高中數(shù)學(xué)23圓的方程233直線與圓的位置關(guān)系234圓與圓的位置關(guān)系例題與探究新人教B版

1、2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系2.3.4 圓與圓的位置關(guān)系典題精講例1如圖2-3-(3,4)-3已知圓x2+y2+x-6y+c=0與直線x+2y-3=0的兩交點(diǎn)為P、Q，且OPOQ(O為原點(diǎn))，求圓的方程.圖2-3-(3,4)-3思路分析:涉及到直線與圓的交點(diǎn)問(wèn)題，可以聯(lián)立方程求解.解法一:設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2).由消去x,得(3-2y)2+y2+(3-2y)-6y+c=0，即5y2-20y+12+c=0.由韋達(dá)定理，得y1+y2=4，y1y2=.如圖2.3(3.4)3所示，OPOQ，=-1，即.解得9-6(y1+y2)+5y1y2=0.9-64+5=0，解得c=3.從而所求圓的

2、方程為x2+y2+x-6y+3=0.解法二:設(shè)過(guò)圓x2+y2+x-6y+c=0與直線x+2y-3=0的交點(diǎn)P、Q的圓的方程為x2+y2+x-6y+c+(x+2y-3)=0，即x2+y2+(1+)x-(2-6)y+c-3=0.OPOQ，故該圓過(guò)原點(diǎn),c-3=0,且圓心(，)在直線x+2y-3=0上,+2()-3=0.由求得=1，c=3.故所求圓的方程為x2+y2+x-6y+3=0.綠色通道：在解析幾何中，更多的是把垂直轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題，而較少利用勾股定理.在判定直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，應(yīng)選擇能體現(xiàn)圓的幾何性質(zhì)的方法，即用圓心到直線距離與半徑作比較，這樣更簡(jiǎn)捷.變式訓(xùn)練1若半徑為1的圓分別與y軸的正半

3、軸和射線y=x(x0)相切，則這個(gè)圓的方程為_(kāi).思路解析:若半徑為1的圓分別與y軸的正半軸和射線y=x(x0)相切，則圓心在直線y=x上，且圓心的橫坐標(biāo)為1，所以縱坐標(biāo)為，這個(gè)圓的方程為(x-1)2+(y-)2=1.答案：1變式訓(xùn)練2(2006重慶高考,文3)以點(diǎn)(2，-1)為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=3思路解析:根據(jù)題意,圓心到切線的距離即為圓的半徑r=3，故選C.答案：C例2已知?jiǎng)又本€l:(m+3)x-(m+2)y+m=0與圓

4、C:(x-3)2+(y-4)2=9.(1)求證:無(wú)論m為何值，直線l與圓C總相交.(2)m為何值時(shí)，直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最小?并求出該最小值.思路分析:分析已知條件:圓是定圓，直線不確定(方程中含有未知數(shù)m)，解題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)直線的特征:過(guò)定點(diǎn).(1)證法一:設(shè)圓心C(3，4)到動(dòng)直線l的距離為d，則d=.當(dāng)m=時(shí)，dmax=3(半徑).故動(dòng)直線l總與圓C相交.證法二:直線l變形為m(x-y+1)+(3x-2y)=0.令解得如圖2-3-(3,4)-4所示，故動(dòng)直線l恒過(guò)定點(diǎn)A(2，3).圖2-3-(3,4)-4而|AC|=，點(diǎn)A在圓內(nèi)，故無(wú)論m取何值，直線l與圓C總相交.(2)解法一:由平

5、面幾何知識(shí)知,弦心距越大,弦長(zhǎng)越小.由(1)知,當(dāng)m=時(shí)，弦長(zhǎng)最小.最小值為.解法二:由平面幾何知識(shí)知，弦心距越大，弦長(zhǎng)越小，過(guò)點(diǎn)A且垂直AC的直線被圓C所截弦長(zhǎng)最小.kl=.解得m=.此時(shí)弦長(zhǎng)為.故當(dāng)m=時(shí)，直線被圓C所截弦長(zhǎng)最小，最小值為.綠色通道：解法一使用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系，解法簡(jiǎn)便，運(yùn)算量小.解法二從所要證的結(jié)論分析，總與定圓相交的動(dòng)直線可能是過(guò)定點(diǎn)的直線系，且定點(diǎn)必在圓內(nèi).于是抓住動(dòng)直線與定圓的幾何特征，數(shù)形結(jié)合，生動(dòng)直觀，迅速解決問(wèn)題.變式訓(xùn)練3設(shè)直線過(guò)點(diǎn)(0,a),其斜率為1,且與圓x2+y2=2相切,則a的值為( )A. B.2 C.2 D.4思路分析:設(shè)

6、直線過(guò)點(diǎn)(0，a)，其斜率為1，且與圓x2+y2=2相切，設(shè)直線方程為y=x+a，圓心(0，0)到直線的距離等于半徑，.a的值為2，選B.答案：B例3已知P(x,y)在圓C:x2+y2-6x-4y+12=0上，(1)求x-y的最大及最小值；(2)求x2+y2的最大及最小值；(3)求|PA|2+|PB|2的范圍，其中A(-1,0)、B(1,0).思路分析:利用直線與圓的位置關(guān)系還可以求最值；另外數(shù)形結(jié)合的方法也需注意.(1)解：設(shè)x-y=m，則P(x,y)在l:x-y-m=0上.又在C上,C的圓心坐標(biāo)為(3,2),l與C有公共點(diǎn).C的圓心坐標(biāo)為(3,2),圓心到直線l的距離d=1，|1-m|，得

