高考數(shù)學(xué)解題方法探討_數(shù)學(xué)破題36計(jì)(28-36計(jì))

1、.數(shù)學(xué)破題36計(jì)第28計(jì) 三角開(kāi)門(mén) 八面玲瓏計(jì)名釋義三角函數(shù)是溝通平面幾何，立體幾何、解析幾何、向量和函數(shù)的重要工具.它具有以下特點(diǎn)：1.公式多，變換多，技巧多；2.思想方法集中，特別是函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和特殊一般思想；3.應(yīng)用廣泛，學(xué)科內(nèi)自身應(yīng)用和跨學(xué)科的綜合應(yīng)用.典例示范【例1】 設(shè)a,bR，a2+2b2=6，則a+b的最小值是 （ ）A.-2 B. C.-3 D.【解答】 a2+2b2=6=1. 設(shè)(0，2)，則a+b=cos+sin=3cos(-)，其中cos=，sin=，a+b-3，選C.【點(diǎn)評(píng)】 本例實(shí)施代數(shù)與解析幾何、三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，利用三角函數(shù)的有界性破題.【例2】

2、 已知正數(shù)x,y滿足3x2+2y2=6x，則x2+y2的最大值是 .【思考】 對(duì)于本題，以下解法并不鮮見(jiàn)；由條件y2=3x-x2.x2+y2=x2+x2+3x=(x-3)2+.當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，（x2+y2）max =.你能發(fā)現(xiàn)這種解法有什么毛病嗎？先檢驗(yàn)一下，如x=3,會(huì)有什么情況發(fā)生，將x=3代入已知條件，得：39+2y2=18. 2y2=-9.顯然，我們得到了一個(gè)錯(cuò)誤的等式，毛病在哪里呢？是沒(méi)有分析條件所暗示的變量x,y的范圍，正確的解法是:y2=3x-x20，x2-2x0. 得x0,2，而x2+y2=(x-3)2+.令z=(x-3)2+，則當(dāng)x3時(shí)，z為增函數(shù)，已求x0,2，故當(dāng)x=2

3、時(shí)，zmax =(2-3)2+= 4，即(x2+y2)max= 4.【評(píng)注】 本題若用三角代換，可以避開(kāi)陷阱，達(dá)到八面玲瓏.由條件得：(x-1)2+y2=1.設(shè)，則x2+y2=(1+cos)2+sin2=cos2+2cos+(cos-2)2+.由于cos-1,1,故當(dāng)cos=1時(shí)，(x2+y2)max =+=4.此時(shí)，x=2，y=0.【例3】 設(shè)拋物線y2=4px(p0)的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)M，過(guò)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.【解答】 拋物線y2=4px的準(zhǔn)線為x= -p，交x軸于M(-p,0),設(shè)過(guò)M的直線參數(shù)方程為：(t為參數(shù))代入y2=4px：t2sin2-4ptco

4、s+4p2=0 (1)方程(1)有相異二實(shí)根的條件是：1,設(shè)方程(1)之二根為t1，t2，則t1+t2=設(shè)AB之中點(diǎn)為Q(x,y)， t=.，消去得：y2=2p(x+p),|cot|1，|y|2p，即所求AB中點(diǎn)的軌跡方程為：y2=2p(x+p)(|y|2p).【點(diǎn)評(píng)】 直線的參數(shù)方程即直線的三角形式，在處理解析幾何中直線與曲線的關(guān)系中，常起重要作用，由于它能減少變量(由x,y兩個(gè)變量減為一個(gè)變量t).所以其運(yùn)算過(guò)程常比一般方程簡(jiǎn)便.但在起用直線的參數(shù)方程時(shí)，必須用其標(biāo)準(zhǔn)式：其中P(x0，y0)為定點(diǎn)，是直線的傾斜角:參數(shù)t表示動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)P(x0，y0)所連有向線段的數(shù)量，若M在P

5、上方則t0，反之tu）,要使運(yùn)輸?shù)V石的時(shí)間最短，火車站C、D應(yīng)建在什么地方？【分析】 求的是C、D建的地方，為了將問(wèn)題簡(jiǎn)化，暫不考慮車站D，設(shè)法求出從A經(jīng)過(guò)C到B所需最短時(shí)間.【解答】 AC=AC=mtanA,CB=AB-AC=l-mtanA從A經(jīng)過(guò)C到B所需時(shí)間為 例5題圖t=由于，為常數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求y=的最小值.y=，令y=0,得時(shí)，sinA1.sinA時(shí)，y時(shí)，y0.故函數(shù)y，從而函數(shù)t當(dāng)sinA=時(shí)，取得極小值：sinA=，AC=mtanA=，即車站C距A為千米，它與l的長(zhǎng)短無(wú)關(guān).同理，站D距B為千米.【點(diǎn)評(píng)】 本例再次映證了求導(dǎo)法在求最值中的重要作用.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1、已知方程x2+xs

