山西省大同市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)2月模擬試題三理

1、山西省大同市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)2月模擬試題（三）理一、選擇題（每小題 5 分，共 12 小題）1若集合 A = -1, 0, 1 ,1, 2，集合 B = y | y = 2x , x A ，則集合 A I B = （）2A- 111-1, 0,11,1, 22B0, 2 ,1C2 ,1, 2D2已知復(fù)數(shù) z =2i (1- i)3，則 z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限為（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3已知向量a = ( 3, 3) 在向量b = (m,1) 方向上的投影為 3，則a 與b 的夾角為()A 30oB 60oC 30o 或150oD 60o 或120o4設(shè)a-

2、l - b是直二面角，直線a 在平面a內(nèi)，直線b 在平面b內(nèi)，且a 、b 與l 均不垂直，則（）A a 與b 可能垂直，但不可能平行B a 與b 可能垂直，也可能平行C a 與b 不可能垂直，但可能平行D a 與b 不可能垂直，也不可能平行1- x2-15求1 (+ x cos x)dx 的值為（）A pB p+1CpDp+1226已知： p : - 1 a 1， q : x -1,1， x2 - ax - 2 0) 在區(qū)間-p p 上恰有一個(gè)最大值點(diǎn),和一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)w的取值范圍是（）4 3 A 8 , 7 B 8 , 4 C 4, 20 D 20 , 7 3 33 310拋物 的準(zhǔn)線

3、與 軸交于點(diǎn) ，焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 是拋物線 上的任意一點(diǎn)，當(dāng) 取得最大值時(shí)，直線的斜率是 （ ）ABCD11已知在 R 上的函數(shù) f (x )滿足如下條件：函數(shù) f (x )的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；對(duì)于任意 x R ， f (2 + x)- f (2 - x) = 0 ；當(dāng) x 0, 2時(shí)， f (x) = x ；函數(shù)f(n) (x) =f (2n-1 x)， n N * ，若過點(diǎn)(-1, 0)的直線l 與函數(shù) f(4) (x)的圖象在x 0, 2上恰有 8 個(gè)交點(diǎn)，則直線l 斜率k 的取值范圍是()A 0, 8 B 0, 11 C 0, 8 D 0, 19 11 8 19 8 12已知 A(x1

4、, y1 )、B (x2 , y2)是函數(shù) f (x) = ln x 與 g (x) =xk 圖象的兩個(gè)不同的交x2點(diǎn)，則 f (x1 + x2 )的取值范圍是() e2 e2 1 1 e22eAln, + B ln, C 0， D ln, 0 2e e e 2e二、填空題（每小題 5 分，共 4 小題）13已知函數(shù) f (x) = lg (mx2 - mx - m + 3)的定義域?yàn)?R ，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍為14計(jì)算： 2 sin 50 - 3 sin 20 =cos 2015若DABC 的三邊長a ，b ， c 滿足b + 2c 3a， c + 2a 3b，則 ba .的取值范圍為 f

5、 (4e - x), 2e x 4e16已知 f (x) = ln x, 0 0 ，若p 是q 充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。（12 分）4 3318如圖，在多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 是邊長為的菱形，BCD = 60 ， AC 與 BD 交于點(diǎn)O ，平面 FBC 平面 ABCD ， EF / / AB ，2 33FB = FC ， EF =.（1）求證：OE 平面 ABCD ；（2）若DFBC 為等邊三角形，點(diǎn)Q為 AE 的中點(diǎn)，求二面角Q - BC - A 的余弦值.（12 分）19某游戲棋盤上標(biāo)有第0 、1、2 、L 、100站，棋子開始位于第0 站，選手拋擲均勻

6、硬幣進(jìn)行游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)游戲過程中棋子出現(xiàn)在第n 站的概率為 Pn .（12 分）（1）當(dāng)游戲開始時(shí)，若拋擲均勻硬幣3 次后，求棋子所走站數(shù)之和 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）證明： P- P = - 1 (P - P)(1 n 98)；n+1n2nn-1（3）若最終棋子落在第99站，則記選手落敗，若最終棋子落在第100站，則記選手獲勝.請(qǐng)分析這個(gè)游戲是否公平.20在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，對(duì)于直線l : ax + by + c = 0 和點(diǎn) P1 (x1 , y1 )、P2 (x2 , y2 )

