第七章線性變換

1、第七章 線性變換1基本知識(shí)1. 1 基本概念1、線性變換：2、線性變換的運(yùn)算（1）加法：（2）減法：（3）數(shù)乘：（4）乘法：3、線性變換在給定基下的矩陣：4、矩陣的相似：5、矩陣的跡與范數(shù)：6、矩陣的特征多項(xiàng)式：7、特征值與特征根：8、線性變換的對(duì)角化：9、線性變換的值域：10、線性變換的核：11、線性變換的秩與零度：12不變子空間：13、若爾當(dāng)塊與若爾當(dāng)形矩陣：14、最小多項(xiàng)式：1. 2 基本定理定理7.1設(shè)是數(shù)域上的線性空間上的線性變換的全體構(gòu)成的集合，那么關(guān)于線性變換的加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域上的線性空間；定理7.2設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的一個(gè)基，是上任意個(gè)向量，則存在唯一的線性變換，使

2、得：； 定理7.3（線性變換與給定基下的矩陣的對(duì)應(yīng)與運(yùn)算定理）設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的一個(gè)基，對(duì)任意線性變換，令和它在給定的這個(gè)基下的矩陣對(duì)應(yīng)，那么這個(gè)對(duì)應(yīng)是到的一一對(duì)應(yīng)，且設(shè)在這個(gè)基下的矩陣分別是，那么（1）；（2）；（3）；（4）可逆的充分必要條件是：為可逆矩陣；且。定理7.4（象的坐標(biāo)計(jì)算公式）設(shè)在數(shù)域上的維線性空間上的基下的矩陣是，在基下的坐標(biāo)是，在基下的坐標(biāo)是，那么：；定理7.5（線性變換關(guān)于不同基的矩陣相似定理）設(shè)在數(shù)域上的維線性空間上的基和下的矩陣分別是和，基到的過渡矩陣是，那么：； 定理7.6 （線性變換關(guān)于不同基的矩陣相似定理）同一線性變換在不同基下的矩陣是相似矩陣；反之，兩

3、個(gè)相似的矩陣一定可以成為同一個(gè)線性變換在兩組基下的矩陣； 定理7.7 相似矩陣的特征多項(xiàng)式相等；定理7.8 （線性變換對(duì)角化的條件）設(shè)是數(shù)域上的維線性空間上的一個(gè)線性變換，那么在的某個(gè)基下的矩陣是對(duì)角矩陣的充分必要條件是：有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即有一個(gè)由的特征向量構(gòu)成的基；定理7.9 屬于不同特征值的特征向量一定是相性無關(guān)的；推論7.1設(shè)是數(shù)域上的維線性空間上的一個(gè)線性變換，如果的特征多項(xiàng)式在數(shù)域上有個(gè)不同的特征值，那么可以對(duì)角化；推論7.2 設(shè)是復(fù)數(shù)域上的維線性空間上的一個(gè)線性變換，如果的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，那么可以對(duì)角化；定理7.10 設(shè)是線性變換所有不同的特征值是的屬于特征值的線性無關(guān)

4、的特征向量，那么：線性無關(guān)；定理7.11設(shè)是數(shù)域上的維線性空間上的一個(gè)線性變換，是的一個(gè)基，在基下的矩陣是，那么（1）；（2）的秩；定理7.12設(shè)是數(shù)域上的維線性空間上的一個(gè)線性變換，則的值域的一個(gè)基的原象和的核的一個(gè)基并起來構(gòu)成的一個(gè)基；由此得：的秩+的零度。推論7.3 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間上的一個(gè)線性變換，則是滿射的充分必要條件是：是單射；定理7.13 （凱萊漢密爾頓定理）設(shè)是級(jí)矩陣的特征多項(xiàng)式，則：；定理7.14 設(shè)線性變換的特征多項(xiàng)式為，它可以分解為那么可以分解為不變子空間的直和，其中 定理7.15設(shè)是復(fù)數(shù)域上的線性空間的一個(gè)線性變換，則一定存在上的一個(gè)基，使得：在這個(gè)基下的矩陣是若