6、in2- sincot=0()之二根為,，求使等比數(shù)列1,，前100項(xiàng)之和為零的值.2、設(shè)實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)滿足方程x2+y2-2x-2y+1=0，求的最小值.3、已知圓的方程是x2+y2=1，四邊形PABQ為該圓內(nèi)接梯形，底邊AB為圓的直徑且在x軸上，當(dāng)梯形ABCD的周長(zhǎng)l最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)及這個(gè)最大的周長(zhǎng).4ABC中，已知三內(nèi)角滿足關(guān)系式y(tǒng)=2+cos Ccos (A-B)- cos2C.()證明任意交換A、B、C位置y的值不變；（）求y的最大值.5.一條河寬1km，相距4km(直線距離)的兩座城市A與B分別位于河的兩岸，現(xiàn)需鋪設(shè)一條電纜連通A與B. 已知地下電纜的修建費(fèi)為每千米2萬(wàn)元，水

7、下電纜的修建費(fèi)為每千米4萬(wàn)元. 假定兩岸是平行的直線.問(wèn)應(yīng)如何鋪設(shè)電纜可使總的修建費(fèi)用最少?參考答案1由條件：,，即等比數(shù)列的公比q=2sin，S100=.已知S100=0，(2sin)100=1且2sin1,于是2sin= -1,sin=,(，), =.2圓(x-1)2+(y-1)2=1的圓心為C(1,1)，半徑r=1，此圓在第一象限且與兩軸相切，為求的最小值，先求的最大值.如圖，表示圓上的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)P(-1,0)連線的斜率,PA，PB為圓C的切線，則，連PC,設(shè)BPC=APC=，則tan=, 第2題解圖tanBPA=tan2=, 即，從而.3如圖所示，有A(1,0),B(-1,0)

8、,方程為x2+y2=1，設(shè)P(cos，sin)為圓上一點(diǎn)，不妨設(shè)P在第一象限，則有Q(-cos,sin).|PQ|=2cos,RtPAB中PBA=,|BQ|=|PA|=|AB| sin=2sin，l=2+2cos+4sin=2+2(1-2sin2)+4sin=5-4(sin)2, 第3題解圖當(dāng)且僅當(dāng)sin=，即=60(若在四象限則為300)時(shí)，lmax=5，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.4()y=2+cos Ccos (A-B) - cosC=2+cos Ccos (A-B)+cos (A+B)=2+2cos Acos Bcos C此為關(guān)于A、B、C的對(duì)稱輪換式，故任意交換A、B、C的位置，y的值不變.(

9、)y=2-cos Ccos (A-B)2 +cos2(A-B),為求y的最大值必須cosCcos (A-B)2取得最小而cos2(A-B)取得最大.cosCcos (A-B) 20，且cos+(A-B)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)以上兩條同時(shí)成立.ymax =，此時(shí)故ABC為正三角形.5.解法一:如圖所示，設(shè)OM=x km，則AM=-x，BM=. 總修建費(fèi)S=2（-x）+4=2+x+3(-x)=2+（+x）+2+2由+x=,得當(dāng)x=時(shí)，S取最小值2+2，此時(shí)，AM3.3，BM1.2.故當(dāng)先沿岸鋪設(shè)3.3 km地下電纜，再鋪設(shè)1.2 km水下電纜連通A與B時(shí)， 第5題解圖總的修建費(fèi)用最少，此時(shí)修建費(fèi)為11.4萬(wàn)元

10、.解法二：如圖所示，設(shè)OBM=(00，得t， S2+2將t=代入sin+tcos=2，解得= 0arccos AM=-3.3，BM=1.2故Smin =2.數(shù)學(xué)破題36計(jì)第29計(jì) 向量開(kāi)門(mén) 數(shù)形與共計(jì)名釋義非數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，說(shuō)的是數(shù)學(xué)建模，非運(yùn)算問(wèn)題運(yùn)算化，向量是典型的代表.向量是近代數(shù)學(xué)的最重要和最基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問(wèn)題的有力工具.同時(shí)，它又具有代數(shù)運(yùn)算的功能.因此，它像一個(gè)媒婆，牽起了一根線，一頭連著代數(shù)，另一頭連著圖形，只要經(jīng)它輕輕一拉，數(shù)形便能結(jié)合成一家人.典例示范【例1】 ,為銳角，且sin-sin=,cos-cos=，求tan(-)之值?！窘獯稹?如圖，設(shè)

