經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)《線性代數(shù)》第三章線性方程組

1、經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù),第三章 線性方程組,線性方程組的解的判定和求法,本章難點： 解的判定定理,本章重點,一、線性方程組的有關(guān)概念,1、n元線性方程組為,4元線性方程組,2、方程組的系數(shù)矩陣A為,增廣矩陣,對 做初等 行變換，同 時也是對A 做變換,3、方程組的矩陣形式,系數(shù)矩陣A,未知量矩陣X,常數(shù)矩陣B,例1】寫出下列線性方程組的系數(shù)矩陣、增廣矩陣和矩陣形式,解,系數(shù)矩陣是,增廣矩陣,方程組的矩陣形式是AXB，即,由線性方程組可惟一確定增廣矩陣；反之 由增廣矩陣，也可以惟一確定線性方程組,例2】已知方程組的增廣矩陣如下，試寫出 它的線性方程組,解,常數(shù)項,一一對應(yīng),增廣矩陣,線性方程組,例

2、3】已知方程組的增廣矩陣如下，試寫出 它的線性方程組,解,常數(shù)項,4、齊次線性方程組：AX=0,如果常數(shù)項,不全為0，則,稱為：非齊次線性方程組,5、方程組的解,方程組的解是滿足方程組的未知量的 一組取值,例如,顯然,就是它的一 組解,顯然： 是齊次線性方程組,注意：方程組的解可能有惟一解，也可能 有無窮多組，也可能是無解,的一組解。稱為0解，或平凡解。否則稱為非零解,定理3.1,3.2實際上告訴我們要通過 求“增廣矩陣”的秩來判斷解的情況。總結(jié),1）若 則方程組無解,2.1）若r = n 就有唯一解,2.2）若r n 就有無窮多解,2）若 則方程組有解,設(shè)r=秩(A)，n為未知量的個數(shù),二、

3、線性方程組解的判定定理,例3】當(dāng)a,b為何值時,下列方程組有惟一解 、無窮多解或無解,解,只需要對增廣矩陣進行初等行變換, 將其化為階梯形矩陣,(-1,(-1,(-2,根據(jù)方程組解的判定定理可知,1）當(dāng)a=3,且b3時,所以方程組無解,2）當(dāng)a=-3,且b=3時,所以方程組有無窮多解,3）當(dāng)a-3時,所以方程組有惟一解,注意3個量,1、線性方程組AX = b的解的情況歸納如下,1.1)AX = b有唯一解,1.2)AX = b有無窮多解,1.3)AX = b無解,2、齊次線性方程組AX = 0的解的情況為,2.1)AX = 0只有零解(唯一解,2.1)AX = 0有非零解(無窮多解,注：對于齊

4、次線性方程組沒有“無解”的情況,例】 線性方程組AX = B有唯一解，那么AX = 0 ( ),A可能有解 B有無窮多解 C無解 D有唯一解,解,線性方程組AX = B有唯一解，說明,故AX = 0只有唯一解（零解,三、線性方程組的求解,定義：“行簡化階梯形矩陣,若階梯形矩陣還滿足下兩個條件,1)各個非0行的第一個不為0的元素(首非0元) 都是1,2)所有首非0元所在列的其余元素都是0,如,求解的方法：用初等行變換,第一步，寫出增廣矩陣 ，并用初等 行變換變?yōu)殡A梯矩陣,第二步，再用初等行變換將所得矩陣變?yōu)?行簡化階梯形矩陣,第三步，寫出所得矩陣對應(yīng)的方程組，再 整理出方程組的一般解,實際上，第

5、二步和求逆矩陣的第三步類似,例4】解線性方程組,解,對增廣矩陣進行初等行變換，將其化 成行簡化階梯形矩陣，即,(-2,(-4,(-2,(-1,3,1,所以方程組化簡為,即方程組 的解為,例5】解線性方程組,解,對增廣矩陣進行初等行變換，將其化 成行簡化階梯形矩陣，即,(-2,(-4,(-1,(-1,(-3,所以方程組化簡為,含有自由未知量的解稱為方程組的一般解,P132,例6】設(shè)線性方程組AX=b的增廣矩陣通過 初等行變換化為,分析,先確定基本未知量為,則此線性方程組的一般解中自由未知量的 個數(shù)為_,則其余的為自由未知量,練習(xí),求方程組的解,已知線性方程組AX=B的增廣矩陣經(jīng)初等 行變換化為階梯形矩陣,解,對系數(shù)矩陣進行初等行變換，將其進 一步化成行簡化階梯形矩陣，即,(-1,(-1,其中,是自由未知量,寫成方程組的形式為,所以，方程組的解為,其中,是自由未知量,解齊次線性方程組,一般方法是： (1) 寫出齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A； (2) 對A施行初等行變換，使A化為行簡化階梯形矩陣； (3) 根據(jù)行簡化階梯形矩陣寫出方程組的解,例7】求線性方程組,解,的一般解,對系數(shù)矩陣進行初等行變換，將其化 成行簡化階梯形矩陣，即,(-2,(-2,(-1,(-1,(-1,2,(-1,所以方程組化簡為,例8】設(shè)齊次線性方程組為,解,對系數(shù)矩陣進行初等行變換，即,(