典型的應(yīng)用題

1、典型的應(yīng)用題,主講人：呂建國,常見應(yīng)用題的分類：,歸一問題 歸總問題 和差問題 和倍問題 差倍問題 平均數(shù)問題 植樹問題 盈虧問題,年齡問題 雞兔同籠 周期問題 還原問題 數(shù)字與數(shù)位 包含排除問題 牛吃草問題,歸一歸總問題,例1：分?jǐn)偮焚M(fèi)問題 甲、乙兩人乘一輛出租車從某地到游泳館去(無起步價),行駛到一半路程時,遇見一位同學(xué),3人合乘到游泳館,最后司機(jī)收費(fèi)13.5元。如果按照合理的方法分?jǐn)傑囐M(fèi),后上的同學(xué)應(yīng)付多少元?,解析：可以把路費(fèi)五等分，前一半路程甲乙付，后一半路程三人平分。那么后上的同學(xué)應(yīng)付費(fèi)為13.55=2.7元。,例2：拼錢買面包 甲、乙、丙三人在外出時買了8個面包，平均分給三個人吃

2、，甲沒有帶錢，乙付了5個面包的錢，丙付了3個面包的錢。后來，甲帶來了他應(yīng)付的四元八角錢，請問，應(yīng)還給乙、丙各多少錢？,解答過程如下： 8個面包的總錢：483=144（角） 一個面包的價錢：1448=18（角） 乙付了：185=90（角） 甲應(yīng)還乙：9048=42（角） 丙付了：183=54（角） 甲應(yīng)還乙：5448=6（角）,和差倍分問題,例3：和倍問題 弟弟有課外書20本，哥哥有課外書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥的2倍？ 例4：差倍問題 甲、乙兩人存款若干元,甲存款是乙存款的3倍,如果甲取出240元,乙取出40元,甲、乙存款數(shù)正好相等.問甲原有存款多少元,乙原有存款多少元？

3、,【解析】： 兄弟兩人的總數(shù)是不變的可看成是“3份量”如下圖所示； 【解答】：（1）兄弟倆共有課外書的數(shù)量是202545。（2）哥哥給弟弟若干本課外書后，兄弟倆共有的倍數(shù)是213。（3）哥哥剩下的課外書的本數(shù)是45315。（4）哥哥給弟弟課外書的本數(shù)是251510。答：哥哥給弟弟10本課外書。,【解析】：甲存款是乙的3倍,乙是1倍數(shù),甲、乙相差數(shù)(240-40)元,也是原來的相差數(shù),正好等于原有存款的(3-1)倍。圖示:【解答】：乙原存款數(shù):(240-40)(3-1)=100(元)； 甲原存款數(shù):1003=300(元),平均數(shù)問題,例5：平均分 某次考試，小英等7人的平均分是78分，其中最高得

4、分是97分，最低得分是64分，小英得了88分，余下的4個人中有3個人得了相同的分?jǐn)?shù).分?jǐn)?shù)各不相同的5個人的平均分是80分，其中還有一位同學(xué)與別人的得分都不同，他的得分是多少分？,【解答】：7個人的分?jǐn)?shù)總和是：787=546（分）.分?jǐn)?shù)各不相同的5個人平均分是80分，那么另2位分?jǐn)?shù)相同的同學(xué)每人得分是：（546-805）2=73（分）.這位與別人的得分都不相同的同學(xué)，他的得分是：546-97-64-88-733=78（分）.,植樹問題,例6：直線型植樹問題 學(xué)校召開運(yùn)動會前,在100米直跑道外側(cè)每隔10米插一面彩旗,在跑道的一端原有一面彩旗還需備多少面彩旗?,【解析】：此題是植樹問題中植樹線路不

5、封閉的一種,并要求植樹線路的一端要植樹.那么全長、棵數(shù)、間隔長三量之間的關(guān)系是: 棵數(shù)=全長間隔長； 全長=間隔長棵數(shù)； 間隔長=全長棵數(shù)只要知道其中兩個,就可以求出第三個量.100米是全長,10米是間隔長,求棵樹. 【解答】：列式是:10010=10(面),盈虧問題,例7：盈虧問題盈 劉阿姨給小朋友分蘋果，如果每人分3個蘋果，則多16個蘋果，如果每人分5個蘋果，則正好分完，那么劉阿姨買了多少個蘋果，分給幾個小朋友？,【點(diǎn)撥】：列出已知條件：每人3個 多16個（盈）每人5個 正好分完因?yàn)槿藬?shù)和蘋果總數(shù)不變，從兩次分配中我們可以知道，第二種分配方案比第一種分配方案多分16個，為什么會多分16個蘋

6、果呢？因?yàn)榈诙N分配方案每人分的比第一種每人分的多2個，多少人才能多16個呢？用162=8（人），可知有8個小朋友，那么蘋果數(shù)為83+16=40（個）或58=40（個）【解答】：（1）小朋友有多少人？16（5-3）=8（人）（2）蘋果有多少個？58=40（個）或38+16=40（個）,例8：盈虧問題（2）虧,學(xué)校買來一些故事書，每班發(fā)16本，正好分完，每班發(fā)18本，少40本，則買故事書多少本？分給幾個班？,【點(diǎn)撥】：列出已知條件：每班16本 正好分完每班18本 少40本（不足）因?yàn)闀緮?shù)和班數(shù)是不變的，從兩次分配方案中我們可以知道，第一種分配方案比第二種分配方案少40本，為什么會少40本呢？是