11、A(cos,sin),B(cos,sin)為單位圓上兩點(diǎn)，由條件知：0.那么：=（cos- cos,sin- sin）=.|=，|=|=1. OAB中,由余弦定理：cos(-)= cos (-) =.sin(-)=,tan(-)=.【點(diǎn)評(píng)】 如果說(shuō)本例用向量求三角函數(shù)值中沒(méi)有太大的優(yōu)越性，那么利用向量模型證明不等式則有其獨(dú)到的簡(jiǎn)便之處，再看下例.【例2】 設(shè)a,b,c,dR，證明：ac+bd【解答】 設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則mn=ac+bd，|m|n|=mn=|m|ncos（m,n）|m|n|. ac+bd.【點(diǎn)評(píng)】 難以置信的簡(jiǎn)明，這正是向量的半功偉績(jī)之一，那么，向量在解析幾何中

12、又能起作用嗎?【例3】 在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且兩兩夾角均為60，則對(duì)角線AC1之長(zhǎng)為 .【思考】 求線段的長(zhǎng)度常用的手段是歸結(jié)為解三角形.利用勾股定理或余弦定理，顯然，這種方法需要較大的計(jì)算量，例如，確定AC1與平面ABCD所成角的大小就不是省油的燈.有無(wú)更好的方法呢？這個(gè)平行六面體的各個(gè)表面不都是邊長(zhǎng)相等且?jiàn)A銳角為60的菱形嗎？利用向量豈不更為省事?向量的數(shù)量積公式可以保駕護(hù)航.對(duì)！走向量法解題的道路.【解答】 如圖所示，=1+1+1+2(cos60+ cos60+ cos60)=6|=. 例2題解圖【點(diǎn)評(píng)】 向量運(yùn)算的優(yōu)越性，由本例已可一

13、覽無(wú)遺，特別是|2=的運(yùn)用奇妙.注意：與所成角等于與所成角，是60而不是120.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDABCD中，E、F分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=BF.()求證：；()當(dāng)三棱錐BBEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角BEFB的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示). 第1題圖2已知a,bR+，且ab，求證：(a3+b3)2(a2+b2)(a4+b4).3在雙曲線xy=1上任取不同三點(diǎn)A,B,C,證明ABC的垂心也在該雙曲線上.參考答案1.(1)如圖，以B為原點(diǎn)，直線BC,BA,BB分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)=x,則有:A(0,a,a),C(a,0,a). E(0

14、,a-x,0)，F(xiàn)(x,0,0),=(x,-a,-a)，=(-a,a-x,-a).=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0，.(2)VBBEF=SEEF|=(a-x)xa=a(a-x)xa，當(dāng)且僅當(dāng)a-x=a，即x=時(shí),(VBBEF)max =，此時(shí)E、F分別為AB,BC的中點(diǎn),必EFBD.設(shè)垂足為M，連BM,BB平面ABCD, 第1題圖由三垂線定理知BMEF,BMB是二面角BEFB的平面角,設(shè)為,|= tan=.即=arctan2，則二面角BEFB的大小為arctan2.2設(shè)m=(a,b)，n=(a2,b2), mn|m|n|.a3+b3，即是(a3+b3)2

15、(a2+b2)(a4+b4).3如圖,設(shè)A(x1,)，B(x2,),C(x3，)，ABC的垂心為H(x0，y0),則, ,(x0-x3)(x2-x1)+(y0-.x1x2，x0-x3.x0+ (1)同理：x0+.x2-x1=y0.x1x2，y0=-x1x2x3，代入 (1)：x0-=x3=0,x0y0=1，即H(x0，y0)在雙曲線xy=1上。數(shù)學(xué)破題36計(jì)第30計(jì) 統(tǒng)計(jì)開(kāi)門(mén) 存異求同計(jì)名釋義甲問(wèn)：什么是“可能一統(tǒng)”？乙答：就是“可能性”完成大一統(tǒng).甲：此話怎講？乙：排列、組合講的是“可能狀態(tài)”，概率講的是“可能比值”，而統(tǒng)計(jì)則是對(duì)“各種可能”的計(jì)算，故稱“可能一統(tǒng)”.甲：這有什么意義呢？乙：

16、現(xiàn)實(shí)意義，實(shí)際意義，應(yīng)用意義.你不知道嗎，如今的數(shù)學(xué)應(yīng)用題幾乎全部轉(zhuǎn)入到“可能一統(tǒng)”之中.甲：不錯(cuò)！以往的高考應(yīng)用題，多在函數(shù)、方程、不等式上打主意，自從新課標(biāo)普及以來(lái)，應(yīng)用題轉(zhuǎn)到概率和統(tǒng)計(jì)上了.不過(guò)，這是否在實(shí)用方面有點(diǎn)偏離高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容呢？乙：大概命題人也想到這點(diǎn)，因此近年的概統(tǒng)應(yīng)用題，似乎都在想方設(shè)法往函數(shù)、方程、不等式方面拉關(guān)系!典例示范【例1】 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2238556570若由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求：（1）線性回歸方程；（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？【分析】 本題告訴了y與

