高等數(shù)學(xué)課件--D12_5冪級數(shù)的應(yīng)用.ppt

1、2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,第五節(jié),一、近似計算,二、微分方程的冪級數(shù)解法,函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用,第十二章,三、歐拉公式,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,一、近似計算,例1. 計算,的近似值, 精確到,解:,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,例2. 計算,的近似值 ,使準(zhǔn)確到,解: 已知,故,令,得,于是有,用此式求 ln2 計算量大,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,在上述展開式中取前四項,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,說明: 在展開式,中,令,得,具此遞推公式可求出任意正整數(shù)的對數(shù) . 如,( n為自然數(shù)) ,2020/12/18,同濟

2、版高等數(shù)學(xué)課件,例3. 利用,求,誤差.,解: 先把角度化為弧度,(弧度),的近似值 , 并估計,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,( 取,例4. 計算積分,的近似值, 精確到,解:,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,則 n 應(yīng)滿足,則所求積分近似值為,欲使截斷誤差,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,例5. 計算積分,的近似值, 精確到,解: 由于,故所給積分不是廣義積分.,若定義被積函數(shù)在 x = 0 處的值為 1,則它在積分區(qū)間,上連續(xù), 且有冪級數(shù)展開式 :,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,二、微分方程的冪級數(shù)解法,代入原方程, 比較同次冪系數(shù)可定常數(shù),

3、由此確定的級數(shù)即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)的解.,設(shè)所求解為,冪級數(shù)解法 本質(zhì)上就是 待定系數(shù)法,1. 一階微分方程的情形,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,例6.,解: 根據(jù)初始條件, 設(shè)所求特解為,代入原方程, 得,比較同次冪系數(shù), 得,故所求解的冪級數(shù)前幾項為,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,2. 二階齊次線性微分方程問題,定理:,則在R x R 內(nèi)方程 必有冪級數(shù)解:,設(shè) P(x), Q(x) 在 (R, R ) 內(nèi)可展成 x 的冪級數(shù),(證明略),此定理在數(shù)學(xué)物理方程及特殊函數(shù)中非常有用,很多,重要的特殊函數(shù)都是根據(jù)它從微分方程中得到的.,2020/12/18,同濟版高

4、等數(shù)學(xué)課件,例7.,的一個特解.,解:,設(shè)特解為,代入原方程整理得,比較系數(shù)得:,可任意取值,因是求特解, 故取,從而得,當(dāng)n 4 時,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,因此,注意到:,此題的上述特解即為,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,三、歐拉(Euler)公式,則稱 收斂 , 且其和為,絕對收斂,收斂 .,若,收斂,若,對復(fù)數(shù)項級數(shù),絕對收斂,則稱 絕對收斂.,由于, 故知,歐拉,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,定義: 復(fù)變量,的指數(shù)函數(shù)為,易證它在整個復(fù)平面上絕對收斂 .,當(dāng) y = 0 時, 它與實指數(shù)函數(shù),當(dāng) x = 0 時,的冪級數(shù)展式一致.,2020/

5、12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,（歐拉公式）,（也稱歐拉公式）,利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,則,歐拉,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,據(jù)此可得,(德莫弗公式),利用冪級數(shù)的乘法, 不難驗證,特別有,第六節(jié),作業(yè) P291 1 (1),(3); 2(2)；3(1),(3); 4(2),第七節(jié),2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,備用題 1.,(1) 驗證函數(shù),滿足微分方程,(2) 利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù),的和. (2002考研),解: (1),2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,所以,(2) 由(1)的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足,其特征方程:,特征根:,齊次方程通解

6、為,設(shè)非齊次方程特解為,代入原方程得,故非齊次方程通解為,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,代入初始條件可得,故所求級數(shù)的和,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,2.,解:,求解勒讓德 (Legendre) 方程,展成冪級數(shù),故方程滿足定理條件.,設(shè)方程的解為,代入 :,因方程特點, 不用將 P, Q 進行展開,定理,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,整理后得:,比較系數(shù), 得,例如:,2020/12/18,同濟版高等數(shù)學(xué)課件,于是得勒讓德方程的通解:,上式中兩個級數(shù)都在(1, 1 )內(nèi)收斂,可以任意取,它們是方程的,兩個線性無關(guān)特解.,歐拉 (1707 1783),瑞士數(shù)學(xué)家.,他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典,著作,如無窮小分析引論 , 微,還,寫了大量力學(xué), 幾何學(xué), 變分法教材.,他在工作期間幾乎每年都完成 800 頁創(chuàng)造性的論文.,他的最大貢獻是擴展