換元轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)方程的方程的解法, 經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程，感受自主探究的快樂.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握二項(xiàng)方程的求解方法.難點(diǎn)：把“整體”轉(zhuǎn)化為“新”元的二項(xiàng)方程.教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、 情景引入 1復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)：請同學(xué)們觀察下列方程(1) 2x+1=0； (2) ； (3) ； (4) =3； (5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) .提問：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5個(gè)方程與前3個(gè)方程有何異同？（3）方程（5）、（

2、6）、（7）有什么共同特點(diǎn)？二、學(xué)習(xí)新課 1概念辨析（1） 一元高次方程通過上述練習(xí)，師生共同得出一元高次方程的特點(diǎn)：（1）整式方程;（2）只含一個(gè)未知數(shù);（3）含未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)大于2次.從而提出一元高次方程的概念，并標(biāo)題，提出本節(jié)課的主要內(nèi)容，學(xué)習(xí)簡單高次方程及其解法.（2）二項(xiàng)方程：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程.（3）一般形式：關(guān)于x的一元n次二項(xiàng)方程的一般形式為 注 =0（a0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. 這里所涉及的二項(xiàng)方程的次數(shù)不超過6次. 2例題分析解下列簡單的高次方程：（1）（2）（3）（4）分析 解

3、一元n次（n2）次二項(xiàng)方程，可轉(zhuǎn)化為求一個(gè)已知數(shù)的n次方根.如果在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)這個(gè)數(shù)的n次方根存在，那么可利用計(jì)算器求出這個(gè)方程的根或近似值.思考：解二項(xiàng)方程 （學(xué)生自主歸納，教師總結(jié)）結(jié)論：對于二項(xiàng)方程 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果ab0，那么方程沒有實(shí)數(shù)根.特殊的高次方程的解法2 教學(xué)目標(biāo)知識與技能：理解雙二次方程的意義，了解高次方程求解的基本方法是降次，會用換元法把雙二次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程；過程與方法：學(xué)會判斷雙二次方程的根的個(gè)數(shù);情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)習(xí)增強(qiáng)分析問題和解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)掌握雙二次方程的求解方法，學(xué)會判斷雙二次方程的根的個(gè)數(shù).教

4、學(xué)過程設(shè)計(jì)一、 情景引入 1復(fù)習(xí)請同學(xué)們解下列一元二次方程：(1) (2) （解題時(shí)可以穿插復(fù)習(xí)一元二次方程的四種解法：因式分解法、開平方法、配方法、求根公式法）2思考：若令,則方程變形為（1），（2）如何求解上述方程？3觀察：提問：以下哪些方程與，具有共同的特點(diǎn)？（1） （2）（3）（4） （5）這類方程有什么共同的特點(diǎn)？二、學(xué)習(xí)新課 1概念辨析（1） 雙二次方程：只含有偶數(shù)次項(xiàng)的一元四次方程.注 當(dāng)常數(shù)項(xiàng)不是0時(shí)，規(guī)定它的次數(shù)為0.（2）一般形式：（3）學(xué)生歸納：如何求解雙二次方程？ 分析 求解的思想方法是“降次”，通過換元把它轉(zhuǎn)化為一元二次方程. 換元法對于某些特殊的一元高次方程，可以添

5、設(shè)一個(gè)輔助元替換原來的未知數(shù)，達(dá)到使高次方程降次的目的，這種解一元高次方程的方法稱為換元法。換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅可以用在解方程中，在其他許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。換元法解一元高次方程的一般步驟：(1) 設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式(2) 解所得到的關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值(3) 把輔助未知數(shù)的值代回原設(shè)中，求出原未知數(shù)的值，即原方程的解2例題分析 例4：解下列方程： （1） （2） 例5：解方程 分析：雙二次方程既可以用換元法，也可以把看作一個(gè)整體直接求解. 3問題拓展不解方程，判斷下列方程的根的個(gè)數(shù)：； ； .分析：令0,y1

6、y20,y1+y20 原方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根.0,y1y20,y1+y20,y1y20, 原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.0 原方程沒有實(shí)數(shù)根.：（1）（x2+2x）2-7(x2+2x)+12=0; （2）（x2+x）2+（x2x）=2;（3）（6x2-7x）2-2（6x2-7x）=3;（4）(x2+x)2-5x2-5x=6.：（1）(2x2-3x+1)2+4x2-1=6x ; （2）12x4-56x3+89x2-56x+12=0.解：觀察方程的系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)有以下特點(diǎn)：x4的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相同，x3的系數(shù)與x的系數(shù)相同，像這樣的方程我們稱為倒數(shù)方程由 四、課堂小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，教師歸納）1解雙二次方程的一般

