焦半徑公式的證明

1、焦半徑公式的證明焦半徑公式的證明【尋根】 橢圓的根在哪里？自然想到橢圓的定義：到兩定點(diǎn)f1，f2(|f1f2|=2c）距離之和為定值2a（2a2c）的動(dòng)點(diǎn)軌跡（圖形）.這里，從橢圓的“根上”找到了兩個(gè)參數(shù)c和a。第一個(gè)參數(shù)c，就確定了橢圓的位置；再加上另一個(gè)參數(shù)a，就確定了橢圓的形狀和大小。比較它們的“身份”來,c比a更“顯貴”。遺憾的是,在橢圓的方程里，卻看不到c的蹤影，故有人開玩笑地說：橢圓方程有“忘本之嫌.為了“正本,我們回到橢圓的焦點(diǎn)處,尋找c,并尋找關(guān)于c的“題根”。一、 用橢圓方程求橢圓的焦點(diǎn)半徑公式數(shù)學(xué)題的題根不等同數(shù)學(xué)教學(xué)的根基，數(shù)學(xué)教學(xué)的根基是數(shù)學(xué)概念，如橢圓教學(xué)的根基是橢圓

2、的定義。但是在具體數(shù)學(xué)解題時(shí),不一定每次都是從定義出發(fā),而是從由數(shù)學(xué)定義引出來的某些已知結(jié)論(定理或公式）出發(fā)，如解答橢圓問題時(shí),經(jīng)常從橢圓的方程出發(fā)?！纠?】 已知點(diǎn)p（x,y）是橢圓上任意一點(diǎn)，f1（c，0）和f2（c，0）是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).求證：|pf1|=a+；pf2|=a 。【分析】 可用距離公式先將pf1和pf2|分別表示出來.然后利用橢圓的方程“消y”即可.【解答】 由兩點(diǎn)間距離公式，可知pf1= （1）從橢圓方程解出 (2) 代（2)于（1）并化簡,得|pf1= (-axa)同理有 |pf2= (-axa)【說明】 通過例1,得出了橢圓的焦半徑公式r1=a+ex r2=aex

3、（e=)從公式看到，橢圓的焦半徑的長度是點(diǎn)p（x，y)橫坐標(biāo)的一次函數(shù)。 r1是x的增函數(shù),r2是x的減函數(shù)，它們都有最大值a+c,最小值a-c。從焦半徑公式,還可得橢圓的對稱性質(zhì)(關(guān)于x，y軸，關(guān)于原點(diǎn)）.二、用橢圓的定義求橢圓的焦點(diǎn)半徑用橢圓方程推導(dǎo)焦半徑公式,雖然過程簡便,但容易使人誤解，以為焦半徑公式的成立是以橢圓方程為其依賴的。為了看清焦半徑公式的基礎(chǔ)性，我們考慮從橢圓定義直接導(dǎo)出公式來。橢圓的焦半徑公式,是橢圓“坐標(biāo)化”后的產(chǎn)物，按橢圓定義，對焦半徑直接用距離公式即可.【例2】 p （x,y）是平面上的一點(diǎn)，p到兩定點(diǎn)f1（c，0），f2（c，0）的距離的和為2a（ac0）.試用x

4、，y的解析式來表示r1=pf1|和r2=pf2|.【分析】 問題是求r1=f（x）和r2=g(x）.先可視x為參數(shù)列出關(guān)于r1和r2的方程組,然后從中得出r1和r2.【解答】 依題意，有方程組得代于并整理得r1-r2= 聯(lián)立，得 【說明】 橢圓的焦半徑公式可由橢圓的定義直接導(dǎo)出，對橢圓的方程有自己的獨(dú)立性。由于公式中含c而無b，其基礎(chǔ)性顯然.三、 焦半徑公式與準(zhǔn)線的關(guān)系用橢圓的第二定義，也很容易推出橢圓的焦半徑公式.如圖右，點(diǎn)p（x,y）是以f1(c,0）為焦點(diǎn),以l1：x=-為準(zhǔn)線的橢圓上任意一點(diǎn)。pdl1于d。按橢圓的第二定義，則有即r1=a+ex，同理有r2=a-ex. 對中學(xué)生來講,橢

5、圓的這個(gè)第二定義有很大的“人為性”.準(zhǔn)線缺乏定義的“客觀性”.因此，把橢圓的第二定義視作橢圓的一條性質(zhì)定理更符合邏輯性.【例3】 p(x，y）是以f1（-c，0）,f2（c，0)為焦點(diǎn)，以距離之和為2a的橢圓上任意一點(diǎn)。直線l為x=，pd1l交l于d1。求證：.【解答】 由橢圓的焦半徑公式 pf1|=a+ex。 對|pd1用距離公式 |pd1|=x-=x+. 故有.【說明】 此性質(zhì)即是：該橢圓上任意一點(diǎn),到定點(diǎn)f1（c,0）(f2(c，0）與定直線l1:x=-（l2：x=）的距離之比為定值e（0e1）。四、用橢圓的焦半徑公式證明橢圓的方程現(xiàn)行教材在橢圓部分,只完成了“從曲線到方程”的單向推導(dǎo)，

6、實(shí)際上這只完成了任務(wù)的一半。而另一半，從“方程到曲線，卻留給了學(xué)生(關(guān)于這一點(diǎn),被許多學(xué)生所忽略了可逆推導(dǎo)過程并不簡單,特別是逆過程中的兩次求平方根）.其實(shí)，有了焦半徑公式，“證明橢圓方程為所求”的過程顯得很簡明.【例4】 設(shè)點(diǎn)p（x，y)適合方程.求證：點(diǎn)p（x，y）到兩定點(diǎn)f1（c,0）和f2（c，0)的距離之和為2a（c2=a2-b2). 【分析】 這題目是為了完成“從方程到曲線”的這一逆向過程.利用例2導(dǎo)出的焦點(diǎn)半徑公式，很快可推出結(jié)果. 【解答】 p(x，y)到f1（-c,0)的距離設(shè)作r1=|pf1|.由橢圓的焦點(diǎn)半徑公式可知r1=a+ex 同理還有r2=a-ex + 得 r1+r2=2a即 pf1+|pf2|=2a.即p(x,y)到兩定