5、爾當(dāng)形矩陣，稱為的若而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；定理7.16 每個(gè)級(jí)復(fù)矩陣都相似于一個(gè)若而當(dāng)形矩陣；定理7.17數(shù)域上的級(jí)矩陣相似于一個(gè)對(duì)角矩陣的充分必要條件是：的最小多項(xiàng)式在上可以分解為互素的一次因式的乘積。推論7.4復(fù)數(shù)域上的級(jí)矩陣相似于一個(gè)對(duì)角矩陣的充分必要條件是：的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根。1. 3 基本性質(zhì)性質(zhì)7.1線性變換的運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）若線性相關(guān)，則線性相關(guān)。性質(zhì)7.2 相似矩陣的性質(zhì)： （1）自反性：任何矩陣自身和自身相似； （2）對(duì)稱性：如果矩陣相似于，則也相似于；（3）傳遞性：如果矩陣相似于，相似于，則相似于

6、；（4）相似的矩陣的跡與范數(shù)相等。性質(zhì)7.3 最小多項(xiàng)式的性質(zhì)： （1）矩陣的最小多項(xiàng)式是唯一的； （2）如果矩陣的最小多項(xiàng)式是，那么以為根的充分必要條件是；（3）設(shè)矩陣是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角型矩陣若的最小多項(xiàng)式分別是，那么的最小多項(xiàng)式是；1. 4 基本運(yùn)算1、求線性變換在給定基下的矩陣：計(jì)算步驟1） 求出基向量的象；2） 求出在基下的坐標(biāo)；3） 下結(jié)論 為所求。例7.1（北大教材，P321，7，3）2、求線性變換的特征值與特征向量：計(jì)算步驟1） 求出在基下的矩陣；2） 求出的特征多項(xiàng)式；3） 特征多項(xiàng)式在數(shù)域上的所有根就是的所有特征值；4） 對(duì)每一特征值，解齊次線性方程組求出它的基礎(chǔ)解系，則（不全為零

7、）是的屬于特征值的所有特征向量，其中。例7.2（北大教材，P324，19）2 基本題型及其常用解題方法2. 1 線性變換的判定與證明利用定義例7.3 （北大教材，P321，1）2.2 線性變換（矩陣）對(duì)角化的判定與證明1、 利用特征值與特征向量：理論依據(jù)有（1） 定理7.8（2） 推論7.1（3） 推論7.2（4）階矩陣可以對(duì)角化對(duì)的每一個(gè)特征值，都有的重?cái)?shù)+秩.判斷數(shù)域上的階方陣是否可以對(duì)角化，并在可對(duì)角化的條件下求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣的步驟：1） 解方程，如果該方程的根不全屬于，那么在數(shù)域上不能對(duì)角化，否則求出的所有屬于數(shù)域的特征值，的重?cái)?shù)為；2） 對(duì)某一個(gè)特征值，若秩，則不能對(duì)角化；3

8、） 若對(duì)每一個(gè)特征值，秩，可以對(duì)角化，解齊次線性方程組得其基礎(chǔ)解系；4） 令，則.例7.4（97,6分）已知是矩陣的一個(gè)特征向量.(1)試確定參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值；(2)問能否相似于對(duì)角陣？說明理由.解 (1)設(shè)對(duì)應(yīng)的特征值為，則，即所以：；(2)，即是的3重特征根.而秩秩，因此的屬于特征根-1的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，故不能相似于對(duì)角陣.討論數(shù)域上的維線性空間上的線性變換能否對(duì)角化的步驟1）取定的一個(gè)基，并求出在基下的矩陣；2）按照討論矩陣是否能否對(duì)角化的步驟討論能否對(duì)角化；3）如果不能對(duì)角化，那么不能對(duì)角化；4）如果能對(duì)角化，但其特征值不全屬于，那么也不能對(duì)角化，若其特征值全屬

9、于，那么能對(duì)角化，如果是滿足為對(duì)角矩陣的可逆方陣，那么令，則在基下的矩陣為對(duì)角矩陣； 例7.5 （北大教材，P325，21）2、 利用正交變換法本方法只適合于實(shí)對(duì)稱矩陣解題步驟 1） 解特征方程，求出的所有不同的特征值，的重?cái)?shù)為（）；2） 解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系（）；3）利用正交化方法將化為規(guī)范正交組（）；4） 令，則為所求正交矩陣，且.例7.6（06,13分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3，向量，是線性方程組的兩個(gè)解.(1)求的特征值和特征向量；(2)求正交矩陣和對(duì)角矩陣，使得；(3)求及，其中為3階單位矩陣.分析 由于的各行元素之和為3，因此利用后面的性質(zhì)6.10知3是的特征值且