17、x間呈線性相關(guān)關(guān)系，倘若記住了公式，便可以迅速解答出此題.注：設(shè)所求的直線方程為=bx+a，其中a、b是待定系數(shù)相應(yīng)的直線叫做回歸直線，對(duì)兩個(gè)變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計(jì)分析叫做回歸分析.解：（1）列表如下：i12345xi23456yi2.238556570xiyi44114220325420x49162536于是b=，a=0.08. 線性回歸方程為：=bx+a=1.23x+0.08.（2）當(dāng)x=10時(shí)，=1.2310+0.08=12.38（萬(wàn)元）即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元.【點(diǎn)評(píng)】 本題若沒(méi)有告訴我們y與x間是呈線性相關(guān)的，應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).如果本身兩個(gè)變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，

18、或者說(shuō)它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時(shí)，即使求出回歸方程也是沒(méi)有意義的，而且其估計(jì)與預(yù)測(cè)也是不可信的.【例2】 某種燈泡的使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)之上的概率是0.7,求：（1）3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)之后恰壞1個(gè)的概率；（2）3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)之后最多只壞1個(gè)的概率.【思考】 本題的實(shí)質(zhì)是檢查3個(gè)燈泡，可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).(1)中3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)之后恰壞1個(gè)，相當(dāng)于在3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生2次（事件A是“燈泡的使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上”）；（2）中指“恰好壞1個(gè)”與“3個(gè)都未壞”這兩種情況，即事件A發(fā)生2次和發(fā)生3次，可用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的方法求解.【解答】 設(shè)“燈泡的使

19、用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上”為事件A，則P（A）=0.7,檢查3個(gè)燈泡可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).(1)3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)之后恰好壞1個(gè)，相當(dāng)于在3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生2次.P3(2) =C(0.7)2(1-0.7)3-2=30.490.3=0.441.(2)“3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)之后最多只壞1個(gè)”包括了“恰好壞1個(gè)”和“3個(gè)都未壞”這兩種情況，它們彼此互斥，相當(dāng)于A發(fā)生2次和發(fā)生3次的概率和，即所求概率為P3（2）+P3(3)=0.441+C0.73=0.784.【點(diǎn)評(píng)】 用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式Pn(k)=CPk(1-p)n-k來(lái)求概率的步驟：首先判斷是不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；

20、求一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率P；利用公式計(jì)算在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率.【例3】 甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答對(duì)其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題才算合格.(1)求甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望;(2)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.【思考】 本題主要考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，離散變量的概念，數(shù)學(xué)期望的定義；首先要弄清的取值范圍,=0,1,2,3,然后再求概率.【解答】 （1）依題意，甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布如下：0123P甲答對(duì)試題數(shù)的數(shù)學(xué)期望.E=0+1+2+3=(2)設(shè)甲、乙

21、兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)= P(B)=因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立,方法一：甲、乙兩人考試均不合格的概率為甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率P=1-P（）=1-方法二：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=P(A)+P（B）+P(AB)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=+=【點(diǎn)評(píng)】 要分清對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系，獨(dú)立事件、互斥事件的相互區(qū)別.在數(shù)學(xué)中必須強(qiáng)調(diào)隨機(jī)變量的概念，分布列的定義與求法，熟悉常用的分布列：01分布、二項(xiàng)分布，數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算等.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.在袋里裝30個(gè)小球，其彩球中有n(n2)個(gè)紅球，5個(gè)藍(lán)球，10個(gè)黃球，其余為白球.若從袋里取出3

22、個(gè)都是相同顏色的彩球（無(wú)白色）的概率是，求紅球的個(gè)數(shù)，并求從袋中任取3個(gè)小球至少有一個(gè)是紅球的概率.2.某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施情況下發(fā)生的概率為0.3,一旦發(fā)生，將造成400萬(wàn)元的損失.現(xiàn)在甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用，單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬(wàn)元和30萬(wàn)元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件突不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85，若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用、聯(lián)合采用或不采用，請(qǐng)確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少.(總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值)3.公共汽車門(mén)的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門(mén)頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子

23、的身高N（173，72）（cm），問(wèn)車門(mén)應(yīng)設(shè)計(jì)多高？4.為考慮廣告費(fèi)用x與銷售額y之間的關(guān)系，抽取了5家餐廳，得到如下數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)用（千元）104060100140銷售額 （千元）190440400520530現(xiàn)要使銷售額達(dá)到6萬(wàn)元，則需廣告費(fèi)用為 （保留兩位有效數(shù)字）.參考答案1.取3個(gè)小球的方法數(shù)為C=4060.設(shè)“3個(gè)小球全是紅球”為事件A，“3個(gè)小球全是藍(lán)球”為事件B，“3個(gè)小球全是黃球”為事件C，則P(B)=，P(C)=.A、B、C為互斥事件，P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).即=P(A)+P(A)=0.紅球的個(gè)數(shù)2，又n2，故n=2.記“3個(gè)小球至少有一個(gè)是紅球”為事

