求函數(shù)極值的幾種方法

1、.求解函數(shù)極值的幾種方法1.1 函數(shù)極值的定義法說明：函數(shù)極值的定義， 適用于任何函數(shù)極值的求解， 但是在用起來時(shí)卻比較的煩瑣 .1.2 導(dǎo)數(shù)方法定理（充分條件）設(shè)函數(shù)f ( x) 在 x0 處可導(dǎo)且 f ( x0 )0 ，如果 x 取 x0 的左側(cè)的值時(shí)， f (x) 0 ， x 取 x0 的右側(cè)的值時(shí)， f ( x)0 ，那么 f (x) 在 x0 處取得極大值，類似的我們可以給出取極小值的充分條件 .例 1求函數(shù) f ( x)x2 ( x1)3 的單調(diào)區(qū)間和極值解f (x)x2 (x 1)3(x) ，f ( x) 2 x( x1)33x2 ( x1)2x(x 1)2 (5 x 2) .令

2、f ( x) 0，得到駐點(diǎn)為 x10 ， x22 ， x31 . 列表討論如下：5表一： f ( x)x2 ( x1)3 單調(diào)性列表x( ,0)0(0, 2)2( 2 ,1)1(1, )555f (x)+0-0+0+極大值極小值非f (x)f (0) 02108/ 3125極f ( )5值說明：導(dǎo)數(shù)方法適用于函數(shù) f ( x) 在某處是可導(dǎo)的，但是如果函數(shù)f ( x) 在某處不可導(dǎo)，則就不能用這樣的方法來求函數(shù)的極值了. 用導(dǎo)數(shù)方法求極值的條件是：函數(shù) f (x) 在某點(diǎn) x0 可導(dǎo) .1.3Lagrange 乘法數(shù)方法對(duì)于問題：Minzf (x, y)s.t( x, y)0.如果 (x* ,

3、 y* ) 是該問題的極小值點(diǎn)，則存在一個(gè)數(shù)，使得f x ( x* , y* )g x ( x* , y* )0f y ( x* , y* )g y ( x* , y* )0利用這一性質(zhì)求極值的方法稱為Lagrange 乘法數(shù)例 2在曲線 y1( x 0)上求與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn) .x3解我們將約束等式的左端乘以一個(gè)常數(shù)加到目標(biāo)函數(shù)中作為新的目標(biāo)函數(shù) w x2y21( y 3 )x然后，令此函數(shù)對(duì)x 的導(dǎo)數(shù)和對(duì) y 的導(dǎo)數(shù)分別為零，再與原等式約束合并得302x4x2 y0y1x3x8 3解得1y827這是唯一可能取得最值的點(diǎn)因此 x83, y81為原問題的最小值點(diǎn) .27說明： Lagrange

4、乘法數(shù)方法對(duì)于秋多元函數(shù)是比較方便的，方法也是比較簡單的 : 如果 ( x* , y* ) 是該問題的極小值點(diǎn)則存在一個(gè)數(shù)，使得f x ( x* , y* )g x ( x* , y* )0f y ( x* , y* )g y ( x* , y* )0這相當(dāng)于一個(gè)代換數(shù)，主要是要求偏導(dǎo)注意，這是高等代數(shù)的內(nèi)容.1.4 多元函數(shù)的極值問題由極值存在條件的必要條件和充分條件可知，在定義域內(nèi)求n 元函數(shù) f ( p)的極值可按下述步驟進(jìn)行： 求出駐點(diǎn)， 即滿足 grad f ( p0 )0 的點(diǎn) p0 ；在 p0.點(diǎn)的 Hessene矩陣 H ，判定 H 正定或負(fù)定，若 H 正定則 f ( p) 在 p0 點(diǎn)取得極小值；若 H 負(fù)定則 f ( p) 在 p0點(diǎn)取得極大值 .例 3求三元函數(shù) f ( x, y, z)x22 y23z22x 4 y6z 的極值fx2x20解先求駐點(diǎn)，由f y4 y40得 x1, y1, z 1fz6z60所以駐點(diǎn)為 p0 ( 1, 1, 1) .再求 Hessene矩陣，因?yàn)閒xx2, f xz0, f xy0, f yy4, yz0, f yx0, fzx0, f zy0, f zz6200所以H040006由此可知， H 是正定的，所以 f (x, y, z) 在 p0 ( 1,1, 1) 點(diǎn)取得極小值：f ( 1, 1, 1