10、是的屬于特征值3的特征向量，是的兩個(gè)解，易見線性無關(guān)，所以是的屬于特征根零的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，將化為規(guī)范正交組，則為列向量便得，由此知零是的二重特征根，所以0，0，3便是的所有特征值，至于特征向量也就不難求出.解(1)由于的各行元素之和為3，所以，即知3為的一個(gè)特征值，而是的屬于特征值的一個(gè)特征向量，又，是的兩個(gè)解，由于的分量不成比例，所以線性無關(guān)，因此0至少是的二重特征值，但為3階對(duì)稱矩陣，3已為的一個(gè)特征值，所以便是的所有特征值，從而構(gòu)成的所有特征向量的一個(gè)極大無關(guān)組，是的全體特征向量的一個(gè)極大無關(guān)組. 故：的屬于特征值的全體特征向量為 是不全為零的任意常數(shù)）的屬于特征值的全體特征向

11、量為 為任意常數(shù)）(2)令， ,則為所求正交矩陣，.(3)又.性質(zhì)7.4 如果階矩陣的各行元素之和均為，則一定是的一個(gè)特征值，且是的屬于特征值的一個(gè)特征向量.3、 利用最小多項(xiàng)式例7.7 設(shè)維線性空間上的線性變換滿足（這里表示恒等映射），證明：可以對(duì)角化。2.3求矩陣的特征值與特征向量求階矩陣的特征值與特征向量的步驟1) 求出的特征特征多項(xiàng)式；2) 解，便可求出的所有不同的特征值，設(shè)的重?cái)?shù)為，；3) 對(duì)每一個(gè)特征值，解齊次線性方程組 （7.1）便可求出的所有屬于特征值的特征向量.說明 如果設(shè)秩，則(7.1)的基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量，它們是的屬于特征值的特征向量的極大無關(guān)組，如果設(shè)是(7.1)的

12、一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量為：這里是不全為零的任意常數(shù)（注意：書寫解答時(shí)不能漏掉不全為零的條件）；，即的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)不大于的重?cái)?shù)； 要注意利用如下性質(zhì)簡(jiǎn)化特征值的計(jì)算.性質(zhì)7.5 (1)設(shè)是階可逆矩陣的全部特征根，則是階可逆矩陣的全部特征值；(2) 設(shè)是階矩陣的全部特征值，是任意一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，則是階矩陣的全部特征根.例7.8（89,8分）假設(shè)是階可逆矩陣的一個(gè)特征值，證明：(1)為的特征值；(2)為的伴隨矩陣特征值.分析 若為選擇題或填空題，直接利用性質(zhì)6.1(1)便得(1)之結(jié)論.再由，利用性質(zhì)6.1(2)便得(2)之結(jié)論.但本題為解答題

13、，因此需要給出證明.證明 (1)所以為的特征值.(2) ，故：為特征值.例7.9（89,5分）設(shè)(1)求矩陣的特征值；(2)利用(1)，求的特征值，其中為3階單位矩陣.解 (1)，故：的特征值為.(2)由(1)知的特征值為1，1，故：的特征值為：2，2，.說明，這里.例7.10（87,6分）求矩陣的實(shí)特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量.解 ，所以的實(shí)特征值為，解齊次線性方程 可得其基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值1的全體特征向量為為任意常數(shù)）.說明 求特征向量時(shí)，解齊次線性方程組已不是主要任務(wù)，因此求解過程可在草稿紙上完成，書寫時(shí)只需給出結(jié)論即可.2.4矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用性質(zhì)7.6 設(shè)階方陣的

14、個(gè)特征值為，則(1)(2).說明 由(2)可得結(jié)論，階方陣為可逆矩陣的所有特征值都不為零.例7.11（90,6分）設(shè)是階方陣的兩個(gè)不同的特征值，分別是屬于的特征向量，證明：不是的特征向量.證明：（用反證法）設(shè)是的屬于特征值的特征向量，則，但，所以，即，又線性無關(guān)，所以，與矛盾，故 不是的特征向量.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)如下性質(zhì) 7.7 (1) 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值一定為實(shí)數(shù)；(2) 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必正交.例7.12（97,10分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是1,2,3；矩陣的屬于特征值1,2的特征向量分別.(1)求的屬于特征值3的特征向量；(2)求矩陣.解 (1)