24、件D，則為“3個(gè)小球沒(méi)有一個(gè)紅球”.P(D)=1-P()=1.2.不采取任何預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失期望值為4000.3=120(萬(wàn)元);若單獨(dú)采取措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1-0.9=0.1,損失期望值為4000.1=40(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為45+40=85（萬(wàn)元）.若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1-0.85=0.15,損失期望值為4000.15=60(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為30+60=90（萬(wàn)元）若聯(lián)合采取甲、乙兩種措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為45+30=75(萬(wàn)元)，發(fā)生突發(fā)事件的概率為（1-0.9）(1-0.85)=0.015

25、，損失期望值為4000.015=6(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為75+6=81(萬(wàn)元)綜合、，比較其總費(fèi)用可知，應(yīng)選擇甲、乙兩種預(yù)防措施聯(lián)合采用，可使總費(fèi)用最少.3.設(shè)公共汽車門(mén)的設(shè)計(jì)高度為x cm，由題意，需使P（x）1%.N（173，72），P（x）=（）0.99.查表得2.33，x189.31，即公共汽車門(mén)的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為190 cm，可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門(mén)頂部碰撞.點(diǎn)評(píng)：本題將正態(tài)分布的計(jì)算帶入實(shí)際生活中，但本質(zhì)上仍然是考查對(duì)正態(tài)分布的掌握.4.類似于例1，根據(jù)公式，先求出回歸方程=bx+a，令=6，得x=1.5萬(wàn)元.答案：1.5萬(wàn)元點(diǎn)評(píng)：仍然是運(yùn)用公式求回歸直線的例子，只要掌握

26、了例4中提到有關(guān)回歸直線的公式，便可迅速解答并且最終求出結(jié)果.數(shù)學(xué)破題36計(jì)第31計(jì) 解幾開(kāi)門(mén) 軌跡遙控計(jì)名釋義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡圖形及軌跡方程是解析幾何中的核心，體現(xiàn)了用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想.軌跡是解析幾何的靈魂，它就象一個(gè)遙控器，指揮著我們行動(dòng)的方向.由方程研究曲線和已知曲線求其方程是解析幾何的兩大研究方向，在圖形與方程問(wèn)題遇到困難的人，往往疏忽了“軌跡”二字.正是“軌跡”二字告訴了動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)才是圖形性質(zhì)和方程性質(zhì)的根基.典例示范【例1】 動(dòng)橢圓過(guò)定點(diǎn)M（1，2），以y軸為準(zhǔn)線，離心率e=. (1)求動(dòng)橢圓左頂點(diǎn)的軌跡方程；（2）求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值和最小值.【思考】 如M

27、（1，2）為右頂點(diǎn)，則左頂點(diǎn)為P（1-2a,2）.橢圓中心為(1-a,2)，左準(zhǔn)線為y軸.-a=0，而e=. =2，有-3a+1=0，a=. 得點(diǎn)P1(,2)；如M（1，2）為左頂點(diǎn)，有P2（1，2），P1P2中點(diǎn)為（，2）.由以上可以預(yù)見(jiàn),所求軌跡是中心為O(,2)的橢圓.【解答】 （1）設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為M(x,y)，則左焦點(diǎn)為F（x0，y0）=F(x+a-c，y)，e=，且左準(zhǔn)線為y軸, =0,得a=x，c=，有：F，由橢圓第二定義：= e=. ，化簡(jiǎn)得： (2)橢圓的長(zhǎng)半軸a=，-x-，得x.原橢圓長(zhǎng)半軸為a=x，2a=2x.故原橢圓長(zhǎng)軸最大值為2，最小值為.【例2】 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)

28、分別為F1，F(xiàn)2，其中F1又是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，2），B（3，2）在雙曲線上，（1）求點(diǎn)F2的軌跡方程；（2）是否存在直線y=x+m與點(diǎn)F2的軌跡有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值，不存在，說(shuō)明理由.【思考】 F1（1，0）為定點(diǎn)，|AF1|=2=|BF1|為定值，設(shè)F2(x，y)，則|F2A|-2=(F2B-2).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4，知?jiǎng)狱c(diǎn)F2的軌跡為直線AB的垂直平分線或以A、B為焦點(diǎn)的橢圓.【解答】 （1）點(diǎn)F2的軌跡方程為直線l：x=1或橢圓.(不含短軸兩端，即不含（1，0），（1，4）解法略).（2）如圖，當(dāng)橢圓與直線y=

