第三節(jié)矩陣基本函數(shù)運(yùn)算與矩陣元素的提取(第二章

1、實(shí)驗(yàn)三第三節(jié) 矩陣基本函數(shù)運(yùn)算與矩陣元素的提?。ǖ诙拢┮弧?矩陣基本函數(shù)運(yùn)算此運(yùn)算是矩陣運(yùn)算中最實(shí)用的部分，其基本命令如下：命令集9 矩陣的大小、行列式、逆、特征值、秩、跡、范數(shù)size(A) 給出包含A的維數(shù)的一個(gè)行向量.在這個(gè)返回向量中的第一個(gè)元素是行數(shù)，隨后是列數(shù) . m，n =size(A) 給出A的維數(shù)、m行數(shù)和n列數(shù)，即兩個(gè)標(biāo)量.length(x) 給出一個(gè)向量的長度，即x分量個(gè)數(shù).sum(A) 若A是矩陣，給出一個(gè)行向量，其每個(gè)分量表示A相應(yīng)的列和；若A是向量，給出此向量的分量和.det(A) 求矩陣A的行列式.eig(A) 求包含矩陣A的特征值的向量.X,D=eig(A) 求

2、包含矩陣A的特征值對(duì)應(yīng)的對(duì)角陣D和以相應(yīng)特征向量為列的矩陣.inv(A)或A (-1) 求矩陣A的逆矩陣.rank(A) 求矩陣A的秩.trace(A) 求矩陣A的跡（對(duì)角線元素之和）.norm(A，1) 矩陣A的1范數(shù)或列和范數(shù)，定義如下.norm(A，2) 矩陣A的2范數(shù).norm(A，inf) 矩陣A的范數(shù).norm(x，1) 向量x的1范數(shù)或列和范數(shù)，定義如下.norm(x，2) 向量x的2范數(shù).norm(x，inf) 向量x的范數(shù).范數(shù)定義如下：設(shè)，則相應(yīng)范數(shù)定義如下 ； ；，二、矩陣元素的提取在MATLAB中還有利用已存在的矩陣建立新矩陣的命令.以下假設(shè)矩陣 A是mn的矩陣，x是個(gè)

3、有n個(gè)元素的向量.1. 對(duì)角陣與三角陣的生成命令集10 diag(A) 生成一個(gè)由矩陣A主對(duì)角線元素組成的列向量.主對(duì)角線總是從矩陣左上角開始.對(duì)于方陣來說它結(jié)束于矩陣的右下角.diag(x) 生成一個(gè)n維的方陣，它的主對(duì)角線元素值取自向量 x，其余元素的值都為0.diag(A , k) 生成一個(gè)由矩陣A第k條對(duì)角線的元素組成的列向量. k= 0為主對(duì)角線；k 0為上第k對(duì)角線.diag(x , k) 生成一個(gè)(n+ a b s (k) )(n+ a b s (k) )維的矩陣，該矩陣的第k條對(duì)角線元素取自向量x，其余元素都為零.關(guān)于參數(shù)k可參考上個(gè)命令.triu(A) 生成一個(gè)和A大小相同的

4、上三角矩陣.該矩陣的主對(duì)角線及以上元素取自A中相應(yīng)元素，其余元素都為零.triu(A , k) 生成一個(gè)和A大小相同的上三角矩陣.該矩陣的第k條對(duì)角線及以上元素取自A中相應(yīng)元素，其余元素都為零.命令t r i u ( A , 0 )等同于命令t r i u ( A ).tril(A) 生成一個(gè)和A大小相同的下三角矩陣.該矩陣的主對(duì)角線及以下元素取自A中相應(yīng)元素，其余元素都為零.tril(A , k) 生成一個(gè)和A大小相同的下三角矩陣.該矩陣的第 k條對(duì)角線及以下元素取自A中相應(yīng)元素，負(fù)數(shù)k表示主對(duì)角線下的對(duì)角線.其余元素都為零.命令t r i l ( A , 0 )等同于命令t r i l (