7、過程是什么？（1）換元；（2）解一元二次方程；（3） 回代.2如何判斷雙二次方程的根的個(gè)數(shù)？五、作業(yè)布置解下列高次方程:（1）（x2-x）2-4（2x2-2x-3）=0;（2）（x2-2x+3）2=4x2-8x+17;（3） x4-（a2+b2）x2a2b2=0;（4）（x2+8x12）26（x28x12）9=0. 特殊的高次方程的解法3教學(xué)目標(biāo)知識與技能：根據(jù)方程的特征，運(yùn)用適當(dāng)?shù)囊蚴椒纸夥ㄇ蠼庖辉叽畏匠?過程與方法：通過學(xué)習(xí)增強(qiáng)分析問題和解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)用因式分解法求解一元高次方程.教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、 情景引入 1復(fù)習(xí)（1）將下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2-4x+3； x

8、4-4；x3-2x2-15x； x4-6x2+5；（x2-x）2-4（x2-x）-12.（2）提問：解二項(xiàng)方程的基本方法是什么？（開方）解雙二次方程的基本方法是什么？（換元）分析：不管是開方還是換元都是通過“降次”達(dá)到化歸目的.2觀察：（1）若令x2-4x+3； x4-4；x3-2x2-15x； x4-6x2+5；（x2-x）2-4（x2-x）-12的右邊都為0，請指出哪些是高次方程？（2）這些高次方程如何求解？二、學(xué)習(xí)新課因式分解法因式分解法是解一元高次方程首選的方法。這種解法的理論根據(jù)是兩個(gè)因式的積等于零的充分必要條件是這兩個(gè)因式至少要有一個(gè)等于零，即： 。因式分解法解一元高次方程的一般步

9、驟：(1) 將方程右邊化為零(2) 將方程左邊分解為幾個(gè)一次因式乘積(3) 令每個(gè)因式分別為零，得到幾個(gè)一元一次方程或一元二次方程(4) 解這幾個(gè)一元一次方程或一元二次方程，它們的解就是原方程的解1例題分析例6 解下列方程 （1）5x3=4x2； （2）2x3+x2-6x=0.說明 只有方程整理成一邊為零時(shí)，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程 （1）x3-5x2+x-5=0； （2）x3-6=x-6x2.2問題拓展（1）解方程 x3-2x2-4x8=0解 原方程可變形為x2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0所以 x1x22，x3=-

10、2（2）歸納： 當(dāng)ad=bc0時(shí)，形如ax3bx2cxd=0的方程可這樣解決：令，則a=bk,c=dk,于是方程ax3+bx2+cx+d=0可化為 bkx3+bx2+dkx+d即 (kx+1)(bx2+d)=0三、鞏固練習(xí)1直接寫出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它們是_.2解下列方程：（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.3解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=04拓展：（1）（x2-x-6）（x2-x2）=0，（2）（x-3）（x2）（x2-x2）=0.分析：在具體操作過程中，把x2-x當(dāng)作一個(gè)“整體”，可直接利用十字相乘法分解，

11、這樣省略了許多代換程序.（3）解方程(x-2)(x1)(x4)(x+7)=19解 把方程左邊第一個(gè)因式與第四個(gè)因式相乘，第二個(gè)因式與第三個(gè)因式相乘，得(x2+5x-14)(x25x4)=19設(shè)則(y-9)(y+9)=19，即y2-8119說明 在解此題時(shí)，仔細(xì)觀察方程中系數(shù)之間的特殊關(guān)系，則可用換元法解之在換元時(shí)也可以令y= x2+5x，因?yàn)閾Q元的目的是為了降次.拓展部分是學(xué)有余力的學(xué)生選做，教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際進(jìn)行選擇.分層作業(yè)：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1 （4）(x+5)2+(2x

