復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運算.doc

1、復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運算 一、主要內(nèi)容: 復(fù)數(shù)的三角形式，模與輻角的概念及幾何意義，用三角形式進行復(fù)數(shù)乘除運算及幾何意義. 二、學(xué)習(xí)要求: 1熟練進行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化，會求復(fù)數(shù)的模、輻角及輻角主值. 2深刻理解復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征，熟練運用有關(guān)三角公式化復(fù)數(shù)為三角形式. 3能夠利用復(fù)數(shù)模及輻角主值的幾何意義求它們的范圍（最值）. 4利用復(fù)數(shù)三角形式熟練進行復(fù)數(shù)乘除運算，并能根據(jù)乘除運算的幾何意義解決相關(guān)問題. 5注意多種解題方法的靈活運用，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法. 三、重點: 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)換，復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)乘除運算幾何意義的綜合運用. 四、學(xué)習(xí)建議:

2、 1復(fù)數(shù)的三角形式是徹底解決復(fù)數(shù)乘、除、乘方和開方問題的橋梁，相比之下，代數(shù)形式在這些方面顯得有點力不從心，因此，做好代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)化是非常有必要的. 前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過了復(fù)數(shù)的另兩種表示.一是代數(shù)表示，即Z=a+bi(a,bR).二是幾何表示，復(fù)數(shù)Z既可以用復(fù)平面上的點Z(a,b)表示，也可以用復(fù)平面上的向量來表示.現(xiàn)在需要學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角表示.既用復(fù)數(shù)Z的模和輻角來表示，設(shè)其模為r，輻角為，則Z=r(cos+isin)(r0). 既然這三種方式都可以表示同一個復(fù)數(shù)，它們之間一定有內(nèi)在的聯(lián)系并能夠進行互化. 代數(shù)形式r=三角形式 Z=a+bi(a,bR) Z=r(cos+isin)(r0)

3、 復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是:模非負，角相同，余弦前，加號連.否則不是三角形式.三角形式中應(yīng)是復(fù)數(shù)Z的一個輻角，不一定是輻角主值. 五、基礎(chǔ)知識1）復(fù)數(shù)的三角形式定義：復(fù)數(shù)z=a+bi （a,bR）表示成r （cos+ isin）的形式叫復(fù)數(shù)z的三角形式。即z=r（cos + isin） 其中 為復(fù)數(shù)z的輻角。非零復(fù)數(shù)z輻角的多值性。以ox軸正半軸為始邊，向量所在的射線為終邊的角叫復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角因此復(fù)數(shù)z的輻角是+2k（kz）輻角主值 表示法；用arg z 表示復(fù)數(shù)z的輻角主值。 定義：適合0，2）的角叫輻角主值 唯一性：復(fù)數(shù)z的輻角主值是確定的，唯一的。不等于零的復(fù)數(shù)的模是唯一的。z=

4、0時，其輻角是任意的。復(fù)數(shù)三角形式中輻角、輻角主值的確定。（求法） 這是復(fù)數(shù)計算中必定要解決的問題，物別是復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方、開方等運算，尤其是逮美佛定理定理只有對復(fù)數(shù)三角形式時才能使用。因此復(fù)數(shù)化三角式是復(fù)數(shù)運算中極為重要的內(nèi)容（也是解題術(shù)）復(fù)數(shù)在化三角式的過程中其模的求法是比較容易的。輻角的求法，輻角主值的確定是難點，也是關(guān)鍵存在，這個專題只簡單歸納復(fù)數(shù)輻角及輻角主值的求法。2）復(fù)數(shù)的向量表示 在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的點分別為z1、z2（如圖） 何量 何量 何量 與復(fù)數(shù)z2z1對應(yīng)的向量為 顯然ozz1z2 則argz1=xoz1=1 argz2=xoz2=2 argz

5、（z2z1）=arg z=xoz=3）復(fù)數(shù)運算的幾何意義 主要是三角式乘法、除法等運算中輻角的變化 如z1=r1（cos1+isin1） z2=r2（cos2+isin2）乘法：z=z1 z2=r1r2 cos(1+2)+isin(1+2) 如圖：其對應(yīng)的向量分別為顯然積對應(yīng)的輻角是1+2 若2 0 則由逆時針旋轉(zhuǎn)2角模變?yōu)榈膔2倍所得向量便是積z1z2=z的向量。若2 0 則由向量順時針旋轉(zhuǎn)角模變?yōu)閞1r2所得向量便是積z1z2=z的向量。 為此，若已知復(fù)數(shù)z1的輻角為，z2的輻角為求+時便可求出z1z2=za z 對應(yīng)的輻角就是+這樣便可將求“角”的問題轉(zhuǎn)化為求“復(fù)數(shù)的積”的運算。除法 （