5、 A ).2. 向量和子矩陣的生成在MATLAB中可以使用冒號(hào):來代表一系列數(shù)值.有時(shí)也使用它來定義一個(gè)子矩陣.命令集11i : k 創(chuàng)建從i開始、步長為1、到k結(jié)束的數(shù)字序列，即i ,i+1, i+2, . . . , k .如果ik，MATLAB則返回一個(gè)空矩陣，也就是 .數(shù)字i和k不必是整數(shù)，該序列的最后一個(gè)數(shù)是小于或等于k.i : j : k 創(chuàng)建從i開始、步長為j、到k結(jié)束的數(shù)字序列，即i, i+j, i+ 2j, . . ., k .對(duì)于j= 0，則返回一個(gè)空矩陣.數(shù)字i、j和k不必是整數(shù)，該序列的最后一個(gè)數(shù)是小于或等于k.linspace(a , b) 在區(qū)間a, b上創(chuàng)建一個(gè)有

6、1 0 0個(gè)元素的向量，這1 0 0個(gè)數(shù)把整個(gè)區(qū)間線性分隔.其中a是第一個(gè)元素，b是最后一個(gè).linspace(a, b, n) 在區(qū)間a, b上創(chuàng)建一個(gè)有n個(gè)元素的向量.這個(gè)命令和冒號(hào)表示形式相近，但是它直接定義了數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，其步長為（b-a）/(n-1) .命令集12 定義子陣A ( i , j ) 返回矩陣A中第ij元素的值.A ( : , j ) 返回矩陣A中第j列列向量.A ( i , : ) 返回矩陣A中第i行行向量.A ( : , j : k ) 返回由矩陣A中的第j列，第j+ 1列，直到第k列列向量組成的子陣.A ( i : k , : ) 返回由矩陣A中的第i行，第i+ 1行

7、，直到第k行行向量組成的子陣.A ( i : k , j : l ) 返回由二維矩陣A中的第i行到第k行行向量和第j列到第l 列列向量組成的子陣.A ( : ) 將矩陣A中的每列合并成一個(gè)長的列向量.A(j:k) 返回一個(gè)行向量，其中的元素為A ( : )中的從第j個(gè)元素到第k個(gè)元素.A(j1 j2 . . . ) 返回一個(gè)行向量，其中的元素為A ( : )中的第j1、j2 元素.A(:,j1 j2 . . . ) 返回矩陣A的第j1列、第j2列等的列向量.A(i1 i2. . . : , ) 返回矩陣A的第i1行、第i2行等的行向量.A(i1 i2. . . , j1 j2. . . ) 返

8、回矩陣第i1行、第i2行等和第j1列、第j2列等的元素.二、矩陣元素的增減在MATLAB中可以通過增加元素、行和列將一個(gè)矩陣或者向量進(jìn)行擴(kuò)展.由于MATLAB可以自動(dòng)地改變矩陣的大小，所以使用已存在的矩陣的一部分來創(chuàng)建一個(gè)新矩陣是很容易的這在許多應(yīng)用中都很有用.從已存在的矩陣中建立一個(gè)矩陣就和定義一個(gè)新矩陣一樣.元素用空格或逗號(hào)分隔，行用分號(hào)或回車分隔. 例1 假設(shè)下列矩陣已經(jīng)定義為：(a) 有幾種方式可以將向量x擴(kuò)展成14.假設(shè)想要的新向量是：xnew=(9 10 0 5)下列的三種方法都可以給出想要的結(jié)果： xnew=x; xnew(3)=0；xnew(4)=5; xnew=x 0 5;

