層次分析法例題

1、.專題：層次分析法一般情況下，物流系統(tǒng)的評價屬于多目標(biāo)、多判據(jù)的系統(tǒng)綜合評價。如果僅僅依靠評價者的定性分析和邏輯判斷，缺乏定量分析依據(jù)來評價系統(tǒng)方案的優(yōu)劣，顯然是十分困難的。尤其是物流系統(tǒng)的社會經(jīng)濟(jì)評價很難作出精確的定量分析。層次分析法（Analytical Hierarchy Process）由美國著名運(yùn)籌學(xué)家薩蒂（TLSaaty）于1982年提出，它綜合了人們主觀判斷，是一種簡明、實(shí)用的定性分析與定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)分析與評價的方法。目前，該方法在國內(nèi)已得到廣泛的推廣應(yīng)用，廣泛應(yīng)用于能源問題分析、科技成果評比、地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展方案比較，尤其是投入產(chǎn)出分析、資源分配、方案選擇及評比等方面。它既是

2、一種系統(tǒng)分析的好方法，也是一種新的、簡潔的、實(shí)用的決策方法。 層次分析法的基本原理 人們在日常生活中經(jīng)常要從一堆同樣大小的物品中挑選出最重的物品。這時，一般是利用兩兩比較的方法來達(dá)到目的。假設(shè)有n個物品，其真實(shí)重量用w1，w2，wn表示。要想知道w1，w2，wn的值，最簡單的就是用秤稱出它們的重量，但如果沒有秤，可以將幾個物品兩兩比較，得到它們的重量比矩陣A。 如果用物品重量向量W=w1，w2，wnT右乘矩陣A，則有： 由上式可知，n是A的特征值，W是A的特征向量。根據(jù)矩陣?yán)碚?，n是矩陣A的唯一非零解，也是最大的特征值。這就提示我們，可以利用求物品重量比判斷矩陣的特征向量的方法來求得物品真實(shí)的

3、重量向量W。從而確定最重的物品。 將上述n個物品代表n個指標(biāo)（要素），物品的重量向量就表示各指標(biāo)（要素）的相對重要性向量，即權(quán)重向量；可以通過兩兩因素的比較，建立判斷矩陣，再求出其特征向量就可確定哪個因素最重要。依此類推，如果n個物品代表n個方案，按照這種方法，就可以確定哪個方案最有價值。 應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)評價的主要步驟如下： （1）將復(fù)雜問題所涉及的因素分成若干層次，建立多級遞階的層次結(jié)構(gòu)模型（目標(biāo)層、判斷層、方案層）。 （2）標(biāo)度及描述。同一層次任意兩因素進(jìn)行重要性比較時，對它們的重要性之比做出判斷，給予量化。（3）對同屬一層次的各要素以上一級的要素為準(zhǔn)則進(jìn)行兩兩比較，根據(jù)評價尺度確

4、定其相對重要度，據(jù)此構(gòu)建判斷矩陣A。 （4）計算判斷矩陣的特征向量，以此確定各層要素的相對重要度（權(quán)重）。 （5）最后通過綜合重要度（權(quán)重）的計算，按照最大權(quán)重原則，確定最優(yōu)方案。 例題：某物流企業(yè)需要采購一臺設(shè)備，在采購設(shè)備時需要從功能、價格與可維護(hù)性三個角度進(jìn)行評價，考慮應(yīng)用層次分析法對3個不同品牌的設(shè)備進(jìn)行綜合分析評價和排序，從中選出能實(shí)現(xiàn)物流規(guī)劃總目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)備，其層次結(jié)構(gòu)如下圖所示。以A表示系統(tǒng)的總目標(biāo)，判斷層中表示功能，表示價格，表示可維護(hù)性。，表示備選的3種品牌的設(shè)備。購買設(shè)備A功能B1價格B2維護(hù)性B3產(chǎn)品C1產(chǎn)品C2產(chǎn)品C3目標(biāo)層判斷層方案層圖 設(shè)備采購層次結(jié)構(gòu)圖解題步驟：1

5、、標(biāo)度及描述人們定性區(qū)分事物的能力習(xí)慣用5個屬性來表示，即同樣重要、稍微重要、較強(qiáng)重要、強(qiáng)烈重要、絕對重要，當(dāng)需要較高精度時，可以取兩個相鄰屬性之間的值，這樣就得到9個數(shù)值，即9個標(biāo)度。為了便于將比較判斷定量化，引入19比率標(biāo)度方法，規(guī)定用1、3、5、7、9分別表示根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷，要素i與要素j相比：同樣重要、稍微重要、較強(qiáng)重要、強(qiáng)烈重要、絕對重要，而2、4、6、8表示上述兩判斷級之間的折衷值。 標(biāo)度定義（比較因素i與j）1因素i與j同樣重要3因素i與j稍微重要5因素i與j較強(qiáng)重要7因素i與j強(qiáng)烈重要9因素i與j絕對重要2、4、6、8兩個相鄰判斷因素的中間值倒數(shù)因素i與j比較得判斷矩陣a ij，