6、其中 z20） 除法對于輻角主要是“相減”（被除數(shù)的輻角一除數(shù)的輻角）依向量旋轉(zhuǎn)同乘法簡述如下：。例1下列各式是否是三角形式，若不是，化為三角形式: (1) Z1=-2(cos+isin)(2) Z2=cos-isin(3) Z3=-sin+icos (4) Z4=-sin-icos(5) Z5=cos60+isin30 分析:由三角形式的結(jié)構(gòu)特征，確定判斷的依據(jù)和變形的方向.變形時，可按照如下步驟進行:首先確定復(fù)數(shù)Z對應(yīng)點所在象限（此處可假定為銳角），其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱，最后確定輻角.此步驟可簡稱為“定點定名定角”.這樣，使變形的方向更具操作性，能有效提高解決此類問題的正確率.

7、解:（1）由“模非負”知，不是三角形式，需做變換:Z1=Z(-cos-isin) 復(fù)平面上Z1(-2cos,-2sin)在第三象限（假定為銳角），余弦“-cos”已在前，不需再變換三角函數(shù)名稱，因此可用誘導(dǎo)公式“+”將變換到第三象限.Z1=Z(-cos-isin)=2cos(+)+isin(+) （2）由“加號連”知，不是三角形式 復(fù)平面上點Z2(cos,-sin)在第四象限（假定為銳角），不需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“2-”或“-”將變換到第四象限. Z2=cos-isin=cos(-)+isin(-)或Z2=cos-isin=cos(2-)+isin(2-) 考慮到復(fù)數(shù)輻角的不唯一性

8、，復(fù)數(shù)的三角形式也不唯一. （3）由“余弦前”知，不是三角形式 復(fù)平面上點Z3(-sin,cos)在第二象限（假定為銳角），需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“+”將變換到第二象限.Z3(-sin,cos)=cos(+)+isin(+) 同理（4）Z4=-sin-icos=cos(-)+isin(-) （5）Z5=cos60+isin30=+i=(1+i)=(cos+isin)=(cos+isin) 小結(jié):對這類與三角形式很相似的式子，如何將之變換為三角形式，對于初學(xué)者來講是個難點.有了“定點定名定角”這樣一個可操作的步驟，應(yīng)能夠很好地解決此類問題. 例2求復(fù)數(shù)Z=1+cos+isin(2)的模

9、與輻角主值. 分析:式子中多3個“1”，只有將“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2isincos=2cos(cos+isin).(1) 2 ,cos0(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(+)+isin(+) r=-2cos, ArgZ=+2k(kZ) +2，argZ=+. 小結(jié):（1）式右端從形式上看似乎就是三角形式.不少同學(xué)認為r=2cos, argZ=或ArgZ= 錯誤之處在于他們沒有去考慮角范圍，因此一定要用“模非負，角相同，余弦前，加號連”來判斷是否為三角形式.看了這道例題，

10、你一定能解決如Z1=1-cos+isin(2) ，Z2=1+cos-isin(2)等類似問題. 例3將Z=(3)化為三角形式，并求其輻角主值. 分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切為弦”.下一步當(dāng)然是要分母實數(shù)化，再向三角形式轉(zhuǎn)化. 解:=cos2+isin2 3, 26, 2-40)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k2kcos=3k2 |Z1Z2|=k, 而k2+(k)2=(2k)2，OZ1Z2為有一銳角為60的直角三角形. 小結(jié):此題中利用除法幾何意義來解決三角形中角的大小問題，十分方便. 例8已知直線l過坐標原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點A(-1,0)和

11、B(0,8)關(guān)于l的對稱點都在C上，求直線l與拋物線C的方程. 解:如圖，建立復(fù)平面x0y，設(shè)向量、對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為x1+y1i, x2+y2i. 由對稱性，|OA|=|OA|=1, |OB|=|OB|=8, x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i 設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0)則有y12=2px1, y22=2px2, x1=, y12=p2, 又|OA|=1，()2+p2=1,p=或-（舍） 拋物線方程為y2=x，直線方程為:y=x. 小結(jié):對于解析幾何的許多問題，若能借助于復(fù)數(shù)的向量來表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊關(guān)系的圖形時，尤顯其效. 五、易錯