9、t=0 5; xnew=x t;(b) 以下兩種方法可以對(duì)矩陣A擴(kuò)展一個(gè)新行，如向量z： Anew1=A ; z , Anew1=A ; 13 14 .它們?cè)谄聊簧巷@示的結(jié)果如下：Anew1=1 22 413 14有時(shí)還可以對(duì)矩陣添加多個(gè)新行： Anew2=A；x；z;0 0(c) 對(duì)矩陣A擴(kuò)展一個(gè)新列，如y，可以這樣做： Anew3=A y 或者 Anew3=A 11；12 (d) 對(duì)矩陣A擴(kuò)展一個(gè)矩陣的操作是相似的，輸入命令： Anew4=A; B , Anew5=A B 對(duì)于Anew4來說，它的列數(shù)一定等于矩陣 A和B的列數(shù)；而對(duì)于Anew5來說，它的行數(shù)一定等于矩陣A和B的行數(shù).(e)

10、 改變矩陣的元素 A(3,3)=15 矩陣A的（3，3）元素變?yōu)?5 A(2,:)=1 0 矩陣A的第2行變?yōu)? 0 A(2,:)= 矩陣A變?yōu)橐粋€(gè)行向量(f) 為了生成規(guī)則的矩陣塊可以下列的方式使用命令 repmat. 例2 repmat(1 0; 0 1,3,3) 返回一個(gè)由1 0; 0 1組成的6階矩陣 repmat(1 0,1,5)得到：返回一個(gè)由1 0組成的10維行向量 如果要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)所有元素都是同一個(gè)值的矩陣，可以使用命repmat(42,2 2) 返回一個(gè)由42組成的2階矩陣第四節(jié) 字符串（第二章）在M AT L A B中可能會(huì)遇到對(duì)字符和字符串的操作.字符串能夠顯示在屏幕上，也

11、可以用來構(gòu)成一些命令，這些命令在其他的命令中用于求值或者被執(zhí)行.一個(gè)字符串是存儲(chǔ)在一個(gè)行向量中的文本，這個(gè)行向量中的每一個(gè)元素代表一個(gè)字符.實(shí)際上，元素中存放的是字符的內(nèi)部代碼，也就是ASCII碼.當(dāng)在屏幕上顯示字符變量的值時(shí)，顯示出來的是文本，而不是ASCII數(shù)字.由于字符串是以向量的形式來存儲(chǔ)的，所以可以通過它的下標(biāo)對(duì)字符串中的任何一個(gè)元素進(jìn)行訪問.字符矩陣也可以這樣，但是它的每行字符數(shù)必須相同.一、 輸入格式MATLAB中的字符串用單引號(hào)來定義：Name Of Variable = text這里的text 可以是字母、數(shù)字和特殊字符(a) 簡單的分配方法，如name = John Smi

12、th ，在屏幕上就會(huì)有如下顯示：name = John Smith(b) 分配一個(gè)字符.如果(a)中變量name已存在，令name (3)= a ，則會(huì)給出：name = Joan Smith(c) 將上例中的字符串name的元素前后互換位置，可以輸入：for i=length(name):-1:1enam(i)=name(length(name)+1-i);endenam下面顯示出字符串eman的值：eman =htimS naoJ(d) 在字符串中用兩個(gè)單引號(hào)來表示一個(gè)單引號(hào)：whoscat=Joans cat顯示結(jié)果為：whoscat =Joans cat(e) 字符串的組成可以象數(shù)字矩

13、陣一樣： name1= Joan ; name2= John ;heart= is in love with ;sentence=name1, ,heart, , name2顯示的結(jié)果為：sentence= Joan is in love with John(f) 冒號(hào)表達(dá)式的使用和在數(shù)字矩陣中的使用情況一樣：name=Charles Johnson；firstname= name(1:7)firstname =Charles二、 字符串求值MATLAB命令可以以字符串的形式進(jìn)行輸入和存儲(chǔ).這些命令字符串通過eval命令來求值.命令集13 字符串求值eval (str) 執(zhí)行st 中包含的MA