15、設(shè)為的屬于特征值3的特征向量，則與均正交，因此該齊次線性方程的基礎(chǔ)解系為：，故的屬于特征值3的特征向量為：為任意常數(shù)）.(2)取,則 ，故：.說明 直接令，則，那么，需要計(jì)算，再進(jìn)行矩陣的乘法； 表示向量的長(zhǎng)度，也稱為的范數(shù)，由于彼此正交，因此只需把它們單位化便可得規(guī)范正交基，進(jìn)而得正交矩陣. 2.5 不變子空間的判定與證明例7.13 設(shè)，則的象與核均是的不變子空間。例7.14 設(shè)，若，則的象與核均是的不變子空間。例7.15 （北大教材，P326，25） 2.6矩陣的相似及其性質(zhì)性質(zhì)7.8 (1) 若，則；(2) 若，則與的特征多項(xiàng)式相同；(3) 相似矩陣的特征根相同；(4) 跡與范數(shù)相同.說

16、明 階矩陣的跡是指（即的主對(duì)角線上的元素之和），范數(shù)是指的行列式；(2),(3),(4)的逆命題都不成立.例7.16（94,8分）設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，求和應(yīng)滿足的條件.分析有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量知可以對(duì)角化，因此對(duì)的每一個(gè)特征值，的重?cái)?shù)+秩，由此便可定出.解 ，所以的特征值為,由于有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以可以對(duì)角化，因此對(duì)特征根我們有秩，但由知，即是秩的充分必要條件.故：和應(yīng)滿足的條件是.例7.17（97,6分）已知是矩陣的一個(gè)特征向量.(1)試確定參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值；(2)問能否相似于對(duì)角陣？說明理由.解 (1)設(shè)對(duì)應(yīng)的特征值為，則，即所以：；(2)，即是的3重特征

17、根.而秩秩，因此的屬于特征根-1的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，故不能相似于對(duì)角陣.2.7線性變換的象與核的計(jì)算1、理論依據(jù)：（定理7.11）計(jì)算步驟1） 求出的一個(gè)基，由定理7.11得線性變換的象是：2） 不妨設(shè)是的一個(gè)極大無關(guān)組，則它是的一個(gè)基，于是可由這個(gè)基唯一的線性表出，求出3）令則例7.18（北大教材，P323，14）2、理論依據(jù)：同構(gòu)映射的理論計(jì)算步驟1）求出在的一個(gè)基下的矩陣； 2）求出的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，則與這個(gè)極大無關(guān)組對(duì)應(yīng)的是的一個(gè)基； 3）解齊次線性方程組，求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：那么：是的一個(gè)基。7.19（北大教材，P323，14）3 例題選講3.1線性變換的判

18、定與證明的例題例4.14 （97，5分）設(shè)是階可逆方陣，將的第行和第行對(duì)換后得到的矩陣記為（1）證明可逆；（2）求例4.15 （北大教材，P201，22）設(shè)，其中，求.例4.16 若為階矩陣，證明：若可逆，則也可逆，其中為階單位矩陣.3.2線性變換（矩陣）對(duì)角化的判定與證明的例題例4.17 （北大教材，P199，6）例4.18 （北大教材，P199，7）例4.19 （北大教材，P204，8）3.3求矩陣的特征值與特征向量的例題例4.20 （04，4分）設(shè)是3階方陣，將的第1列與第2列交換得，再將的第2列加到第3列得，則滿足的可逆矩陣為（A） (B) (C) (D) 例4.21（05，4分）設(shè)是

19、階可逆矩陣，交換的第1行與第二行得矩陣，分別是的伴隨矩陣，則（A）交換的第1列與第2列得矩陣. （B）交換的第1行與第2行得矩陣.（C）交換的第1列與第2列得矩陣. （D）交換的第1行與第2行得矩陣.3.4矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用的例題例4.22 設(shè)有方程，其中，求，使得.3.5 不變子空間的判定與證明3.6線性變換的象與核的計(jì)算的例題3.7線性變換的象與核的計(jì)算的例題6.1.4規(guī)范正交組 施密特(Schmidt)正交規(guī)范化方法1.兩個(gè)維向量對(duì)應(yīng)分量的乘積之和稱為兩個(gè)向量的內(nèi)積.兩個(gè)維列向量的內(nèi)積為，兩個(gè)維行向量的內(nèi)積為；2.若兩個(gè)非零向量的內(nèi)積為零，則稱這兩個(gè)向量正交：兩兩正交的