12、點 1并不是每一個復(fù)數(shù)都有唯一確定的輻角主值.如復(fù)數(shù)零的模為0，輻角主值不確定. 2注意ArgZ與argZ的區(qū)別.ArgZ表示復(fù)數(shù)Z的輻角，而argZ表示復(fù)數(shù)Z的輻角主值.ArgZ=argZ+2k(kZ),argZ0,2), 輻角主值是0,2)內(nèi)的輻角，但輻角不一定是輻角主值. 3復(fù)數(shù)三角形式的四個要求:模非負，角相同，余弦前，加號連，缺一不可.任何一個不滿足，就不是三角形式. 4注意復(fù)數(shù)三角形式的乘除運算中，向量旋轉(zhuǎn)的方向. 六、練習(xí) 1寫出下列復(fù)數(shù)的三角形式 (1) ai(aR)(2) tg+i(）(3) -（sin-icos) 2設(shè)Z=(-3+3i)n, nN，當(dāng)ZR時，n為何值？ 3在

13、復(fù)平面上A，B表示復(fù)數(shù)為,(0),且=(1+i)，判斷AOB形狀，并證明SAOB=|d|2. 參考答案: 1（1）ai= （2）tg+i(）=-cos(-)+isin(-) （3）-(sin-icos)=cos(+)+isin(+) 2n為4的正整數(shù)倍 3法一:0，=（1+i) =1+i=(cos+isin), AOB=, 分別表示復(fù)數(shù)，-， 由-=i，得=i=cos+isin，OAB=90,AOB為等腰直角三角形. 法二:|=|, |=|-|=|i|=|,|=| 又|=|=|(1+i)|=|,|2+|2=|2+|2=2|2=|2 AOB為等腰直角三角形，SAOB=|=|2. 在線測試窗體頂端

14、選擇題1若復(fù)數(shù)z=(a+i)2的輻角是，則實數(shù)a的值是（） A、1B、-1 C、- D、- 窗體底端窗體頂端2已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+x+p=0的兩虛根a， b滿足|a-b|=3， 則p的值是（） A、-2 B、- C、 D、1 窗體底端窗體頂端3設(shè)，則復(fù)數(shù)的輻角主值為（） A、2-3B、3-2C、3D、3- 窗體底端窗體頂端4復(fù)數(shù)cos+isin經(jīng)過n次乘方后，所得的冪等于它的共軛復(fù)數(shù)，則n的值等于（） A、3B、12C、6k-1(kZ)D、6k+1(kZ) 窗體底端窗體頂端5z為復(fù)數(shù)，()|z-3|=()|z+3|()-1的圖形是（） A、直線B、半實軸長為1的雙曲線 C、焦點在x軸，

15、半實軸長為的雙曲線右支 D、不能確定 窗體底端答案與解析 答案：1、B 2、C 3、B 4、C 5、C解析：1z=(a+i)2=(a2-1)+2ai， argz=， ，a=-1，本題選B. 2求根a，b=（=1-4p0）|a-b|=|=3， 4p-1=9， p=，故本題應(yīng)選C. 3=cos3+isin3. ，33，3-2，故本題應(yīng)選B. 4由題意，得(cos+isin)n=cos+isin=cos-isin 由復(fù)數(shù)相等的定義 ，得 解得=2k-，(kZ)，n=6k-1.故本題應(yīng)選C. 5依題意，有 |z-3|=|z+3|-1， |z+3|-|z-3|=1.由雙曲線定義，此方程表示焦點(3，0)

16、，2a=1， a=的雙曲線右支，故本題應(yīng)選C. 復(fù)數(shù)三角形式的運算疑難問題解析 1復(fù)數(shù)的模與輻角： (1)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：z1z2=z1z2 (2)輻角的性質(zhì)：積的輻角等于各因數(shù)輻角的和 商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差 一個復(fù)數(shù)n次冪(nN)的輻角等于這個復(fù)數(shù)輻角的n倍 注意：(1)輻角與輻角主值的區(qū)別，特別是解題過程中的不同點如下面兩個問題： 若arg(2-i)=，arg(3-i)=，求+的值(+(3，4) 若arg(2-i)=，arg(3-i)=，求arg(2-i)(3-i)的值 (2)兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角主值不一定等于兩輻角主值的和，商的輻角主值不一定等于輻角主值的差. 2關(guān)

