變分問題學(xué)時

1、變分問題,Outline,3.1,泛函概念,3.2,變分及變分方程,3.3,變分問題及,Euler,邊值問題,3.4,約束條件下的變分問題,3.5,線性算子方程化為變分方程,3.6,波動方程標(biāo)準(zhǔn)變分原理,3.7,波動方程修正變分原理,3.8,波動方程廣義變分原理,泛函，簡單地說，就是以整個函數(shù)為自變量,的函數(shù)這個概念，可以看成是函數(shù)概念的,推廣,設(shè)對于,某一函數(shù)集合內(nèi)的,任意一個函數(shù),y(x,有另一個數(shù),Jy,與之對應(yīng)，則稱,Jy,為,y(x,的,泛函,3.1,泛函概念,泛函不同于復(fù)合函數(shù),例如,g,g,f,x,對于,后者，給定一個,x,值，仍然是有一個,g,值與之,對應(yīng)；對于前者，則必須給出

2、某一區(qū)間上的,函數(shù),y,x,才能得到一個泛函值,J,y,定義在,同一區(qū)間上的,函數(shù)不同，泛函值當(dāng)然不,同為了強(qiáng)調(diào)泛函值,J,y,與函數(shù),y,x,之間的依,賴關(guān)系，常常又把函數(shù),y,x,稱為變量函數(shù),泛函是函數(shù)空間到數(shù)值空間的映射，取不同的函數(shù),形式，得到不同的泛函值。泛函一般都是取包含該,函數(shù)的定積分形式,2,1,x,x,J,U,x,F,x,U,x,dx,U(x,是定義在,x1,x2,上的可取函數(shù)的集合。上式從,積分的角度講,J,是,x,的積分函數(shù)，但從泛函的角度,講,J,是變量,x,和,U,x,可取形式的雙變量函數(shù),如果變量函數(shù)是二元函數(shù),u(x; y,則泛函為,3.2,變分原理或泛函極值問

3、題,先回憶一下有關(guān)函數(shù)極值的概念,可以用同樣的方法定義泛函的極值,簡單函數(shù),U(x,簡單泛函,2,1,x,x,J,U,x,F,x,U,x,dx,自變量的微分,表示自變量的微小變化,dx,函數(shù)的變分,U,x,表示函數(shù)形式的微小變化,dx,的變化引起的函數(shù)值的變化,可以利用級數(shù),展開,2,2,1,2,1,2,U,x,dx,U,x,U,x,dx,U,x,dx,dU,x,d,U,x,函數(shù)的線性主部,dU(x)=U,x)dx,二階微分,2,2,d,U,x,U,x,dx,n,階微分,n,n,n,d,U,x,U,x,dx,dx,的變化引起的函數(shù)值的變化，可以利用級數(shù)展開,2,2,1,1,2,2,1,1,2,

4、2,2,1,2,x,x,x,x,x,x,x,x,J,U,U,J,U,F,x,U,U,dx,F,x,U,dx,F,F,Udx,U,dx,U,U,泛函的線性主部,2,1,x,x,F,J,U,x,Udx,U,二階變分,2,1,2,2,2,2,x,x,F,J,U,x,U,dx,U,n,階變分,2,1,n,x,n,n,n,x,F,J,U,x,Udx,U,泛函取極值等價于一階變分等于零,與,Euler,微分方程等價,0,F,U,3.3,變分問題及,Euler,邊值問題,泛函取極值又稱為泛函駐定，由于變分方程,與,Euler,方程等價，所以,可以通過求解變分方,程獲得,Euler,方程的解,所以可以通過求解

5、,Euler,方程獲得變分方程的解，為電磁場問題,求解增添了新的方法,1,首先，由于變分是對函數(shù),y,進(jìn)行的，獨立于自,變量,x,所以，變分運(yùn)算和微分或微商運(yùn)算可交,換次序,2,變分運(yùn)算也是一個線性運(yùn)算,3,直接計算，就可以得到函數(shù)乘積的變分法則,4,變分運(yùn)算和積分,微分的逆運(yùn)算,也可以交換次序,5,復(fù)合函數(shù)的變分運(yùn)算，其法則和微分運(yùn)算完全相同,只要簡單地將微分法則中的,d,換掉即可,這里注意，引起,F,變化的原因，是函數(shù),y,的變化，而自變量,x,是不變化的所以，絕對不會出現(xiàn),項,一、簡單泛函,2,1,x,x,J,U,x,F,x,U,x,dx,0,J,U,x,邊界條件,1,2,U,x,a,U