6、則因素j與i相比的判斷為aji=1/aij注：aij表示要素i與要素j相對重要度之比，且有下述關(guān)系： aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，n 顯然，比值越大，則要素i的重要度就越高。 2、構(gòu)建判斷矩陣A判斷矩陣是層次分析法的基本信息，也是進(jìn)行權(quán)重計算的重要依據(jù)。 根據(jù)結(jié)構(gòu)模型，將圖中各因素兩兩進(jìn)行判斷與比較，構(gòu)造判斷矩陣：判斷矩陣(即相對于物流系統(tǒng)總目標(biāo)，判斷層各因素相對重要性比較)如表1所示；判斷矩陣(相對功能，各方案的相對重要性比較)如表2所示；判斷矩陣(相對價格，各方案的相對重要性比較)如表3所示；判斷矩陣(相對可維護(hù)性，各方案的相對重要性比較)如表4所示。表1判斷矩陣1

7、1/323151/21/51表2 判斷矩陣1l/31/5311/3531表3 判斷矩陣B2-C1271/2151/71/51表4判斷矩陣13l/7l/311/97913、計算各判斷矩陣的特征值、特征向量及一致性檢驗(yàn)指標(biāo)一般來講，在AHP法中計算判斷矩陣的最大特征值與特征向量，必不需要較高的精度，用求和法或求根法可以計算特征值的近似值。 求和法 1）將判斷矩陣A按列歸一化（即列元素之和為1）：bij= aij /aij；2）將歸一化的矩陣按行求和：ci=bij （i=1，2，3.n）；3）將ci歸一化：得到特征向量W=（w1，w2，wn ）T，wi=ci /ci ，W即為A的特征向量的近似值；4

8、）求特征向量W對應(yīng)的最大特征值：求根法 1）計算判斷矩陣A每行元素乘積的n次方根； （i =1, 2, , n）2）將歸一化，得到；W=（w1，w2，wn ）T即為A的特征向量的近似值；3）求特征向量W對應(yīng)的最大特征值：(1)判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)計算矩陣的特征向量。計算判斷矩陣各行元素的乘積，并求其次方根，如，類似地有，。對向量規(guī)范化，有類似地有，。所求得的特征向量即為：計算矩陣的特征根類似地可以得到，。按照公式計算判斷矩陣最大特征根：一致性檢驗(yàn)。實(shí)際評價中評價者只能對A進(jìn)行粗略判斷，這樣有時會犯不一致的錯誤。如，已判斷C1比C2重要，C2比C3較重要，那么，C1應(yīng)該比C3更

9、重要。如果又判斷C1比C3較重要或同等重要，這就犯了邏輯錯誤。這就需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 根據(jù)層次法原理，利用A的理論最大特征值max與n之差檢驗(yàn)一致性。 一致性指標(biāo)：計算0.1，查同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)（表5所示）知，（一般認(rèn)為CI0.1、 CR0.1時，判斷矩陣的一致性可以接受，否則重新兩兩進(jìn)行比較）。表5 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)階數(shù)34567891011121314RI0.580.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58(2)判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)類似于第(1)步的計算過程，可以得到矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)如下：，(3)判斷

10、矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)類似于第(1)步的計算過程，可以得到矩陣刀：C的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)如下：，(4)判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)類似于第(1)步的計算過程，可以得到矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)如下：，4、層次總排序獲得同一層次各要素之間的相對重要度后，就可以自上而下地計算各級要素對總體的綜合重要度。設(shè)二級共有m個要素c1, c2,cm，它們對總值的重要度為w1, w2, wm；她的下一層次三級有p1, p2,pn共n個要素，令要素pi對cj的重要度（權(quán)重）為vij，則三級要素pi的綜合重要度為： 方案C1的重要度（權(quán)重）=0.2300.105+0.648

11、0.529+0.1220.149=0.426方案C2的重要度（權(quán)重）=0.2300.258+0.6480.333+0.1220.066=0.283方案C3的重要度（權(quán)重）=0.2300.637+0.6480. 075+0.1220.785=0.291依據(jù)各方案綜合重要度的大小，可對方案進(jìn)行排序、決策。 層次總排序如表6所示。表6 層次總排序?qū)哟螌哟螌哟蜟總排序權(quán)重0.2300.6480.1220.1050.5920.1490.4260.2580.3330.0660.2830.6370.0750.7850.2915、結(jié)論由表5可以看出，3種品牌設(shè)備的優(yōu)劣順序?yàn)椋?，且品?明顯優(yōu)于其他兩種品牌的設(shè)備。作業(yè)：某配送中心的設(shè)計中要對某類物流裝備進(jìn)行決策，現(xiàn)初步選定三種設(shè)備配套方案，應(yīng)用層次分析