4-5-1高斯求積公式-數(shù)值微分

1、一、高斯點(diǎn),定義：高斯公式,機(jī)械求積公式,含有2n+2個(gè)待定參數(shù),若適當(dāng)選擇這些參數(shù)使求積公式具有盡量高次（2n+1次?!）代數(shù)精度，則這類公式稱為高斯公式。,(4.1),定義：高斯公式的求積節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)。,?,請(qǐng)回顧:,以前學(xué)過的梯形公式、辛甫生公式、柯 特斯公式、中矩形公式是高斯公式嗎？,除中矩形公式外都不是！,注：機(jī)械型高斯求積公式一定是插值求積公式。,舉例,求 a,b上的兩點(diǎn)高斯公式。,解,設(shè)兩點(diǎn)高斯公式為,這是關(guān)于四個(gè)未知數(shù)的非線性方程組，是否有解？一般難于求解,要求其代數(shù)精度最高，四個(gè)未知數(shù)，可列出4個(gè)方程:,高斯點(diǎn)具有以下性質(zhì)：,定理,插值型求積公式(4.1)成為Gauss求積

2、公式的充要條件：,求積節(jié)點(diǎn) 為n+1次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)。,如何求高斯公式?,正交多項(xiàng)式概述：,首先證明對(duì)于任給節(jié)點(diǎn) x0， x1， ， xn，均存在某個(gè)次數(shù)為2n+2的多項(xiàng)式f(x),機(jī)械型求積公式不能精確成立，即其最高代數(shù)精度不能達(dá)到2n+2 。如?。?證明,則有：,設(shè)求積節(jié)點(diǎn) 為n+1次正交多項(xiàng)式n+1(x) 的零點(diǎn)。,現(xiàn)證充分性。即,求積公式是高斯型。,證明,現(xiàn)對(duì)于任意給定的次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式f(x), 用 除 f(x)，記商為P(x)，余式為Q(x)，,即, 2n+1,n+1, n,n,由已知條件，(x)與P(x)正交，故得,由于所給求積公式(4.1)是插值型的，它至少具 有n

3、次代數(shù)精度，故對(duì)Q(x)能準(zhǔn)確成立：,再注意到(xk)=0，知Q(xk) = f(xk)，從而有,綜之得：,這說明公式對(duì)一切次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，綜之說明xk是高斯點(diǎn)。,再證必要性，即,若是高斯求積公式,設(shè)P(x)是任意次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式，則,P(x)(x)的次數(shù)不超過2n+1，因此應(yīng)準(zhǔn)確 成立,但,故 .,求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的,注：,1、總可通過施密特正交化求出a, b上與所有次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式都正交的多項(xiàng)式n+1(x)。,2、命題：n次正交多項(xiàng)式 有n個(gè)單零點(diǎn)。,解：設(shè)P0(x)=C，1(x)= x x0。由于,即,展開，得,則一個(gè)點(diǎn)的高斯公式為,中矩形公式,例. 求-1，

4、1上與次數(shù)為0的多項(xiàng)式正交的多項(xiàng)式1(x)=？,二、高斯勒讓得公式,若a, b=-1, 1，其上的高斯公式為,稱為高斯-勒讓得公式。 -1，1上的正交多項(xiàng)式稱為勒讓得多項(xiàng)式， 勒讓得多項(xiàng)式Pn+1(x)的零點(diǎn)就是高斯點(diǎn)。,幾個(gè)Legandre 多項(xiàng)式：,若取P1(x) = x 的零點(diǎn)x0 = 0 作求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式 ：,令它對(duì) f(x) = 1準(zhǔn)確成立，即可定出A0 = 2.,從而得到一點(diǎn)高斯公式：,中矩形公式,令它對(duì) f(x) = 1, x 準(zhǔn)確成立，即可定出A0 ,A1,可得兩點(diǎn)高斯勒讓得公式為,若取 的零點(diǎn) 作求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式,注：更高階的公式見書p122。,?,請(qǐng)思考:,高斯勒讓得公式

5、的求積區(qū)間是-1，1，那么對(duì)于任意求積區(qū)間a, b如何辦？,解,作變換,可以化到區(qū)間-1，1上，這時(shí),三、帶權(quán)的高斯公式（更一般的表現(xiàn)形式）,有時(shí)需要求如下帶權(quán)的積分：,稱上述(x)0是權(quán)函數(shù)。,定義：,若求積公式,具有2n+1次代數(shù)精度，則稱這類公式為帶權(quán)的高斯公式.,高斯點(diǎn),我們類似的可有：,定理,是高斯點(diǎn)的充要條件：,是區(qū)間a, b上帶權(quán)(x)正交的多項(xiàng)式。,若a, b = -1，1，權(quán)函數(shù)為,所建立的高斯公式,切比雪夫高斯公式,稱為切比雪夫高斯公式。 xk是切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)。,4.7.4 Gauss-Chebyshelv quadrature formula,Remark 1 th

6、ree term recurrence formula v.s. Schmidt orthogonolization; Remark 2 Tn are perpendicular polynomials;,At last, well state the error estimation of the Gauss- Chebyshelv formula without the proof :,According to the error estimation of the Gauss- Type formula,we have:,Consult the table in p122.,構(gòu)造高斯公式

7、的一般方法：,1、構(gòu)造正交多項(xiàng)式，繼而求其零點(diǎn)，再按插值求積公式獲得高斯公式； 2、待定系數(shù)法,此外，還可涉及到無窮區(qū)間上的廣義積分等。例如：,-拉蓋爾-高斯積分,舉例,要構(gòu)造下列形式的高斯公式,解,則其代數(shù)精度應(yīng)為,即,求解?!,定理（穩(wěn)定性） 高斯求積公式的求積系數(shù)Ak0.,證明：事實(shí)上,這表明高斯求積法是穩(wěn)定的。,關(guān)于積分余項(xiàng)和收斂性有：,積分余項(xiàng)：,收斂性： 設(shè)f(x) Ca,b,則有：,4.1 Numerical Differentiation,However , (i) There is no error estimation; (ii) Are there any other numerical methods for ND? How to cons