6、,x,b,二、含一階導(dǎo)數(shù)的泛函,2,1,x,x,J,U,x,F,x,U,x,U,x,dx,2,1,2,2,1,1,0,x,x,x,x,x,x,x,x,if,U,x,U,x,F,F,J,U,x,dx,U,U,F,d,F,F,dx,U,dx,U,U,積分變換,F,d,F,U,dx,U,1,2,0,0,x,x,x,x,F,U,F,U,等價,Euler,方程,附加邊界條件,變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，自然滿足條件,三、含一階偏導(dǎo)數(shù)的泛函,2,1,x,x,y,z,x,J,U,x,F,r,U,U,U,U,dv,x,y,z,x,y,z,v,x,y,z,v,if,U,r,F,F,F,F,J,U,x,dv,U

7、,U,U,U,F,F,F,F,x,y,z,dv,U,U,U,U,v,S,v,A,A,A,Bdv,B,dS,cos,cos,cos,x,y,z,v,x,y,z,S,v,F,F,F,F,J,U,x,dv,U,x,U,y,U,z,U,F,F,F,n,x,n,y,n,z,dS,U,U,U,x,y,z,F,d,F,d,F,d,F,U,dx,U,dy,U,dz,U,等價,Euler,方程,附加邊界條件,變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，自然滿足條件,cos,cos,cos,0,x,y,z,r,S,F,F,F,n,x,n,y,n,z,U,U,U,四、含二階偏導(dǎo)數(shù)的泛函,2,1,x,x,y,z,x,J,U,x,F

8、,r,U,U,U,U,dv,2,2,2,2,2,2,2,2,2,xx,yy,zz,v,x,y,z,xx,xx,yy,yy,if,U,r,F,F,F,F,J,U,x,dv,U,x,U,y,U,z,U,F,F,F,F,F,n,x,y,z,U,x,U,U,y,U,zz,zz,S,v,F,dS,U,z,U,2,2,2,2,2,2,0,xx,yy,zz,F,F,F,F,U,x,U,y,U,z,U,等價,Euler,方程,附加邊界條件,變分中，二階邊,界條件無需強(qiáng)加,自然滿足條件,0,x,xx,xx,y,yy,yy,z,zz,zz,r,S,v,F,F,n,x,U,x,U,F,F,y,U,y,U,F,F,z

9、,U,z,U,例題,2,2,J,U,r,U,U,U,f,2,2,J,U,r,U,U,f,dv,2,xx,yy,zz,F,U,U,U,U,f,2,xx,yy,zz,F,U,U,U,f,U,xx,yy,zz,F,F,F,U,U,U,U,2,0,r,S,v,U,f,U,U,n,n,作為完整的泛函極值問題，在列出泛函取極值的必要條件、即,Euler,Lagrange,方程后，還需要在給定的定解條件下求解微分方,程，才有可能求得極值函數(shù),需要注意,Euler,Lagrange,方程只是泛函取極值的必要條件,并不是充分必要條件在給定的定解條件下,Euler,Lagrange,方,程的解可能不止一個，它們只

10、是極值函數(shù)的候選者到底哪一,幾,個解是要求的極值函數(shù)，還需要進(jìn)一步加以甄別,和求函數(shù)極值的情形一樣，甄別的方法有兩種,一種是直接比較所求得的解及其“附近”的函數(shù)的泛函值,根據(jù)泛函極值的定義加以判斷這種方法不太實用，至少會涉,及較多的計算,另一種方法是計算泛函的二級變分,2J,如果對于所求得的,解，泛函的二級變分取正,負(fù),值，則該解即為極值函數(shù)，泛函,取極小,大,這種方法當(dāng)然比較簡便，但如果二級變分為,0,則,需要繼續(xù)討論高級變分,實際問題往往又特別簡單：這就是在給定的邊界條件下,Euler,Lagrange,方程只有一個解，同時，從物理或數(shù)學(xué)內(nèi)容上,又能判斷，該泛函的極值一定存在，那么，這時求

11、得的,唯一解一定就是所要求的極值函數(shù),3.4,約束條件下的變分問題,如果實際應(yīng)用場合，只允許泛函的可取函數(shù)值,能從符合一定條件的子集中選取，并尋找泛,函駐定的極值，問題就成為約束條件下的變,分問題。類似于約束條件下的函數(shù)極值方法,求解，通過,Lagrange,乘法求解,設(shè)有二元函數(shù),f(x; y,它取極值的必要條件是,先回憶一下多元函數(shù)的極值問題,還有二元函數(shù)的條件極值問題，即在約束條件,常用,Lagrange,乘子法來處理多元函數(shù)的條件極值問題,下求函數(shù),f(x; y,的極值問題，就可以引進(jìn),Lagrange,乘子,而定義一個新的二元函數(shù),在約束條件,由此可以求出,代回到約束條件中，定出,L

12、agrange,乘子,的數(shù)值,就可以求出可能的極值點,x; y,仍將,x,和,y,看成是兩個獨立變量，這樣，這個二元函數(shù)取極,值的必要條件就是,容易看出，消去，這就能化為上面給,出的必要條件,一、微分方程形式的約束條件,2,1,0,x,x,J,U,x,F,x,U,x,U,x,dx,0,1,2,i,x,U,U,i,m,附帶約束條件,1,2,i,i,m,設(shè)待求,Lagrange,乘子,2,1,1,m,x,i,i,x,i,J,U,x,J,U,x,x,x,U,U,dx,1,m,i,i,i,F,x,U,U,F,x,U,U,x,x,U,U,2,1,0,x,x,J,U,x,F,x,U,x,U,x,dx,新的