7、因?yàn)榈谝淮畏峙涿堪喾值谋鹊诙蚊堪喾值纳?本，多少班才能相差40本呢？用402=20（個），即共有20個班，共買多少本書呢？1620=320（本）或1820-40=320（本）【解答】：（1）共有多少個班？ 40（18-16）=20（個）（2）共有多少本書？2016=320（本）或2018-40=320（本）,年齡問題,例9：簡單的年齡問題 哥哥5年前的年齡等于7年后弟弟的年齡,哥哥4年后的年齡與弟弟3年前的年齡和是35歲,求兄弟二人今年的年齡?,【點(diǎn)撥】：根據(jù)題意看圖,我們可以知道35歲為粗線表示的部分.如果我們把弟弟7年后的年齡作為1倍量,那么哥哥5年前的年齡也是1倍量.只要我們找到這兩倍

8、量所對應(yīng)的數(shù)量,就可以先求出1倍量,使問題得解.【解答】：35+3+7-5-4=36(歲)362=18(歲)18-7=11(歲)14+5=23(歲),雞兔同籠,例10：簡單的雞兔同籠問題 一個農(nóng)夫有若干只雞和兔，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少?,【解析】：雞兔同籠問題適用的基本方法是假設(shè)法。假設(shè)這籠里全是雞，那么雞腳的總數(shù)應(yīng)為：502=100(只)，與實(shí)際相比較，腳減少的數(shù)為140100=40(只)。腳減少的原因是每把一只兔當(dāng)作一只雞時，要少42=2(只)腳。所以實(shí)際的兔數(shù)是40(42)=20(只)，若先假設(shè)的全是雞，則先求出的是兔數(shù)。【解答】：設(shè)全是雞，那么相應(yīng)的雞腳數(shù)：50

9、2=100(只) 與實(shí)際相比，腳減少的數(shù)：140100=40(只)兔腳與雞腳的差：42=2(只)實(shí)際兔數(shù)為：402=20(只)那么實(shí)際的雞數(shù)：5020=30(只),例11：復(fù)雜的雞兔同籠問題,蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現(xiàn)在這三種小蟲共21只，有140條腿和24對翅膀，求每種小蟲各幾只？,【解析】：此題中出現(xiàn)了3種昆蟲，不僅有腿的比較，而且又出現(xiàn)了翅膀，顯然比前幾道題復(fù)雜了。解此題的關(guān)鍵就是將3種昆蟲轉(zhuǎn)化為2種昆蟲，這樣解起來就比較容易了。 突破口在于：蟬和蜻蜓都有6條腿。 【解答】：因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿，所以從腿的數(shù)目考慮，可以把昆蟲分成8條腿和6條腿兩種，

10、利用基本關(guān)系式算出8條腿的蜘蛛數(shù)=(140621)(86)=(140126)2 =142 =7(只)。 因此，知道了6條腿的昆蟲共有 217=14(只)，也就是蜻蜓和蟬共有14只。因?yàn)轵唑押拖s共有24對翅膀，現(xiàn)在再用一次基本關(guān)系式，得蟬數(shù)=(14224)(21)=(2824)1=4(只)。因此，蜻蜓數(shù)是144=10(只)。,周期問題,例12：周期問題（1） 在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅點(diǎn)，同時自右至左每隔5厘米也染一個紅點(diǎn)，然后沿紅點(diǎn)處將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？,【解析】：因?yàn)?00能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我們可以看

11、作是從同一端點(diǎn)染色.6與5的最小公倍數(shù)是30,即在30厘米的地方,同時染上紅色,這樣染色就會出現(xiàn)循環(huán),每一周的長度是30厘米,如下圖所示.由圖示可知長1厘米的短木棍,每一周期中有兩段,如第1周期中,6-5=1,55-64=1.剩余10厘米中有一段.所以鋸開后長1厘米的短木棍共有7段.【解答】：2(100-10) 30+1=23+1=7(段),還原問題,例13：還原問題（1） 小明的爺爺今年年齡減去7后，除以9，再加上2，最后乘10，恰好是100歲，小明爺爺今年多少歲？,解析從最后一個條件恰好是100歲，向前推算，乘10后是100歲，那沒有乘10前應(yīng)是10010=10（歲）；加上2之后是10歲，

12、那沒加2之前應(yīng)是10-2=8（歲）；除以9后是8歲，那沒除以9之前應(yīng)是89=72（歲）；減去7后是72歲，那沒減7之前是72+7=79（歲）。所以，小明爺爺今年是79歲。 列式為：（10010-2）9+7=79（歲）。,數(shù)字與數(shù)位問題,例14：數(shù)字交換問題 一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和是9，將這個兩位數(shù)的十位上與個位上的數(shù)字交換，得到一個新的兩位數(shù)（稱為原數(shù)的倒轉(zhuǎn)數(shù)）。如果原來的兩位數(shù)比新的兩位數(shù)多45，原來的兩位數(shù)是多少？,【解析】：倒轉(zhuǎn)后數(shù)字對應(yīng)數(shù)位相應(yīng)的倍率；【解答】：設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為，依據(jù)題意可得；,包含排除問題,例15：容斥問題 求從1到2010中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然數(shù)的個數(shù).,牛吃草問題,例16：簡單的牛吃草問題 牧場上的青草每周都在長，假設(shè)每周長的一樣多，如果這片牧場可供24頭牛吃6周，20頭牛吃10周，那么這片牧場可供18頭牛吃多少周？,【解析】因?yàn)槟敛菔窃陂L的，所以我們先計(jì)算出牧草每周長多少。把1頭1天吃的草當(dāng)成1份：24頭牛6周吃了：1246=144（份）20頭牛10周吃了：12010=200（份）同一片牧場上原有草量是一樣的，這中間相差的就是4周長出來的草量，因此草每周長：（