7、，記h= (ax1 + by1 + c )(ax2 + by2 + c )，若h 0 ，則稱點(diǎn) P1 , P2 被直線 l分隔，若曲線 C 與直線 l 沒有公共點(diǎn)，且曲線 C 上存在點(diǎn) P1 , P2 被直線 l 分隔， 則稱直線 l 為曲線 C 的一條分隔線.（12 分）（1）求證：點(diǎn) A(1, 2) 、 B(-1, 0) 被直線 x + y -1 = 0 分隔；（2）若直線 y = kx 是曲線 x2 - 4 y2 = 1的分隔線，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍；（3）動(dòng)點(diǎn) M 到點(diǎn)Q(0, 2) 的距離與到 y 軸的距離之積為 1，設(shè)點(diǎn) M 的軌跡為 E， 求 E 的方程，并證明 y 軸為曲線 E

8、 的分隔線.21已知函數(shù) f (x) = 1 ax2 - x + 2a2 ln x(a 0)（12 分）2（1）討論 f (x) 的單調(diào)性.（2）若 f (x) 存在兩個(gè)極值點(diǎn) x ， x ，證明：f (x1 ) - f (x2 ) 1 + 1 .12x - xxx1212x = -1+ t cosa,22在直角坐標(biāo)系中，直線l 的參數(shù)方程為 y = 1+ t sina （t 為參數(shù)，0 a ），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C 的極坐標(biāo)方程為r2 =41+ sin2q（10 分）（1）當(dāng)a = 時(shí)，寫出直線l 的普通方程及曲線 C 的直角坐標(biāo)方程；

9、6（2）已知點(diǎn) P (-1，1)，設(shè)直線l 與曲線 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，試確定 PA PB 的取值范圍23設(shè)函數(shù) f (x) =x - 2 - x + a （10 分）(1)當(dāng)a = 1時(shí)，求不等式 f (x) 0，即(a - m)a - (m - 5) 0 ，解得 a m ，所以，命題 q : a m .則 p : - a m - 5 -3 ， q : m - 5 a m ， 所以， m ，解得 m 5 -18（1）證明：取 BC 的中點(diǎn) H ，連結(jié)OH 、 FH 、OE ， 因?yàn)?FB = FC ，所以 FH BC ，因?yàn)槠矫?FBC 平面 ABCD ，平面 FBC I 平面 ABCD

10、 = BC ， FH 平面 FBC ，所以 FH 平面 ABCD ， 因?yàn)?H 、O 分別為 BC 、 AC 的中點(diǎn)，所以O(shè)H / / AB 且OH = 1 AB = 2 3 .23又 EF / / AB ， EF =，所以 EF / /OH ，所以四邊形OEFH 為平行四邊形， 所以O(shè)E / / FH ，所以O(shè)E 平面 ABCD.（2）解：因?yàn)榱庑?ABCD ，所以O(shè)A = OC = OE = FH = 2.所以O(shè)A， OB ， OE 兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O - xyz ，如圖所示， 則 A(2, 0, 0)， B(0, 2 3 , 0) ， C(-2, 0, 0)， E(0, 0,

11、 2) ，3 所以Q(1, 0,1) ， uuur所以 BC = (-2, -, 0)， CQ = (3, 0,1) ，3 設(shè)平面 BCQ 的法向量為m = (x, y, z)， BC v = 0-2x -y = 0由 uuuv m得 ，CQ v = 03m3x + z = 0取 x = 1，可得 m = (1, - 3, -3) ，平面 ABC 的一個(gè)法向量為 n = (0, 0,1) ， 設(shè)二面角Q - BC - A 的平面角為q，則cosq=m nur r =m n-3=13 ， 所以二面角Q - BC - A 的余弦值為 3 13 .1319（1）由題意可知，隨機(jī)變量 X 的可能取值有

12、3 、 4 、5 、6， 3P ( X = 3) = 1 ， P ( X = 4) = C1 = 3 ， 3 8 3P ( X = 5) = C 2 = 3 ， P ( X = 6) = 1 . 3 8 所以，隨機(jī)變量 X 的分布列如下表所示：X3456P18383818 所以， E ( X ) = 3 1 + 4 3 + 5 3 + 6 1 = 9 ；88882（2）依題意，當(dāng)1 n 98 時(shí)，棋子要到第(n +1)站，有兩種情況：由第 n 站跳1站得到，其概率為 1 P ；2 n可以由第(n -1)站跳 2 站得到，其概率為 1 P .2 n-1 所以， P= 1 P + 1 P .n+1

13、2 n2 n-1同時(shí)減去 P 得 P- P = - 1 P + 1 P= - 1 (P - P) (1 n 98)；nn+1n2 n2n-12nn-1（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率為 P = 1 P+ 1 P ，992 98由于若跳到第99站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有 P= 1 P .2 971002 98 所以 P100 P99 ，即最終棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戲不公平.20.（1）由題意得：h= (2 +1-1) (-1+ 0 -1) = -4 0 , A(1, 2)、B(-1, 0) 被直線 x + y -1 = 0 分隔； （2）由題意得：直線 y