14、TLAB命令并返回結(jié)果.eval(str1, str2) 執(zhí)行str1中的MATLAB命令，如果沒有錯(cuò)誤就和執(zhí)行eval(str1)一樣；如果在對(duì)str1求值中第一個(gè)字符串是一個(gè)錯(cuò)誤，則對(duì)字符串str2進(jìn)行求值，給出一個(gè)錯(cuò)誤信息或者其他內(nèi)容.g = inline (str ,arg1, arg2) 從字符串str中建立一個(gè)叫內(nèi)聯(lián)的函數(shù)g，如存儲(chǔ)在工作內(nèi)存中的函數(shù)，可以用g (val1 ,val2 )來調(diào)用.函數(shù)中參數(shù)的名字可以在字符串 arg1，arg2， 中給出，如果沒有給出，MATLAB將從str中找出小寫字母作為參數(shù)的名字. 例3b=1 2 3;k=2 2 2 ;x=1.2 1.5 1.

15、2;str1= b.* sin(k.*x) ;y=eval(str1) y=0.6755 0.2822 2.0264g=inline(3*sin(x)+5*cos(y) , x , y );g(pi,2*pi) ans= 5練習(xí)題1. 建立新矩陣 已知 ，求 2. 計(jì)算下列各題，已知， 的行和、列和，的跡、秩，的大小 的特征值、特征向量及 3 已知，建立下列矩陣： 在的左邊增加一列y，的右邊增加一列y； 在的上面增加一行x，的下面增加一行x； 在的左邊增加矩陣B變?yōu)榫仃嘋，的下面增加矩陣B變?yōu)榫仃嘍； 由矩陣D的第1、2、5、8行組成矩陣F；由矩陣C的第1、3、5、7列組成矩陣G； 由矩陣D的

16、第1、2、5、8行及C第1、3、5、7列組成矩陣H； 刪除的第二行，刪除的第三列 ；第3章 MATLAB程序設(shè)計(jì)Matlab 作為一種廣泛應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算的工具軟件，不僅具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力和豐富的繪圖功能；可以人機(jī)交互式的命令行的方式工作；作為一種高級(jí)語言，同時(shí)也可以與 C、FORTRAN 等高級(jí)語言一樣進(jìn)行程序設(shè)計(jì).利用 Matlab 的程序控制功能，將相關(guān) Matlab 命令編成程序存儲(chǔ)在一個(gè)文件中（M 文件），然后在命令窗口中運(yùn)行該文件，Matlab 就會(huì)自動(dòng)依次執(zhí)行文件中的命令，直到全部命令執(zhí)行完畢. 例1 用 mesh 繪制半徑為 3 的球 命令行方式： 編程方式：新建一個(gè)M 文件

17、 qiu.m如下： u=0:pi/60:2*pi; v=0:pi/60:pi; U,V=meshgrid(u,v); R=3; X=R*sin(V).*cos(U); Y=R*sin(V).*sin(U); Z=R*cos(V); mesh(X,Y,Z); axis equal;u=0:pi/60:2*pi; v=0:pi/60:pi; U,V=meshgrid(u,v);R=3; X=R*sin(V).*cos(U);Y=R*sin(V).*sin(U); Z=R*cos(V); mesh(X,Y,Z); axis equal;保存后，在命令窗口輸入 qiu，即可執(zhí)行該 M 文件.第一節(jié) M

18、 文件一、 M文件介紹l 用 Matlab 語言編寫的程序稱為 M 文件l M 文件以 .m 為擴(kuò)展名l M 文件是由若干 Matlab 命令組合在一起構(gòu)成的，它可以完成某些操作，也可以實(shí)現(xiàn)某種算法l 文件的命名規(guī)則與變量相同！文件名應(yīng)盡量與程序要表達(dá)的意義相符合，以方便今后調(diào)用.（如例1）二、 M文件的建立、打開與保存 M文件是文本文件，可以用任何文本編輯器來建立和編輯，通常使用Matlab自帶的M文件編輯器. 新建一個(gè)M文件l 菜單操作 ( File New M-File )l 命令操作 ( edit M 文件名 )l 命令按鈕 ( 快捷鍵 ) 打開已有的 M 文件l 菜單操作 ( Fil