13、泛函,新的被積函數(shù),新的變分,新的變分對應(yīng),Euler,方程,0,F,d,F,U,dx,U,例,求泛函,在邊界條件,和約束條件,下的極值曲線,采用上面描述的,Lagrange,乘子法，可以得到必要條件,一、泛函方程形式的約束條件,2,1,1,2,x,i,i,x,x,U,U,dx,C,i,m,附帶約束條件,2,1,0,x,x,J,U,x,F,x,U,x,U,x,dx,1,2,i,i,m,設(shè)待求,Lagrange,乘子,2,1,1,1,m,m,x,i,i,i,x,i,i,J,U,x,J,U,x,x,x,U,U,dx,C,新的泛函,2,1,1,1,2,m,i,i,i,i,x,i,i,x,F,d,F,

14、d,U,dx,U,U,dx,U,x,U,U,dx,C,i,m,新的變分對應(yīng),Euler,方程,3.5,線性算子方程化為變分方程,泛,函,等價,Euler,方程,微,分,算,子,積,分,算,子,矩,陣,算,子,一、正算子的確定性問題,U,f,A,min,J,U,U,U,U,f,f,U,A,等價,證明,J,V,U,U,U,f,f,U,U,U,U,f,f,U,U,U,f,f,A,A,A,A,A,0,U,U,A,A,A,算子正性和對成性得,0,I,J,V,J,U,U,f,U,f,A,A,A,所以,當(dāng),U,滿足算子方程時,JU=min,第一步,if,V,U,第二步,if,V,U,是復(fù)常數(shù),U,f,A,可

15、以得到,且算子必須是正算子,二、下有界算子的本征值方程,U,U,A,定理一,下有界算子特征值方程的所有特征值都是實數(shù),且任何兩個本征值對對應(yīng)的本征函數(shù)正交,min,min,U,U,J,U,U,U,A,定理二,本征值的最小值定理，本征值的最小值滿足,設(shè)本征值序列,若已知方程的前,n,個特征值及其,特征向量，則后續(xù)特征值是泛函,在約束條件,下的極小值，滿足泛函,1,2,3,n,min,min,U,U,J,U,U,U,A,0,1,2,k,U,U,k,n,A,1,1,1,1,1,1,1,0,1,2,n,n,n,n,n,n,n,k,U,U,J,U,U,U,U,U,k,n,A,定理三,后序本征值定理,目前

16、求解特征問題可以選擇方法,U,U,A,J,U,U,U,U,U,A,同確定性問題,通過求解特征值方程，可以求得與算子的維數(shù)相,同個數(shù)的特征值以及特征向量，但是特征值越大,計算精度越差（正交性難以有效保證,三、正定算子的廣義本征值方程,U,U,A,B,定理一,正定算子廣義特征值方程的所有廣義特征值都,是實數(shù)，且任何兩個本征值對對應(yīng)的本征函數(shù)廣義正交,min,min,U,U,J,U,U,U,A,B,定理二,廣義本征值的最小值定理，本征值的最小值滿足,1,2,3,n,min,min,U,U,J,U,U,U,A,B,0,1,2,k,U,U,k,n,B,1,1,1,1,1,1,1,0,1,2,n,n,n,

17、n,n,n,n,k,U,U,J,U,U,U,U,U,k,n,A,B,B,設(shè)本征值序列,若已知方程的前,n,個特征值及其,特征向量，則后續(xù)特征值是泛函,在約束條件,下的極小值，滿足泛函,定理三,后序廣義本征值定理,四,S,L,方程的泛函,3.6,波動方程標(biāo)準(zhǔn)變分原理,內(nèi)積定義,如前面的講述，在如上內(nèi)積定義下，要求算子方程必須自,伴、正定,但是由于我們只關(guān)心原來的算子方程的解,至于在此點泛函到底是取極大點、極小點還是拐點，我們,并不一定在意,泊松方程,算子,3.7,波動方程修正變分原理,標(biāo)準(zhǔn)變分原理只能處理齊次邊界條件，當(dāng)邊界條件,成為非齊次時，算子就不滿足自伴條件,u,構(gòu)造新的函數(shù),其中,u,是滿足非齊次,邊界條件的任意函數(shù),3.8,波動方程廣義變分原理,0,2,0,0,0,2,1,r,t,t,H,t,t,t,t,t,t,B,E,D,H,J,B,E,D,J,E,J,2,0,0,2,1,r,t,t,E,J,E,2,0,0,2,2,0,0,2,1,1,2,1,1,2,r,v,v,r,J,E,t,t,dV