29、x+m相切時(shí)，直線與所求軌跡恰有兩交點(diǎn)（-為切點(diǎn)，另-為切線與直線x=1的交點(diǎn)），其他情況下，若直線y=x+m過(guò)橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)與所求軌跡僅有一個(gè)公共點(diǎn)，若不過(guò)短軸兩端點(diǎn)而經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)部時(shí)則有三個(gè)公共點(diǎn)，由3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.此方程應(yīng)有相等二實(shí)根，=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.化簡(jiǎn)得：m2-2m-11=0,m=12.【小結(jié)】 探求軌跡，一要注意其完備性也就是充分性：只要符合條件的點(diǎn)都適合軌跡方程；二要注意其純粹性也就是必要性：只要適合軌跡方程的點(diǎn)都符合軌跡條件. 例3題圖以例2為例：若忽視了直線x=1(不含（1，0），（4，0）)則不完備，若不除去（

30、1，0），（4，0）則又不純粹.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.已知雙曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，實(shí)軸長(zhǎng)為2，其中一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（6,0），另一個(gè)焦點(diǎn)F2為動(dòng)點(diǎn).(1)求雙曲線中心的軌跡方程;(2)雙曲線離心率最大時(shí)，求雙曲線方程.2.已知定直線l和線外一定點(diǎn)O，Q為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，OQP為正三角形（按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)），求點(diǎn)P的軌跡方程.3.已知雙曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，實(shí)軸長(zhǎng)為2，其中一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（6，0），另一個(gè)焦點(diǎn)F2為動(dòng)點(diǎn).(1)求雙曲線中心的軌跡方程；（2）雙曲線離心率最大時(shí)，求雙曲線方程.4.已知拋物線C：y2=4x，(1)若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)及相應(yīng)準(zhǔn)線分別重合.(1)求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)

31、F所連線段的中點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若M（m,0）是x軸上的一個(gè)定點(diǎn)，Q是（1）中所求軌跡上任意一點(diǎn)，求|MQ|的最小值.參考答案1.設(shè)F2(x0，y0), O(0,0)在雙曲線上,|OF2| - |OF1| =2，|OF1|=6,|OF2|=62，如|OF2|=8，則x20+y20=64 如|OF2|=4，則x20+y20=16 當(dāng)O、F1、F2共線時(shí)，F(xiàn)1、F2應(yīng)在點(diǎn)O兩側(cè)，故上述軌跡中應(yīng)分別不含（8，0），（4，0）設(shè)雙曲線中心為M（x，y）,則 代入：(2x-6)2+(2y)2=64， 即(x-3)2+y2=16(x7)代入：（2x-62+(2y)2=16， 即(x-3)2+y2=4(

32、x5)(2)a=1，e= c，且c=|MF1|=,如M的軌跡為(x-3)2+y2=16， 則c=-4x-34，-1x7當(dāng)x=-1時(shí)，cmax=7.如M的軌跡為(x-3)2+y2=4，則-2x-32，1x5，當(dāng)x=1時(shí)，cmax=5,于是取c=7，a=1，b2=48，又當(dāng)x=-1時(shí)，由（x-3）2+y2=16，得y=0,即雙曲線中心為(-1,0),一個(gè)焦點(diǎn)為F1(6,0),故實(shí)軸在x軸上，則所求方程為：(x+1)2-=1.2.如圖作OAl于A，以直線OA為x軸，過(guò)O且垂直于OA的直線為y軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)A（a,0），則有直線l：x=a，設(shè)|OQ|=|OP|=dAOQ=，則AOP=+設(shè)P

33、(x,y)，d=，x= d cos (+)=(cos-sin) 第2題解圖=(1-tan),y=dsin(+)=(sin+cos)= (tan+).于是得點(diǎn)P的參數(shù)方程：（為參數(shù)） 消去參數(shù)得：x+y=2a.3.(1)設(shè)F2(x0，y0)，O (0,0)在雙曲線上，|OF2| - |OF1|=2，|OF1|=6，|OF2|=62，如|OF2|=8，則x20+y20=64 ；如|OF2|=4，則x20+y20=16 ，當(dāng)O，F(xiàn)1，F(xiàn)2共線時(shí)，F(xiàn)1，F(xiàn)2應(yīng)在點(diǎn)O兩側(cè)，故上述軌跡中應(yīng)分別不含（8，0），（4，0）.設(shè)雙曲線中心為O(x，y)，則 代入：(2x-6)2+(2y)2=64, 即 (x-3