7、1-m+1.x-y的最大值為+1,最小值為1-.(2)解法一:x2+y2=(x-0)2+(y-0)2=(=|OP|2.由平面幾何知識(shí)，連結(jié)直線OC交C于A、B.當(dāng)P與A重合時(shí)，|OP|min=|OA|=|OC|-1=-1;當(dāng)P與B重合時(shí)，|OP|max=|OB|=|OC|+1=+1.從而，14-2x2+y214+2.解法二:設(shè)x2+y2=r2(r0)，因此P在O上，又在C上， 圖2-3-(3,4)-5即O與C有公共點(diǎn)，由圖2-3-(3,4)-5可知，當(dāng)O與C外切時(shí)，r最小.此時(shí)|OC|=r+1=,rmin=-1.當(dāng)O與C內(nèi)切時(shí)，r最大.此時(shí)，|OC|=|r-1|=，rmax=+1.14-2x2

8、+y214+2.(3)解：可化歸為(2),|PA|2+|PB|2=x2+2x+1+y2+x2-2x+1+y2=2(x2+y2)+2.由(2)14-x2+y214+，30-|PA|2+|PB|230+.綠色通道：本題是坐標(biāo)法的逆向應(yīng)用,即用幾何法研究代數(shù)問(wèn)題最值.變式訓(xùn)練4圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是( )A.36 B.18 C. D.思路解析：圓x2+y2-4x-4y-10=0的圓心為(2，2)，半徑為，圓心到直線x+y-14=0的距離為，所以直線與圓的位置關(guān)系是相離.因此圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是2R=，選C.答案:C

9、例4已知圓C:x2+y2-2x-4y-20=0及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).(1)求證:不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交；(2)求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短長(zhǎng)度及此時(shí)的直線方程.思路分析:(1)直線l是過(guò)一個(gè)定點(diǎn)的直線，若此定點(diǎn)在圓內(nèi)，則此直線l必與圓C相交.(2)當(dāng)過(guò)定點(diǎn)的直線與圓心的距離最短，即此直線垂直于定點(diǎn)與圓心的連線時(shí)，被圓截得的弦最短.(1)證明:把直線l的方程改寫(xiě)成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.由方程組解得直線l總過(guò)定點(diǎn)(3，1).圓C的方程可寫(xiě)成(x-1)2+(y-2)2=25.圓C的圓心為(1，2)，半徑為5，定點(diǎn)(3，1)到圓心(1

10、，2)的距離為5.點(diǎn)(3，1)在圓C內(nèi).過(guò)點(diǎn)(3，1)的直線l總與圓C相交，即不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交.圖2-3-(3,4)-6(2)解：當(dāng)直線l過(guò)定點(diǎn)M(3，1)且垂直于過(guò)點(diǎn)M的圓心的半徑時(shí)，l被圓截得的弦長(zhǎng)|AB|最短.(如圖2-3-(3,4)-6)|AB|=2.此時(shí)，kAB=2.直線AB的方程為y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.故直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度為，此時(shí)直線l的方程為2x-y-5=0.綠色通道：充分考慮圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合,如果對(duì)于第(2)問(wèn)用純代數(shù)的方法來(lái)解決,會(huì)很復(fù)雜.變式訓(xùn)練5(2006高考全國(guó)卷，文7)從圓x2-2x+y2-2y+1=0外一點(diǎn)P

11、(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為( )A. B. C. D.0思路解析:圓x2-2x+y2-2y+1=0的圓心為M(1，1)，半徑為1，從圓外一點(diǎn)P(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線，則點(diǎn)P到圓心M的距離等于5，每條切線與PM的夾角的正切值等于，所以兩切線夾角的正切值為tan=，該角的余弦值等于，選B.答案：B問(wèn)題探究問(wèn)題1過(guò)一點(diǎn)作圓的切線,求切線方程.現(xiàn)利用點(diǎn)斜式,求出斜率值只有一個(gè),那么該點(diǎn)在圓上嗎？利用點(diǎn)斜式求直線方程,會(huì)產(chǎn)生漏解嗎？如果漏解,會(huì)漏掉什么樣的解？導(dǎo)思：根據(jù)不同條件求圓的切線,主要有以下題型:(1)已知切點(diǎn),求切線方程.可根據(jù)切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑直接寫(xiě)出切線

12、的方程.注意只有一條.(2)已知圓外一點(diǎn),求圓的切線方程.切記有兩條.(3)已知切線的斜率求圓的切線方程.求圓的切線方程常用的三種方法:(1)設(shè)切點(diǎn)用切線公式法;(2)設(shè)切線斜率用判別式法;(3)設(shè)切線斜率,用圓心到切線的距離等于半徑法.探究：利用點(diǎn)斜式求直線方程時(shí),很重要的一點(diǎn)就是注意點(diǎn)斜式不能表示斜率不存在的直線的方程,即傾斜角為的直線的方程.如果沒(méi)有考慮到這一點(diǎn)就貿(mào)然運(yùn)用點(diǎn)斜式方程就有可能產(chǎn)生漏解,忽略傾斜角為的直線的方程而造成錯(cuò)誤.對(duì)于題中所給問(wèn)題,先要判斷此點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,如果點(diǎn)在圓外,則過(guò)此點(diǎn)應(yīng)該有兩條圓的切線,現(xiàn)在只解出一個(gè)斜率,則說(shuō)明遺漏了傾斜角為的切線方程;如果點(diǎn)在圓上,則應(yīng)該有一條切線,現(xiàn)解出一個(gè)斜率,則正是所求切線的斜率;如果點(diǎn)在圓內(nèi),則不應(yīng)該有切線,不可能解出正確的斜率值.問(wèn)題2將兩個(gè)相交的非同心圓的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)相減,可得一直線方程,這條直線方程具有什么樣的特殊性呢？導(dǎo)思：可以通過(guò)設(shè)出兩圓的交點(diǎn)(x1,y1)、(x2,y2),將(x1,y1)