拋物線及其標準方程教案三第二課時

1、2.3.1拋物線及其標準方程學案(課時2)教學目標（一）教學知識點1.利用拋物線的標準方程和定義來解決問題.2.拋物線焦點弦的性質(zhì)及焦點弦長的求法.（二）能力訓練要求1.熟練掌握利用拋物線的標準方程和定義來解決問題.2.掌握拋物線焦點弦的性質(zhì)及焦點弦長的求法.（三）德育滲透目標1.訓練學生分析問題與解決問題的能力，訓練學生方程同解變形、解方程和方程組的運算能力.2.培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法，培養(yǎng)學生利用圓錐曲線定義的解題思想及方法.教學重點1.拋物線定義的應用.2.拋物線的焦點弦長求法.3.拋物線綜合知識的應用.教學難點拋物線各個知識點的綜合應用.教學方法講練結(jié)合法.教具準備投影片

2、三張第一張：例1與例2（記作8.5.2 A）第二張：例3與例4（記作8.5.2 B）第三張：練習題（記作8.5.2 C）教學過程.課題導入師通過上一節(jié)課的學習，現(xiàn)在請大家回答下面兩個問題：1.拋物線的定義是什么？2.拋物線的標準方程有幾種形式？分別是什么，并說出對應的焦點坐標和準線方程？生1.平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.2.拋物線的標準方程共四種形式：開口向右，y2=2px(p0),F(,0),l:x=-開口向左，y2=-2px(p1),F(-,0),l:x=開口向上，x2=2py(p0),F(0, ),l:x=-開口向下，x2=-2py(p0),F(0,-

3、 ),l：y=師回答得很好，下面我們看幾個例題.（打出投影片8.5.2 A).講授新課例1點M與點F（4，0）的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程.師想想怎樣求點M的軌跡方程？生先設M的坐標為（x,y)，接著用兩點間距離公式及點到直線距離公式表示出上面的關系及條件，則得到有關x與y的一個關系，再化簡即得出結(jié)論.師此同學按的是求軌跡方程的一般做法，這種方法在化簡時過程比較繁瑣，大家應結(jié)合我們今天學的“拋物線及其方程”，看能否用一種比較簡便的方法做出來.生由題可知，點M應在直線l的右邊，否則點M到F的距離大于它到l的距離；其次，“點M與點F的距離為它到直線x+4=0的距離”，

4、由此可知點M的軌跡是以F為焦點，直線x+4=0為準線的拋物線.解：如右圖所示，設點M的坐標為（x,y)由已知條件可知，點M與點F的距離等于它到直線x+4=0的距離.根據(jù)拋物線的定義，點M的軌跡是以F（4，0）為焦點的拋物線.=4p=8因為焦點在x軸的正半軸上，所以點M的軌跡方程為y2=16x.例2斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線交于兩點A、B，求線段AB的長.先請兩名學生在黑板上做，最后老師與全體同學一起訂正并歸納，可得以下三種解法.如圖所示，由拋物線的標準方程可知，焦點F（1，0），準線方程x=-1. 由題可知，直線AB的方程為y=x-1代入拋物線方程y2=4x，整理得x2

5、-6x+1=0解法一：解上述方程得x1=3+2,x2=3-2分別代入直線方程得y1=2+2,y2=2-2即A、B的坐標分別為（3+2，2+2），（3-2，2-2）|AB|=解法二：設A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=6,x1x2=1|AB|=|x1-x2|解法三：設A（x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義可知，|AF|等于點A到準線x=-1的距離|AA|即|AF|=|AA|=x1+1同理|BF|=|BB|=x2+1|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8(打出投影片8.5.2 B)例3已知拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M（-3，m)到焦點的距離等于5，求拋物