34、)2+y2=16 (x7).代入：(2x-6)2+(2y)2=16, 即 (x-3)2+y2=4 (x5).(2)a=1，e= c，且c=|MF1|=,如M的軌跡為（x-3）2+y2=16,則c=.-4x-34, -1x7,當(dāng)x= -1時(shí)，cmax =7.如M的軌跡為(x-3)2+y2=4，則c=.-2x-32，1x1時(shí)，以M（m,0）為圓心，R為半徑的圓的方程為：(x-m)2+y2=R2.(*)由x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0.命0，即（1-2m）2-4(m2-1-R2)=0, R2. (1)當(dāng)m時(shí)，R min=， 即|MQ|的最小值為.當(dāng)1m1，即m時(shí)，|MQ| min=.筆者以

35、為不妥，故重解如上，不當(dāng)之處，請(qǐng)各位同仁指正.數(shù)學(xué)破題36計(jì)第32計(jì) 立幾開(kāi)門(mén) 平面來(lái)風(fēng)計(jì)名釋義空間型試題感到困難怎么辦？退到平面去，平面是立體幾何的基礎(chǔ)，“空間幾何平面化”是我們的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展開(kāi)圖，把空間展到平面；（2）三視圖，從不同的角度看平面；（3）射影圖，把一個(gè)平面放到另一個(gè)平面去；（4）截面圖，把我們關(guān)心的平面進(jìn)行特寫(xiě).如此等等，可以把直觀圖中的錯(cuò)覺(jué)或誤差分別轉(zhuǎn)移到平面上作“真實(shí)分析”.典例示范【例1】 “神舟六號(hào)”飛船上使用一種非常精密的滾球軸承，如圖所示，該滾球軸承的內(nèi)外圓的半徑分別為1mm、3mm，則這個(gè)軸承里最多可放滾珠 個(gè). 例1題圖【解答】

36、6如圖，設(shè)兩滾球P，Q相切于點(diǎn)T，軸承中心為O，連接OT，設(shè)滾球半徑為d，內(nèi)、外圓半徑分別為r、R，則R=3，d=r=1.在RtOTP中，POT=，OP=2，PT=1,則有sin=，得=2=，即在圓心角為的軌道內(nèi)， 例1題解圖可放一個(gè)滾珠，故圓心角為周角（2弧度）時(shí)可放的滾珠為=6個(gè).【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了球體知識(shí)的相切問(wèn)題，把復(fù)雜的空間立體圖形簡(jiǎn)化成平面圖形來(lái)解決.【例2】 在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四邊形ABCD邊長(zhǎng)為3，高為4，在棱C1B1，C1D，CC上分別取一點(diǎn)M、N、L使C1MC1N1，C1L.(1)求證：對(duì)角線AC1面MNL； （2）求四面體DMNL的體積；（3）求

37、AM和平面MNL所成夾角的正弦值.【思考】 (1)本題并不難，但其手法還是“退”，由證線面垂直退到證線線垂直。根據(jù)對(duì)稱性，只需證AC1與LM、LN之一垂直即可;(2)四面體DMNL的體積不好求，可退而求四面體C1MNL的體積，這兩個(gè)四面體等底不等高，再退而求四面體對(duì)應(yīng)高之比，然后將所求四面體C1MNL的體積適當(dāng)擴(kuò)大即可；（3）AM與面MAC1夾角的正弦不好求，可退而求AM、AC1夾角的余弦.【解答】 （1）如圖所示，以D1為原點(diǎn)，直線D1A1，D1C1，D1D分別為x,y，z軸建立空間坐標(biāo)系，則有：A（3，0，4），C1（0，3，0）=(-3,3,-4)；L，N(0,2,0),=0+3-3=0

38、,根據(jù)圖形對(duì)稱性，同理有，故AC1平面MNL. 例2題解圖(2)四面體DMNL與C1MNL同底不等高，設(shè)其高分別為h1，h2，連C1D交NL于E.D(0,0,4),=(0,-3,4),且=(0,-3,4)=0.，知L、E、D、C在同一個(gè)圓上，|=|,即4=|5.|=，從而|=5-=.h1h2=.易求VC1MNLC1MC1NC1L=11，VD-MNL=(立方單位).(3)設(shè)AM與平面AC1成角，已證AC1平面MNL，MAC1=90-.M(1,3,0),=(-2,3,-4), =(-2,3,-4)(-3,3,-4)=6+9+16=31.又=,= .cos (90-)=.從而sin=，即AM與平面M

39、NL所成角的正弦值為.【評(píng)注】 本題第（2)問(wèn)另一解法：VD-MNL=VM-DNL，而SDNL易求，且MC1面DNL，從而VD-MNL =SDNLMC1也不失為另一有效解法.【例3】 （04全國(guó)卷）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，AB=8，AD=4，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60.()求四棱錐PABCD的體積；（）求證：PABD.【分析】 1.題目沒(méi)有講是“正”四棱錐，不要粗心地亂加條件“按正棱錐”解題，否則是“瞎子點(diǎn)燈”白費(fèi)蠟，因此，頂點(diǎn)在底面的射影不一定是底面的中心. 例3題圖2.圖中的三角因素很多，證垂直的最好辦法是利用向量.因而制定三角加向量的解題策略