20、向量組稱為正交向量組，簡(jiǎn)稱正交組；由單位向量構(gòu)成的正交組，稱為規(guī)范正交組；3.若為一個(gè)線性無關(guān)列向量組，則 (6.2)是一個(gè)正交向量組.說明 從線性無關(guān)向量組出發(fā)，利用公式(6.2)求出正交組的方法，稱為Schmidt正交規(guī)范化方法；取，則便為一個(gè)規(guī)范正交組.例6.8 已知。證明：線性無關(guān)，并將用Schmidt正交化方法化為規(guī)范正交組.解 因?yàn)椋跃€性無關(guān).取 則為正交組，又取，則為所求規(guī)范正交組.說明 本題利用Schmidt正交化方法求規(guī)范正交組采用的是先正交化，再單位化的計(jì)算步驟，其優(yōu)點(diǎn)是單純，便于操作，缺點(diǎn)是計(jì)算量可能會(huì)大一點(diǎn)；采用正交化與單位化同步進(jìn)行的方式求規(guī)范正交組，計(jì)算量會(huì)小一

21、些，但容易發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤。采用此法則本題為：令， ,.本章解題要點(diǎn)1.要注意利用性質(zhì)6.1簡(jiǎn)化特征值的計(jì)算；2.理解特征值與特征向量的概念，并會(huì)運(yùn)用其定義解題；3.要理解掌握特征值與特征向量的性質(zhì)，尤其是實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用它們解題；4.掌握正交化方法，會(huì)將線性無關(guān)向量組化為正交組，規(guī)范正交組；5.理解相似矩陣的概念、性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用它們解題；6.會(huì)判斷矩陣是否可以對(duì)角化，并在可對(duì)角化的條件下，求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣；7.會(huì)求正交矩陣，使為對(duì)角矩陣，這里為實(shí)對(duì)稱矩陣；8.會(huì)利用矩陣的特征值與矩陣行列式的關(guān)系，計(jì)算行列式，即矩陣的行列式等于它的所有特征值的乘積.結(jié)束語 特征值

22、與特征向量及其相關(guān)內(nèi)容是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，也是研究生入學(xué)考試的重要內(nèi)容之一.本章我們介紹了特征值和特征向量的計(jì)算，矩陣相似對(duì)角化的判定，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化，化線性無關(guān)組為正交組，規(guī)范正交組的方法，這些內(nèi)容都有相對(duì)固定的解題步驟.也介紹了特征值與特征向量的性質(zhì)、相似矩陣的性質(zhì)、矩陣可對(duì)角化的條件（包括充要條件，充分條件），要會(huì)運(yùn)用這些知識(shí)解題，必須多訓(xùn)練、多體會(huì)，在理解的基礎(chǔ)上記憶這些性質(zhì)，方能達(dá)到靈活運(yùn)用，輕松解題的目的.4 練習(xí)題4.1 北大教材題目P320-P326，習(xí)題1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、

23、23、24、25、26、27、P326-P327，習(xí)題1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、參考解答4.2 補(bǔ)充習(xí)題1、(92,3分)矩陣的非零特征值是 .2、（98，3分）設(shè)為階矩陣，為的伴隨矩陣，為階單位矩陣，若有特征值，則必有特征值是 .3、（99，3分）設(shè)階矩陣的元素全為1，則的個(gè)特征值是 .4、（00，3分）已知4階矩陣相似于，的特征值為2，3，4，5.為4階單位矩陣，則 .5、（93，3分）設(shè)是非奇異矩陣的一個(gè)特征值，則矩陣有一個(gè)特征值等于(A) (B) (C) (D) 6、（03，4分）設(shè)矩陣，已知矩陣相似于，則秩與秩之和等于(A) (B) (C) (D) 7、（05，

24、4分）設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則矩陣線性無關(guān)的充分必要條件是(A) (B) (C) (D) 8、（88，8分）已知矩陣（1）求與；（2）求一個(gè)滿足的可逆矩陣9、（90，5分）設(shè)方陣滿足條件，其中是的轉(zhuǎn)置矩陣，為單位矩陣.試證明的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值的絕對(duì)值等于1.10、（91，4分）已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量，試求常數(shù)的值.11、（92，7分）設(shè)3階矩陣的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為又向量（1）將用線性表出；（2）求（為自然數(shù)）.12、（95，7分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，對(duì)應(yīng)于的特征向量為，求.13、（96，7分）設(shè)有4階方陣滿足條件，其中為4階單位