17、于數(shù)的開方 (1)復(fù)數(shù)的開方法則：r(cos+isin)的n次方根是 幾何意義：設(shè)對應(yīng)于復(fù)平面上的點，則有： 所以，復(fù)數(shù)z的n次方根，在復(fù)平面內(nèi)表示以原點為中心的正n邊形的n個頂點 (2)復(fù)數(shù)平方根的求法 求-3-4i的平方根 解法一利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式設(shè)-3-4i的平方根為x+yi(x，yR)，則有 (x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由復(fù)數(shù)相等條件，得 -3-4i的平方根是(1-2i) 法二利用復(fù)數(shù)的三角形式 3復(fù)數(shù)集中的方程 關(guān)于實系數(shù)的一元二次方程的解法：設(shè)ax2+bx+c=0(a0，a，b，cR，x1，x2為它的兩個根) (1)當(dāng)=b2-4ac0時，方程有

18、兩個實數(shù)根 當(dāng)=b2-4ac0時，方程有一對共軛虛根 (4)二次三項式的因式分解：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 關(guān)于復(fù)系數(shù)的一元二次方程的解法：設(shè)ax2+bx+c=0(a0，a、b、cC，且至少有一個虛數(shù)，x1x2為它的兩個根) (4)二次三項式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然適用 關(guān)于二項方程的解法 形如anxn+a0=0(a0，anC且an0)的方程叫做二項方程，任何一個二項方程都可以化成xn=b(bC)的形式，因此都可以通過復(fù)數(shù)開方來求根 可以充分利用復(fù)數(shù)z的整體性質(zhì)，復(fù)數(shù)z的三種表示方法及其轉(zhuǎn)換來解方程 已知方程x2-4x+p=0兩虛數(shù)根為、，

19、且|-|=2求實數(shù)p的值 解法1實系數(shù)一元二次方程虛根共軛設(shè)=a+bi， =a-bi，(a，bR)+=2a=4，a=2又|-|=2, |2bi|=2得b=1 即兩根為2+i，2-i由韋達定理得：p=(2+i)(2-i)=5 法2由韋達定理可得：+=4，=p 于是|-|2=|(-)2|=|(+)2-4|=|42-4p|=4，即|4-p|=1 又=42-4p0p4，p-4=1，得p=5 說明注意實系數(shù)一元二次方程有兩個實根與有兩個虛根的區(qū)別 一等式成立若有兩個虛根則上述等式不成立因為-2(-)2因此在解題時要重視復(fù)數(shù)與實數(shù)知識點之間的區(qū)別與聯(lián)系，要避免出現(xiàn)混淆與干擾 已知方程2x2+3ax+a2-

20、a=0有模為1的根，求實數(shù)a的值 分析已知方程有模為1的根，此根可能是實數(shù)，也可能是虛數(shù)，故求實數(shù)a要注意分域討論 解(1)若所給方程有實根則=(3a)2-42(a2-a)=a2+8a0，即a-8或a0 由條件得根必為1或-1， 將x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a無實數(shù)解 (2)若所給方程有虛根則=a2+80，即-8a0 即a2-a-2=0，a=-1或a=2(舍) 已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有實數(shù)根，求實數(shù)m 分析求實數(shù)m的范圍，若用判別式來判斷是錯誤的，因為此方程的系數(shù)是復(fù)數(shù) 利用求根公式或用韋達定理或選用復(fù)數(shù)相等，解方程組來求實數(shù)m均可以現(xiàn)僅介紹一種方法 解x，mR

21、，方程變形可得，(x2+x+3m)-(2x+1)i=0 復(fù)數(shù)例題講解與分析 例1已知x, y互為共軛復(fù)數(shù)，且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y. 思路1：確定一個復(fù)數(shù)即分別確定它的實部、虛部或模與一個輻角，設(shè)z=a+bi或三角形式，化虛為實。 解法1：設(shè)x=a+bi(a,bR), 則y=a-bi, 代入原等式得：(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i. 或或或， 或或或。 思路2：“x, y互為共軛”含義？x+yR, xyR,則(x+y)2-3xyi=4-6i . 解法2：x=，x+yR, xyR, 由兩復(fù)數(shù)相等可得： ， 由韋達定理可知：x,y同是方程：z2+2z+2=0或z2-