19、e Open )l 命令操作 ( edit M 文件名 )l 命令按鈕 ( 快捷鍵 )l 雙擊M文件 (在當(dāng)前目錄窗口) 保存M 文件l 菜單操作 ( File Save )l 命令按鈕 ( 快捷鍵 )三、 M 文件分類（根據(jù)調(diào)用方式的不同）l Script：腳本文件/命令文件（可以直接運(yùn)行的M文件）命令文件就是命令行的簡單疊加，matlab會(huì)自動(dòng)按順序執(zhí)行文件中的命令.這樣就解決了用戶在命令窗口中運(yùn)行許多命令的麻煩，還可以避免用戶做許多重復(fù)性的工作.（如例1）l Function：函數(shù)文件 函數(shù)文件主要用以解決參數(shù)傳遞和函數(shù)調(diào)用的問題.(1) 第一行必須指定函數(shù)名、輸入變量 (參數(shù))和輸出變

20、量(參數(shù)).輸入?yún)?shù)是從MATLAB的工作空間復(fù)制到函數(shù)工作空間的變量.第一行舉例如下：function 輸出形參表 = name(輸入形參表)(2) 一個(gè)函數(shù)可以有0個(gè)、一個(gè)或幾個(gè)輸入?yún)?shù)和返回值.當(dāng)輸出形參表的參數(shù)個(gè)數(shù)大于2時(shí)， 不可缺??！(3) 建議函數(shù)名和文件名一樣.調(diào)用時(shí)所用的變量并不需要與函數(shù)文件中定義的變量有相同的名字. 例2 比較下列兩個(gè)程序，注意命令文件（以dd1命名）與函數(shù)文件（以dd2命名）的區(qū)別與聯(lián)系.function y=dd2(x,n)y(1)=x ; for k=1:n x=1/(x+1); y(k)=x;endx=input(輸入初值x=);n=input(輸入

21、迭代次數(shù)=);y(1)=x ; for k=1:n x=1/(x+1); y(k)=x;endy四、 兩類文件的區(qū)別l 函數(shù)文件的第一行必須包含字 function，命令文件沒有這種要求.因此，沒有這樣第一行的M文件是命令文件.l 命令文件沒有輸入?yún)?shù)，也不返回輸出參數(shù)，而函數(shù)文件可以帶輸入?yún)?shù)，也可以返回輸出參數(shù)；l 命令文件對(duì)matlab工作空間中的變量進(jìn)行操作，文件中所有命令的執(zhí)行結(jié)果也完全返回到工作空間中，而函數(shù)文件中定義的變量為局部變量，當(dāng)函數(shù)文件執(zhí)行完畢時(shí)，這些變量被清除.l 命令文件可以直接運(yùn)行.在MATLAB命令窗口輸入命令文件的名字，就會(huì)順序執(zhí)行命令文件中的命令，而函數(shù)文件不

22、能直接運(yùn)行，而要以函數(shù)調(diào)用的方式運(yùn)行.五、M文件的調(diào)用對(duì)已存在的M文件l 命令文件在命令窗口直接輸入該文件名即可；如例1qiul 函數(shù)文件調(diào)用的一般格式輸出實(shí)參數(shù)表=函數(shù)名(輸入實(shí)參數(shù)表) 函數(shù)調(diào)用時(shí)各實(shí)參數(shù)出現(xiàn)的順序、個(gè)數(shù)應(yīng)與函數(shù)定義時(shí)形式參數(shù)的順序、個(gè)數(shù)一致，否則出錯(cuò)； 函數(shù)調(diào)用時(shí)，先將實(shí)參數(shù)傳遞給形式參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)參數(shù)的傳遞，然后再執(zhí)行函數(shù)的功能.如例2y=dd2(1,10) 當(dāng)輸出實(shí)參數(shù)表的參數(shù)個(gè)數(shù)大于2時(shí)， 不可缺省！第二節(jié) 程序控制結(jié)構(gòu)程序控制結(jié)構(gòu)有三種：順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).任何復(fù)雜的程序都可以由這三種基本結(jié)構(gòu)構(gòu)成.Matlab提供了實(shí)現(xiàn)控制結(jié)構(gòu)的語句，利用這些語句可以編