14、 = kx 與曲線 x2 - 4 y2 = 1無交點(diǎn), x2 - 4 y2 = 1 y = kx,整理得(1- 4k 2 )x2 -1 = 0 無解,即1- 4k 2 0 k -, - 1 U 1 , + ,2 2 又對(duì)任意的 k -, - 1 U 1 , + ，點(diǎn)(1, 0) 和(-1, 0) 在曲線 x2 - 2 y2 = 1上，滿足2 2 h= (k - 0)(-k - 0) = -k 2 0，所以點(diǎn)(1, 0) 和(-1, 0) 被直線 y = kx 分隔，所求的 k 的范圍是 -, - 1 1 , + .2 2 （3）由題意得：設(shè) M (x, y) ,x2 + ( y - 2)2 |

15、 x |= 1, 化簡得點(diǎn) M 的軌跡方程為 x2 + ( y - 2)2 x2 = 1Q對(duì)任意的 y0 R ，點(diǎn)(0, y0 )不是方程 x2 + ( y - 2)2 x2 = 1的解直線 x = 0 與曲線 E 沒有交點(diǎn),又曲線 E 上的兩點(diǎn)(-1, 2) 和(1, 2) 對(duì)于直線 x = 0 滿足h= -11 = -1 0) ， D = 1- 8a3當(dāng) a 1 時(shí)， D 0， p(x) 0 ，則 f (x) 0 ， f (x) 在(0, +)上單調(diào)遞增2 當(dāng)0 a 0，2p(x)的零點(diǎn)為 x1 =2a， x2 =2a， 1+1- 8a3所以 f (x) 在 0,2a ， 2a, + 上單

16、調(diào)遞增 1-1- 8a3 1+ 1- 8a3 f (x) 在,2a2a 上單調(diào)遞減 p(x)1- 1- 8a3當(dāng) a 0， 的零點(diǎn)為 ，2af (x) 在 0,2a 上單調(diào)遞增，在2a, + 上單調(diào)遞減.（2）證明；由（1）知，當(dāng)0 a 1 時(shí)， f (x) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)2不妨假設(shè)0 x x ，則 x + x = 11212a要證 f (x1 ) - f (x2 ) (x1 - x2 )(x1 + x2 ) =x1 - x2 x - xxx12x xxx12121 221只需證 1 (x - x )a (x + x )- 2 + 2a2 ln x1 = - 1 (x - x )+ 2a2 l

17、n x1 x1 - x2 212 12x212xxx即 證 2a2 ln x1 - x1 + x2 1 (x - x )， 2221x2x2x1212 設(shè)t = x1 (0 t 1) ，設(shè)函數(shù) g(t) = 2a 2 ln t - t + 1 ， g(t) = - t 2 - 2a2t +1 ，x2tt 2 因?yàn)?D = 4a4 - 4 0， g(t) g(1) = 0又 1 (x - x) 0 1 (x - x)， 則 2a2 ln x1 - x1 + x2 1 (x - x ) 212從而 f (x1 ) - f (x2 ) x1 - x21 + 1x1x2212x2x2x121222（1

18、）當(dāng) a = p時(shí)，直線l 的參數(shù)方程為6x = -1+ptcos, 6p x = -1+3 t,2 .1 y = 1+ tsin,6y = 1+t,2 消去參數(shù) t 得 x - 3 y +1+= 0. 由曲線 C 的極坐標(biāo)方程為r2 = 得r2 + (rsinq)2 = 4，41+ sin2q. 將 x2 + y2 = r2 ，及 y = rsinq代入得 x2 + 2 y2 = 4 ， x2 + y2 =42 （2）由直線l 的參數(shù)方程為 x = -1+ tcosa, （ t 為參數(shù)， 0 ap）可知直線l 是過點(diǎn) P y = 1+ tsina, a x2y2 （-1，1）且傾斜角為的直線，又由（1）知曲線 C 為橢圓+= 1，所以易知點(diǎn) P（-1，42 1）在橢圓 C 內(nèi)，x = -1+ tcosa,x2y2將 y = 1+ tsina,代入+42= 1中并整理得(1+ sin2a)t 2 + 2 (2sina- cosa)t -1 = 0 ， 設(shè) A，B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1, t2 ，則t t = -11 21+ sin2a所 以 PA PB = t1 t2=11+ sin2a因?yàn)? ap，所以sin2a(0,1， 所 以 PA PB =