25、矩陣，求方陣的伴隨矩陣的一個(gè)特征值.14、（97，5分）設(shè)是秩為2的矩陣， 都是齊次線性方程組的解向量，求的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.15、（97，9分）設(shè)矩陣與相似，其中（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使.16、（98，9分）設(shè)向量都是非零向量，且滿足條件，記階矩陣，求（1）；（2）矩陣的特征值和特征向量.17、（99，7分）設(shè)矩陣問當(dāng)為何值時(shí)，存在可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣？并求出和相應(yīng)的對(duì)角矩陣.18、（99，8分）設(shè)矩陣其行列式，又的伴隨矩陣有一個(gè)特征值為，屬于的一個(gè)特征向量為，求和的值19、（00，9分）設(shè)矩陣已知有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，試求可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣.2

26、0、（00，8分）某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其它生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊.新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工.設(shè)第年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和，記成向量 （1）求與的關(guān)系式并寫成矩陣形式：；（2）驗(yàn)證是的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；（3）當(dāng)時(shí)，求.21、（01，9分）設(shè)矩陣，已知線性方程組有解不惟一，試求：（1）的值；（2）正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣.22、（02，8分）設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣，求可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣，并計(jì)算行列式的值.23、（02，8分）設(shè)為同階方陣，（1）如果相似，試證的

27、特征多項(xiàng)式相等；（2）舉一個(gè)二階方陣的例子說明（1）的逆命題不成立；（3）當(dāng)均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)，試證（1）的逆命題成立.24、（03，13分）設(shè)矩陣可逆，向量是矩陣的一個(gè)特征向量，是與對(duì)應(yīng)的特征值，其中是的伴隨矩陣，試求和的值25、（03，10分）設(shè)矩陣矩陣，求的特征值與特征向量，其中是的伴隨矩陣，為3階單位矩陣26、（04，13分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的秩為是的二重特征值，若都是的屬于特征值6的特征向量.（1）求的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；（2）求矩陣.27、（04，9分）設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求的值，并討論是否可相似對(duì)角化.28、（05，13分）設(shè)為3階矩陣，是線性無關(guān)的三維列向量，且

28、滿足：（1）求矩陣，使得；（2）求矩陣的特征值；（3）求可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣.29、（07，11分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值且是的屬于特征值的一個(gè)特征向量.記，其中為3階單位矩陣.（I）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；(II）求矩陣.參考解答1、本題應(yīng)填4；本題結(jié)論具有代表性，我們把它歸納為如下性質(zhì)6.11 如果階矩陣的所有元素為同一個(gè)非零數(shù)，則是的所有特征值，的屬于特征值的所有特征向量為其中為不全為零的任意常數(shù). 對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為.證明 由題設(shè)條件知：，所以為的一個(gè)特征值，且是對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.又所以齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量，是它的一個(gè)基礎(chǔ)解

29、系.故：是的一個(gè)重特征值，從而是的全部特征值.對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為其中為不全為零的任意常數(shù).對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為.本題考查綜合運(yùn)用特征值與特征向量的定義、性質(zhì)和齊次線性方程組的理論求特征值.2、本題應(yīng)填；解 因?yàn)椋钥赡?，且為的一個(gè)特征值，又，因此為的一個(gè)特征值，故：為的一個(gè)特征值.本題考查運(yùn)用性質(zhì)6.1求特征值.3、本題應(yīng)填；分析 直接利用性質(zhì)6.11便得結(jié)論，作為填空題或選擇題到此即可結(jié)束，若為解答題，則需仿性質(zhì)6.11的證明加以解答.本題考查運(yùn)用性質(zhì)6.11求特征值.4、本題應(yīng)填；解 由題設(shè)知的特征值為，所以的特征值為，故：.本題考查運(yùn)用特征值的性質(zhì)和性質(zhì)6.1解題.二