23、寫解決實(shí)際問題的程序.一、順序結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)是指按照程序中語句的排列順序從上到下依次執(zhí)行，直到程序的最后一個(gè)語句如例1的qiu文件和例2的dd1文件.這是最簡單的一種程序結(jié)構(gòu).一般涉及數(shù)據(jù)的輸入、計(jì)算或處理、數(shù)據(jù)的輸出等內(nèi)容.1. 數(shù)據(jù)的輸入 通過input命令來接收從終端輸入的內(nèi)容，它也可以顯示文本和提示.命令集14 輸入命令input(out ,in) 在屏幕上顯示出字符串out的文本并等待終端的輸入.如果變量in是s，則輸入的內(nèi)容以字符串的形式進(jìn)行保存，通常MATL AB在保存前要盡可能地求出表達(dá)式的值.如果使用格式控制符號(hào)如n，字符串out可以是若干行. 例3 xm=input(What

24、s your name?,s)Whats your name?syxxm =syx xm=input(Whats your name?)Whats your name?syx? Error using = inputUndefined function or variable syx.Whats your name?syxxm =syx2. 數(shù)據(jù)的輸出可以通過簡單地輸入變量的名字來顯示數(shù)字矩陣或者字符串向量的內(nèi)容，結(jié)果將顯示出變量的名字和內(nèi)容.另一種顯示變量的值就是使用命令disp.使用它只顯示出變量的內(nèi)容，這是有用的，特別是在字符串的應(yīng)用中.命令集15 顯示命令disp(A) 顯示矩陣A的內(nèi)

25、容，如果A是字符串，則顯示出它的文本.練習(xí)題：將例1、例2的程序在matlab中建立、保存、運(yùn)行.練習(xí)題： A=magic(5); diag(A),diag(diag(A),diag(diag(A),2),diag(A,2),diag(A,-2)ans = 17 5 13 21 9ans = 17 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 9ans = 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

26、0 0 0ans = 1 14 22ans = 4 1225 triu(A),tril(A),triu(A,1),triu(A,-2),tril(A,-2)ans = 17 24 1 8 15 0 5 7 14 16 0 0 13 20 22 0 0 0 21 3 0 0 0 0 9ans = 17 0 0 0 0 23 5 0 0 0 4 6 13 0 0 10 12 19 21 0 11 18 25 2 9ans = 0 24 1 8 15 0 0 7 14 16 0 0 0 20 22 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0ans = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16

27、4 6 13 20 22 0 12 19 21 3 0 0 25 2 9ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 10 12 0 0 0 11 18 25 0 0 A(3,2),A(:,2),A(4,:)ans = 6ans = 24 5 6 12 18ans = 10 12 19 21 3 A(2:3,3:4),A(:),A(:,:)ans = 7 14 13 20ans = 17 23 4 10 11 24 5 6 12 18 1 7 13 19 25 8 14 20 21 2 15 16 22 3 9ans = 17 24 1 8 15 23 5 7 14

28、16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 A=magic(4); x=1 2 3 4; sum(A),sum(A),trace(A),rank(A),det(A)ans = 34 34 34 34ans = 34 34 34 34ans = 34ans = 3ans =4 4 x,y=eig(A),inv(A),det(A)x = 0.5000 0.8236 0.3764 -0.2236 0.5000 -0.4236 0.0236 -0.6708 0.5000 -0.0236 0.4236 0.6708 0.5000 -0.3764 -0.8236 0.2236y = 34.0000 0 0 0 0 8.9443 0 0 0 0 -8.9443 0 0 0 0 -0.0000Warning: Matrix is close to singular or badly