12、-1)2=(x+5)(2x-1)+67 高次方程及解法4 一般地，我們把次數(shù)大于2的整式方程，叫做高次方程。由兩個(gè)或兩個(gè)以上高次方程組成的方程組，叫做高次方程組。對于一元五次以上的高次方程，是不能用簡單的算術(shù)方法來求解的。對于一元五次以下的高次方程，也只能對其中的一些特殊形式的方程，采用“1判根法”、“常數(shù)項(xiàng)約數(shù)法”、“倒數(shù)方程求根法”、“雙二次方程及推廣形式求解法”等方法，將一元五次以下的高次方程消元、換元、降次，轉(zhuǎn)化成一次或二次方程求解。一、 1判根法在一個(gè)一元高次方程中，如果各項(xiàng)系數(shù)之和等于零，則1是方程的根；如果偶次項(xiàng)系數(shù)之和等于奇次項(xiàng)系數(shù)之和，則 -1是方程的根。求出方程的1的根后，

13、將原高次方程用長除法或因式分解法分別除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次數(shù)后依次求根?！?判根法”是解一元高次方程最簡捷、最快速的重要方法，一定要熟練掌握運(yùn)用。例1 解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：觀察方程,因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)之和為:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常數(shù)項(xiàng)算在偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)當(dāng)中),根據(jù)歌訣“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1), (x4+2x3-9x2-2x+8)(x-1)= x3+3x2-6x-8 觀察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次項(xiàng)系數(shù)之和為：3-8=-5；奇次項(xiàng)系數(shù)之和為：1-6=-5，根據(jù)歌訣“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式（x+1

14、）， （x3+3x2-6x-8） (x+1)=x2+2x-8，對一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, 原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式為：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:當(dāng)(x-1)=0時(shí),有x1=1;當(dāng)(x+1)時(shí)，有x2= -1;當(dāng)(x-2) =0時(shí)，有x3=2; 當(dāng)(x+4)=0時(shí)，有x4=-4點(diǎn)撥提醒：在運(yùn)用“1判根法”解高次方程時(shí)，一定注意把“常數(shù)項(xiàng)”作為“偶次項(xiàng)”系數(shù)計(jì)算。二、常數(shù)項(xiàng)約數(shù)求根法根據(jù)定理:“如果整系數(shù)多項(xiàng)式anxnan-1xn-1+a1x+a0可分解出因式px-q,即方程anxnan-1xn-1+a1x+

15、a0=0有有理數(shù)根（、Q 是互質(zhì)整數(shù)），那么，一定是首項(xiàng)系數(shù)an 的約數(shù)，Q一定是常數(shù)項(xiàng) a0的約數(shù)”，我們用“常數(shù)項(xiàng)約數(shù)”很快找到求解方程的簡捷方法?！俺?shù)項(xiàng)約數(shù)求根法”分為兩種類型：第一種類型：首項(xiàng)系數(shù)為1。對首項(xiàng)（最高次數(shù)項(xiàng)）系數(shù)為1的高次方程，直接列出常數(shù)項(xiàng)所有約數(shù)，代入原方程逐一驗(yàn)算，使方程值為零的約數(shù)，就是方程的根。依次用原方程除以帶根的因式，逐次降次，直至將高次方程降為二次或一次方程求解。例1 解方程x4+2x3-4x2-5x-6=0解：第一步：首先列出“常數(shù)項(xiàng)”-6的所有約數(shù)1、2、3、6 第二步：將這些約數(shù)逐一代入原方程驗(yàn)算，確定原方程中所含的“帶根”因式。根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)和不為

16、零和奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和不等于偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，排除1根， f(2)=16+16-16-10-6=0 f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3）第三步：用長除法將原方程降次。（x4+2x3-4x2-5x-6）(x-2) (x+3)= x2+x+1第四步：解一元二次方程x2+x+1=0x= x1= x2= x3=2 x4= -3第二種類型，首項(xiàng)系數(shù)不為1 。對首項(xiàng)系數(shù)不為的高次方程，首先以首項(xiàng)系數(shù)為“公因數(shù)”提取到小括號外，然后對小括號內(nèi)的方程的常數(shù)項(xiàng)列出公約數(shù)。特別注意此時(shí)代入方程驗(yàn)算的值一定是而不是，因?yàn)榇藭r(shí)原方程的因式是（x），其余的解法步驟同首項(xiàng)系數(shù)為的解法

17、步驟相同。例解方程x3-x2x -6解：將原方程化為 （x3-x2x -） 此時(shí)，“常數(shù)項(xiàng)”為-2，它的約數(shù)為 1， ，根據(jù)“1判根法”排除1，這時(shí)，代人原方程驗(yàn)算的只能是=，或= - f()=3=30=0所以原方程中有因式（3 x-2）。（3x3-x2x -6）(3x -2)= x2+3解方程式x2+3=0 x=，x1=，x2=-原方程的解為x1=，x2= ，x3=三、倒數(shù)方程求根法1、定義：系數(shù)成首尾等距離的對稱形式的方程，叫做倒數(shù)方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，或者a= -e,b= -d2、性質(zhì)：倒數(shù)方程有三條重要性質(zhì)：（1）倒數(shù)方程沒有零根；（2）如果a是方程的根