30、、選擇題5、本題應(yīng)該選擇(B)；解 因?yàn)槭堑奶卣髦?，所以是的特征值，從而是的一個(gè)特征值.選擇 (B)正確；本題考查運(yùn)用性質(zhì)6.1求特征值.6、本題應(yīng)該選擇(C)；解 因?yàn)椋缘奶卣髦禐?，而相似于，所以的特征值為，從而的特征值分別為與，因此：，故：.選擇 (C)正確；本題解題思路可以總結(jié)為性質(zhì)6.12 （1）一個(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣的秩等于的非零特征值的個(gè)數(shù)；（2）零是階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值的充分必要條件是，且時(shí)，是的重特征值.本題考查特征值的計(jì)算，也考查實(shí)對(duì)稱矩陣的秩與特征值之間的關(guān)系.7、本題應(yīng)該選擇(B)；解 設(shè)，則由得：，因?yàn)槭菍儆谔卣髦档奶卣飨蛄?，因此線性無關(guān)，；當(dāng)時(shí)，必有，從而，因此線性無關(guān)

31、；當(dāng)時(shí)，取，便有：，因此線性相關(guān)；故：線性無關(guān)的充分必要條件是.選擇 (B)正確；本題綜合考查特征值與特征向量的性質(zhì)、定義和向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念.三、解答題8、分析 要求，必設(shè)法建立關(guān)于的兩個(gè)方程，而由相似知的跡與范數(shù)相等，正好可以建立關(guān)于的兩個(gè)方程，從而求出，再求出的關(guān)于特征值的特征向量，以它們?yōu)榱邢蛄康木仃嚤闶牵?）中所求可逆矩陣.解 （1）因?yàn)橄嗨?，所以，解之得：；?）對(duì)于特征值，解齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的特征向量為；對(duì)于特征值，解齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的特征向量為；對(duì)于特征值，解齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的特征向量為；令：，則.本題考查相似矩陣的性質(zhì)，矩陣對(duì)角化與相似逆矩陣的計(jì)算.

32、9、證明是的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值，則：，于是，從而：，而，因此，由于是非零的實(shí)向量，所以，從而，故：.說明 表示向量的范數(shù)，也稱為的長(zhǎng)度，它等于的內(nèi)積的算術(shù)平方根，也就是的坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根； 本題結(jié)論表明正交矩陣的實(shí)特征向量對(duì)應(yīng)的特征值一定是實(shí)數(shù).本題考查特征值與特征向量的定義，矩陣與向量的計(jì)算.10、解 設(shè)是的屬于特征值的特征向量，則：，于是，即：，于是，解之得：或.本題考查特征值與特征向量的定義，矩陣的乘法.11、解（1）考慮線性方程組是的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值，則：，于是，從而：所以.（2）由于，所以故： 說明 第（2）問的計(jì)算利用了（1）的結(jié)論并結(jié)合了：若是方陣屬于特征值的

33、特征向量，則一定是的屬于特征值的特征向量，這里為正整數(shù)； 若令，則，于是：，又，因此. 這樣計(jì)算也不失為一種好的計(jì)算方法.本題考查特征值與特征向量的定義，解線性方程組，矩陣與向量的計(jì)算.12、解 設(shè)的屬于特征值的特征向量為，則因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量必正交，所以： （6.3）因此為的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，將其正交規(guī)范化得：，又取，令：，則：，故：說明 求齊次線性方程組（6.3）的基礎(chǔ)解系時(shí)，由于其系數(shù)矩陣的秩為1，因此它有個(gè)自由變?cè)?個(gè)約束變?cè)?，又一起滿足（6.3），所以它們不能同時(shí)作為自由變?cè)?，只?個(gè)為自由變?cè)?個(gè)為約束變?cè)?，按照?xí)慣，取為自由變?cè)?，為約束變?cè)?/p>

34、而不受（6.3）的限制，它應(yīng)該是自由變?cè)?，于是分別令和就可以求出（6.3）的基礎(chǔ)解系； 由本題可得一類典型的命題模型：設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣恰有2個(gè)不同的特征值，的重?cái)?shù)為，又已知是的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，求矩陣.此類題目的解題步驟是（1）設(shè)為的屬于特征值的特征向量，則因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量必正交，所以：應(yīng)是 （6.4）的解向量，由于，所以（6.4）的基礎(chǔ)解系中恰有個(gè)解向量，解之求出一個(gè)基礎(chǔ)解系，則它們正好是的屬于特征值的個(gè)線性無關(guān)的特征向量；（2）利用Schmidt正交化方法，將化為規(guī)范正交組，化為規(guī)范正交組；（3）令，則從而，利用矩陣的乘法運(yùn)算便可求出.注意 當(dāng)時(shí)，求的運(yùn)算