22、2z+2=0的兩根， 分別解兩個一元二次方程則得x,y（略）。 例2已知zC,|z|=1且z2-1,則復(fù)數(shù)（ ） A、必為純虛數(shù)B、是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)C、必為實數(shù)D、可能是實數(shù)也可能是虛數(shù) 思路分析：選擇題，從結(jié)論的一般性考慮，若z=1，顯然A、B選項不成立，分析C、D選項，顯然窮舉驗證不能得出一般結(jié)論只能推演 解：法1設(shè)z=a+bi, a,bR, a2+b2=1,a0. 則=R，故，應(yīng)選C。 法2設(shè)z=cos+isin (R,且k+)，則=R。 法3z=|z|2, 當(dāng)|z|=1時有z=1, =R. 法4當(dāng)|z|=1時有z=1， =R. 法5復(fù)數(shù)z為實數(shù)的充要條件是z=, 而()=, 又|

23、z|=1時，=， =， R。 評注：復(fù)習(xí)中，概念一定要結(jié)合意義落實到位，一方面深化理解（比如復(fù)數(shù)定義：“形如a+bi (a,bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)”深入理解就有凡是復(fù)數(shù)都能寫成這樣，求一個復(fù)數(shù)，使用一個復(fù)數(shù)都可通過這一形式將問題化虛為實；。）同時對一些概念的等價表達式要熟知。（比如：z=a+biR b=0(a,bR) z= z20；z=a+bi是純虛數(shù) a=0且b0 (a,bR) z+=0 (z0) z20；.)在面對具體問題時要有簡捷意識（比如該例方法1，有同學(xué)可能會在算到時不注意及時化簡分母又直接按兩復(fù)數(shù)相除的運算法則進行），多方理解挖掘題目立意。 例3求使關(guān)于x的方程x2+(m+2i)x+2+

24、mi=0至少有一個實根的實數(shù)m. 思路分析：根的判別式只適用實系數(shù)的一元二次方程，虛系數(shù)有實根用兩復(fù)數(shù)相等，化虛為實。 解：設(shè)x0為方程的一個實根，則有 x02+mx0+2+(2x0+m)i=0 ，解得：m=2。 例4設(shè) zC， arg(z+2)=, arg(z-2)=, 求z。 思路分析：常規(guī)思路，設(shè)z=a+bi, 由已知列關(guān)于a,b的方程求解；數(shù)形結(jié)合思想，由題設(shè)可知z+2對應(yīng)的點A在射線OA上，AOX=，z-2對應(yīng)的點B應(yīng)在射線OB上，BOX=，z對應(yīng)的點Z應(yīng)在AB中點上，|AB|=4，AB/Ox軸，AOB=，故而易得：z=-1+i. 解：（略） 例5設(shè)x,yR, z1=2-x+xi,

25、z2=y-1+(-y)i, 已知|z1|=|z2|，arg=, (1)求()100=? (2)設(shè)z=, 求集合A=x|x=z2k+z-2k, kZ中元素的個數(shù)。 思路分析：理解已知，|z1|=|z2|，arg=含義？=i, 即z1=z2i兩復(fù)數(shù)相等x, y. (1)解：|z1|=|z2|, |=1,又arg=, =|(cos+isin)=i, 即z1=z2i, 2-x+xi=y-1+(-y)ii即，解得 x=y=+, ()100=(+i)100=(-+i)50=-i. 簡評 10本題的解法體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和整體的思想方法，如果把兩個已知條件割裂開來去考慮，則需要解關(guān)于x, y的二元二次方程組，其

26、運算肯定很麻煩； 20在計算題中對1的立方根之一：w=-+i的特性要熟知即 w3=3=1, =w2,1+w+w2=0, 1+=0, 關(guān)于此點設(shè)計問題是命題經(jīng)常參考的著眼點。 (2) 思路分析：由(1)知 z=+i，z的特性：z3=-1=3, |z|=1, =； z=cos+isin, z2=w, ，z2k+z-2k 可怎么理解呢？ (z2)k+(z2)-k, z2k+2k, 解法1：令w=-+i，則z2k+z-2k=wk+w-k,w3=1,而kz, k= 當(dāng)k=3m時，z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,當(dāng)k=3m+1時，z2k+z-2k=w3mw+w-3mw-1=w+w-1=w+=-1, 當(dāng)k=3m+2時，z2k+z-2k=w3mw2+w-3mw-2=w2+w-2=w3w-1+w-3w=w-1+w=-1,綜上可知，集合A中有2個元素。 法2：|z|=1, =,z2k+z-