40、.【解答】 （）設(shè)O為P在底面的射影，作OEAD于E，連PE，則PEO是二面角PADO的平面角，有PEO=60.已知PAD為正三角形，且邊長(zhǎng)為4.|PE|=4sin60=6，PO=6sin60=3.VPABCD=SABCDPO=843=96(立方單位).()以O(shè)為原點(diǎn)，平行于AD的直線為x軸，平行于AB的直線為y軸，垂線OP所在直線為z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.則有P(0,0,3)，A(2,-3,0)，B(2,5,0),D(-2,-3,0),=(2,-3,-3),=(-4,-8,0),=-24+24+0=0. .對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PB平面ABCD，MAPB，

41、且PB=2MA=2a，E是PD的中點(diǎn)(1)求證：ME平面ABCD;(2)求點(diǎn)B到平面PMD的距離;(3)求平面PMD與平面ABCD所成二面角的余弦值 第1題圖2.在正三棱錐SABC中，底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，點(diǎn)O為ABC的中心，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，AM=2SO，點(diǎn)N在棱SA上，且SA=25SN.()求面SBC與底面ABC所成二面角的大??；（）證明：SA平面NBC.3.如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，AB=AD，ABAD，AC=3，ACBD，垂足為M，N為BF的中點(diǎn).(1)求證：MN平面ADEF；（2）求異面直線BD與CF所成角的大??；（3）求二面角A-CF-D的大

42、小. 第3題圖參考答案1.(1)延長(zhǎng)PM、BA交于F，連接FD，F(xiàn)D、BC延長(zhǎng)交于G，連接PG，MAPB=a，M為PF中點(diǎn)，又E為PD中點(diǎn)，ME為PFD中位線，MEFD，而FD平面ABCD,ME平面ABCD.(2)MAPB時(shí)，A為FB的中點(diǎn).四邊形ABCD是正方形，ADBC，DCAB，D、C分別為FG、BG的中點(diǎn). 第1題解圖AB=BC=2a. BF=BG=4a. BDFG，PB平面ABCD，PBFG，故FG平面PBD. 作BHPD于H，必FGBH，故BH平面PFG，BH之長(zhǎng)是點(diǎn)B到平面PFG(也就是平面PMD)的距離.RtPBD中，PB=2a，BD=2a.PD=2a，BH=a，即所求距離為a

43、.(3)由(2)知FGDB，F(xiàn)GDP. PDB是二面角P-FG-B的平面角，且cosPDB=，即所求二面角的余弦值為.點(diǎn)評(píng)： (1)解立體幾何題有兩句格言:一是空間問(wèn)題平面化，一是不規(guī)則圖形規(guī)則化.本解中“規(guī)則化”的手段是補(bǔ)形，最終補(bǔ)成底面為等腰直角三角形且高與底面垂直的規(guī)則四面體，以下的分析計(jì)算也就方便了.(2)將正方體截下一個(gè)角，所得四面體由于有三條側(cè)棱兩兩垂直，我們稱這樣的四面體為直角四面體，直角四面體有許多重要性質(zhì)，其中最重要的有3條：若用S，S1，S2，S3分別表示直角四面體的底面積和三個(gè)側(cè)面積,那么：S2=S 21+S 22+S 23若直角四面體的三條側(cè)棱之長(zhǎng)依次為a，b，c，則其

44、底面積：S=若直角四面體的三條側(cè)棱之長(zhǎng)，依次為a，b，c，且直角頂點(diǎn)到底面的距離為h，那么h=.根據(jù)公式本題第2問(wèn)可輕而易舉地解決：圖中BPFG為直角四面體，且BP=2a，BF=BG=4aBH=2.(1)如圖，正ABC邊長(zhǎng)為a時(shí)，AM=a，OM=AM=a.SO=AM=a.SMA是二面角SBCA的平面角，設(shè)為，則tan=.面SBC與面ABC成arctan的角. 第2題解圖(2)以O(shè)為原點(diǎn)，直線AM、OS分別為x,z軸，過(guò)O且平行于BC的直線為y軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則有B(a,0)，M(a，0,0)，C (a,0)，S (0,0, a).a，有A(-a，0，0).=(-a，0，-a)，=（0，a，0）， =0,.又=，故有N(a，0，a). =a，0，-a).故=（- a,0,- a）（a,0,-a）= -a2 +0+a2 =0.，從而SA平面NBC.3.方法一：（1）AB=AD，ACBD，垂足為M，M為BD的中點(diǎn)，N為BF中點(diǎn)，MNDFMN面ADEF，DF面ADEF，MN平面ADEF. (2)平面ADEF平面ABCD，又FAAD，F(xiàn)A面ABCD，AC是FC在平