35、量會(huì)比較大，但改為求的屬于特征值的所有特征向量，則計(jì)算量不大，此時(shí)設(shè)（不妨設(shè)）是的屬于特征值的特征向量，則的屬于特征值的特征向量均為齊次線性方程組 的解，易見是的屬于特征值的個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故：是的屬于特征值的所有特征向量.本題考查實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì).13、分析 由知：是的一個(gè)特征值，因此是的一個(gè)特征值，但，所以是的一個(gè)特征值，結(jié)合不難求出，問題得解.解 因?yàn)?，所以，又，因此；另由知：是的一個(gè)特征值，因此是的一個(gè)特征值，但，所以是的一個(gè)特征值.本題考查特征值的概念，利用性質(zhì)6.1求特征值，也考查伴隨矩陣的概念及行列式的計(jì)算.14、解 因?yàn)榈姆至坎怀杀壤?，因此線性無關(guān)，由題

36、設(shè)條件知：是秩為2的矩陣，因此的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量，所以是的解空間的一個(gè)基，利用Schmidt正交化方法，令 ，則為的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.本題考查Schmidt正交化方法，也考查齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理.15、解 （1）因?yàn)榕c相似，所以，而，所以，解之得：.（2）對(duì)應(yīng)于特征值，解齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為；對(duì)于特征值，解齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的特征向量為；令：，則.本題考查相似矩陣的性質(zhì)，矩陣對(duì)角化與相似逆矩陣的計(jì)算.16、分析 利用性質(zhì)4.1不難知道，又設(shè)是的任意特征值，為對(duì)應(yīng)的特征向量，則，結(jié)合得，即知：是的惟一的特征值，重?cái)?shù)為.解 （1）； （2）設(shè)是的任意特征值

37、，為對(duì)應(yīng)的特征向量，則，結(jié)合得，即知：是的全部特征值.考慮齊次線性方程組，由于，所以該齊次線性方程組與同解，不妨設(shè)，則是的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，故：（其中是不全為零的任意常數(shù)）是的屬于特征值的所有的特征向量.本題考查特征向量的定義，特征向量的計(jì)算，矩陣與向量的運(yùn)算.17、解，所以為的所有特征值；對(duì)應(yīng)于特征值，考慮齊次線性方程組當(dāng)且僅當(dāng)它的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)解向量時(shí)，可以對(duì)角化，此時(shí)需，而，因此是的充要條件，故：，此時(shí)得對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為；對(duì)于特征值，解齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的特征向量為；令：，則.本題考查矩陣對(duì)角化的條件與相似逆矩陣的計(jì)算.18、解 由題設(shè)，而，因此，即：解之得：

38、，再由得：，所以.本題考查特征值與特征向量的定義，矩陣的運(yùn)算與行列式的計(jì)算.19、分析 有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此可以對(duì)角化.對(duì)于2重特征值，秩，利用此結(jié)論便可以求出，以下按照6.1.3介紹的解題步驟求出即可.解 因?yàn)橛腥齻€(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此可以對(duì)角化.對(duì)于2重特征值，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系恰有兩個(gè)解向量，所以秩，而，所以，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為；又由，因此的另一特征值，解齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的特征向量為；令：，則.本題考查矩陣對(duì)角化的條件與相似逆矩陣的計(jì)算.20、解 （1）由題設(shè)得：，改寫為矩陣形式為，即：（2）因?yàn)榈姆至坎怀杀壤?，所以線性無關(guān)，又所以分別是的屬于特征值的特征

39、向量；（3）令，則，故：本題考查特征值與特征向量的定義，矩陣對(duì)角化的條件與應(yīng)用，矩陣的計(jì)算.21、解 （1）當(dāng)時(shí)，線性方程組有惟一解，與題設(shè)有解不惟一矛盾；當(dāng)時(shí)，線性方程組無解，也與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，線性方程組有無窮多組解，與題設(shè)一致；故：； （2）時(shí)，所以為的所有特征值；對(duì)應(yīng)于特征值，考慮齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的特征向量為；對(duì)應(yīng)于特征值，考慮齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的特征向量為；對(duì)應(yīng)于特征值，考慮齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的特征向量為；令：，則.本題考查特征值與特征向量的計(jì)算，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化，也考查線性方程組有解的條件.22、解 ，所以為的所有特征值；對(duì)應(yīng)于特征值，解齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的特征向量為；對(duì)應(yīng)于特征值，解齊次線性方程組得對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為；令：，則.又為的全部特征值