6、線的標準方程和m的值.分析：焦點在x軸上的拋物線有兩種形式，一種開口向右，另一種開口向左，因為M的橫坐標是-3，所以開口向左.先設出拋物線標準方程，根據(jù)M在拋物線上與M到焦點的距離等于5可得出兩個方程.從而得出方程組，解方程組即可.另外也可根據(jù)拋物線定義，M到焦點的距離等于M到準線的距離.因準線方程為x=，則有+3=5，即可求得p，從而得出拋物線方程.解法一：設拋物線方程y2=-2px(p0)，則焦點F（-,0)，由題設可得：解得故拋物線的方程為y2=-8x,m的值為.解法二：設拋物線方程為y2=-2px(p0)，則焦點F（-,0），準線方程為x=.根據(jù)拋物線的定義，M到焦點的距離等于5，也就

7、是M到準線的距離等于5，則+3=5p=4因此拋物線方程為y2=-8x又點M（-3，m)在拋物線上，于是m2=24m=評述：比較兩種解法，可看出運用定義的方法簡捷.例4在拋物線y2=2x上求一點P，使P到焦點F與到點A（3，2）的距離之和最小.分析：P是拋物線上任一點，如按一般思路設出坐標，再用兩點間距離表示出P到焦點F的距離及P到點A的距離，接著得出一關系，從而求最值的話，計算上太繁；此題可用拋物線的定義，用P到焦點F的距離等于P到準線l的距離即可作出.解：如下圖所示，設拋物線的點P到準線的距離為|PQ|由拋物線定義可知：|PF|=|PQ|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|顯然當P、Q、A三

8、點共線時，|PQ|+|PA|最小.A(3,2)，可設P（x0,2)代入y2=2x得x0=2故點P的坐標為（2，2）.課堂練習（打出投影片8.5.2 C)1.焦點在y軸上的拋物線被直線x-2y-1=0截得的弦長為，求這拋物線的標準方程.分析：焦點是在y軸正半軸上還是在y軸負半軸上？本題沒有指明，應當有兩種情況，可以分兩種情況來解，但我們可以統(tǒng)一地設拋物線方程x2=ay(a0).解：設拋物線方程為:x2=ay(a0)由方程組消去y得：2x2-ax+a=0直線與拋物線有兩個交點.=(-a)2-42a0即a0或a8設兩交點坐標為A（x1,y1）、B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=|AB|=|

9、AB|=即a2-8a-48=0解得a=-4或a=12所求拋物線標準方程為x2=-4y或x2=12y2.已知拋物線y=x2，動弦AB的長為2，求AB中點縱坐標的最小值.分析一：要求AB中點縱坐標最小值，可求出y1+y2最小值.從形式上看變量較多，結(jié)合圖形可以觀察到y(tǒng)1、y2是梯形ABCD的兩底，這樣就使中點縱坐標y成為梯形的中位線，可以利用幾何圖形的性質(zhì)和拋物線定義求解.解法一：設拋物線y=x2的弦AB的端點A（x1,y1）、B(x2,y2)，中點M（x,y），拋物線y=x2的焦點F（0，），準線y=-.設A、B、M到準線距離分別為AD、BC、MN.2|MN|=|AD|+|BC|,且|MN|=y

10、+根據(jù)拋物線定義，有|AD|=|AF|,|BC|=|BF|2（y+)=|AF|+|BF|在ABF中，|AF|+|BF|AB|=22(y+)2y即M點縱坐標的最小值為.分析二：要求AB中點縱坐標的最小值，可列出縱坐標y關于某一變量的函數(shù)，然后求此函數(shù)的最小值.解法二：設拋物線y=x2上點A（a,a2)、B(b,b2),AB中點M（x,y).x=|AB|=2(a-b)2+(a2-b2)2=4則(a+b)2-4ab+(a2+b2)2-4a2b2=4由2x=a+b,2y =a2+b2,得ab=2x2-y4x2-4(2x2-y)+4y2-4(2x2-y)2=4整理得y=x2+y=(4x2+1)+ - 2-