18、，則也是方程的根；（3）奇數(shù)次倒數(shù)方程必有一個(gè)根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一個(gè)次數(shù)后的方程仍是倒數(shù)方程。3、倒數(shù)方程求解方法：如果a x4+bx3+cx2+dx+e=0是倒數(shù)方程，由于倒數(shù)方程沒有零根，即x0,所以，方程兩邊同除以x2得：a(x2+)+b(x+)+e=0,令x+=y, x2+=y2-2,即原方程變?yōu)椋篴y2+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+=y，解得x的值。例1 解方程2 x4+3x3-16x2+3x+2=0解： x2 0 方程兩邊同除以 x2 得：2x2+3x-16+=0,即2（x2+）+3（x+）-16=0, 2（x+）-2+3（x

19、+）-16=0, 令x+=y, 代入方程整理得：2y2+3y-20=0, 解之得：y1= -4, y2= 即x+= -4, x2+1= -4x, x2+4x+1=0, x=-2,x1= -2+, x2= -2 -又 x+= 2x2+2=5x, 2x2-5x+2=0 (2x-1)(x-2)=0 x3=, x4=2經(jīng)檢驗(yàn)知x1= -2+, x2= -2-，x3=, x4=2都是原方程的根。例2 解方程6x5 - 4 x4 -3x3+3x2 -4x -6=0 解：觀察該方程首尾等距離對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，且最高次冪項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，有根x=1,方程兩邊同除以因式（x-1）得：6x4+10x3+7x2+10

20、x+6=0，方程兩邊同除以x2并整理得：6+10, 令y=得 方程x+無實(shí)數(shù)解：得：x經(jīng)檢驗(yàn)知：是原方程的實(shí)數(shù)根。四、雙二次方程及推廣形式求根法雙二次方程有四種形式：第一種是標(biāo)準(zhǔn)式，如：ax4+bx2+c=0 ,此時(shí)設(shè)y=x2 原方程化為含y的一元二次方程ay2+by+c=0，求出y值在代入x2之值，從而求出x之值。第二種形式雙二次方程的推廣形式。如：（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0 ,此時(shí)設(shè)y=(ax2+bx+c),也可轉(zhuǎn)化為含y的一元二次方程y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y從而求出原方程的根x之值。第三種形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d

21、)+m=0,此時(shí)，方程左邊按照“創(chuàng)造相同的多項(xiàng)式，換元替換”的要求，將（x+a）(x+c); (x+b)(x+d)結(jié)合（一般是最小數(shù)與最大數(shù)，中間數(shù)與中間數(shù)組合），展開相乘，創(chuàng)造相同的多項(xiàng)式（ax2+bx+c）或成比例的多項(xiàng)式m(ax2+bx+c),然后設(shè)y=ax2+bx+c,將原方程轉(zhuǎn)化為含y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，將y值代入ax2+bx+c=y求x之值。第四種形式是（x-a）4+(x-b) 4=c的形式，此時(shí)，將“-a”換成“+b”或?qū)ⅰ?b”換成“+a”，利用y=x+,消去x的三次項(xiàng)和一次項(xiàng)，變成雙二次方程+的形式求解。例1 解方程x4+3x2-10=0解：本例屬于雙二次方程標(biāo)準(zhǔn)式ax4+bx2+c=0的形式，直接設(shè)y=x2,則原方程化為：y2+3y-10=0 (y+5)(y+2)=0 y= -5或者y=2 (舍去)，x2=2,x1=，例2 解方程（x2-3x+2）2=9x-3x2-2解：本例屬于雙二次標(biāo)準(zhǔn)方程ax4+bx2+c=0推廣形式的第二種類型（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0，因?yàn)槔ㄌ杻?nèi)的二次三項(xiàng)式和括號外的二次三項(xiàng)式經(jīng)過整理，對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)成比例，即：(x2-3x+2)2+3(x2-3x+2)-4=0設(shè)y=x2-3x+2,則原方程轉(zhuǎn)化為y2 +3y -4=0 ，或者 y=1 x2-3x+2=-4 ,x2