第二十八講層次分析法簡介

1、第二十八講 層次分析法簡介層次分析法是對復雜問題作出決策的一種簡明有效的新方法。隨著科學技術(shù)的發(fā)展，對以前在社會、經(jīng)濟、生物、心理、組織管理等領(lǐng)域只能定性描述的因素、事物和概念等，現(xiàn)在迫切需要作出量化研究。層次分析法在一定程度上滿足了這種需要。它把定性分析與定量分析相結(jié)合，根據(jù)問題的總目標，以系統(tǒng)的觀點，把問題分解成若干因素，并按其支配關(guān)系構(gòu)成遞階層次結(jié)構(gòu)模型，然后應用兩兩比較的方法確定決策方案之間的相對重要性，從而獲得滿意的決策。 一、層次分析法的基本步驟 層次分析法的基本思路與人對一個復雜問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。舉一個簡單的例子：“五一”長假期間你準備去旅游，是去風光秀麗的蘇杭

2、二州，還是去迷人的海南三亞，或者是去長春凈月旅游村就近一游？假期不過七天，三地均游不可能，因此你必須對此作出選擇與決策。不妨設(shè)上面三個旅游方案為P1，P2和P3，你會根據(jù)諸如景色、費用、居住和旅途條件等一些準則去反復比較那三個侯選方案。首先，你會確定這些準則在你的心目中各占多大比重，如果你經(jīng)濟寬綽，醉心旅游，便會特別看重景色條件，而平素儉樸或手頭拮據(jù)的人則會優(yōu)先考慮費用，中老年旅游者還會對居住、飲食等條件寄以較大關(guān)注。其次，你會就每一個準則將三個方案進行對比，例如，P2景色最好，P1次之；P3費用最，P1次之；P1居住條件較好，P2次之等等。最后。你要將這幾個層次的比較進行綜合，在P1、P2、

3、P3中確定哪個作為最佳地點。 上面的思維過程可以加工整理成以下幾個步驟： 1將決策問題分解為三個層次，最上層為總目標層，即選擇旅游地；最下層為方案層，分P1、P2、P3三個供選擇方案；中間層為準則層，有景色、費用、居住與飲食、旅途四個準則。各層間的聯(lián)系用相連的直線段表示（如圖6-1） 2通過相互比較確定各準則對于目標的權(quán)重，各方案對于每個準則的權(quán)重。注意，這些權(quán)重在通常人的思維過程中一般是定性的，但在層次分析中則要給出權(quán)重的定量描述方法。 3將方案層對準則層的權(quán)重及準則層對目標層的權(quán)重進行綜合，最終確定方案層對目標層的權(quán)重，從而給出最終的結(jié)果。層次分析法將給出進行綜合的計算方法。 圖6-1 收

4、藏 分享 自強不息，永不言?。unjiang 發(fā)短消息 加為好友 yunjiang 當前離線 UID3521 帖子418 精華2 積分1234 閱讀權(quán)限70 在線時間0 小時 注冊時間2003-7-8 最后登錄2006-8-18 實習記者2# 發(fā)表于 2004-7-22 10:49 | 只看該作者 二、實例分析:公司利潤的合理使用 問題 某工廠有一筆企業(yè)留存利潤，要由廠領(lǐng)導和職代會決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：作為獎金發(fā)給職工；擴建集體福利設(shè)施；引進新技術(shù)、新設(shè)備等。為進一步促進企業(yè)發(fā)展，該如何合理使用這筆利潤？ 1建立層次結(jié)構(gòu)模型 上述各項方案的最終目的都是為了促進企業(yè)更大發(fā)展，因此該問

5、題的遞階層次結(jié)構(gòu)模型如圖62所示。 圖62 自強不息，永不言敗！TOP yunjiang 發(fā)短消息 加為好友 yunjiang 當前離線 UID3521 帖子418 精華2 積分1234 閱讀權(quán)限70 在線時間0 小時 注冊時間2003-7-8 最后登錄2006-8-18 實習記者3# 發(fā)表于 2004-7-22 10:49 | 只看該作者 2構(gòu)造判斷矩陣 構(gòu)造判斷矩陣是進行層次分析的關(guān)鍵。 設(shè)有n個因素（準則）C1，C2，Cn對總目標G有影響，要確定它們在G中的比重。采用成對比較法，即每次取兩個因素ci和cj，用aij表示ci與cj對G影響之比。譬如本例中 與 之比設(shè)定為1：5，與 之比為1

6、：3， =3：1。將全部比較的結(jié)果用矩陣 A=(aij)nn (aij0) 表示。則 A是正互反陣，因為 aii=1,aji=1/aij (i,j=1,2,n)。 如何確定aij的值，人們常取數(shù)字19及其倒數(shù)作為aij的取值范圍。這是因為在進行定性成對比較時，人們頭腦中的5個明顯等級可數(shù)量化為如表6-1所示。在每兩個等級之間各有一個中間狀態(tài)，依次用2，4，6，8將其量化。表6-1 因素等級 ci比cj 相同 稍強 強 很強 絕對強 aij 1 3 5 7 9 于是本問題的判斷矩陣G-C構(gòu)造為 再分別構(gòu)造判斷矩陣C1-P，C2-P，C3-P，不妨設(shè)定為 ， ， 。 仔細分析上述成對比較矩陣 可以

7、發(fā)現(xiàn)，既然 應該是 而不是 ，才能說明這個成對比較是一致的。使用數(shù)學語言即，對三個因素xi,xj,xk進行兩兩比較：由xi與xj相比得到aij，由xj與xk相比得到ajk，再由xi與xk相比得到aik，則應有aijajk=aik，但完全可能出現(xiàn)aijajkaik。 由于人們要做眾多因素比較，全部一致的要求是太苛刻了。因此，我們給出在成對比較不一致的情況下計算各因素對上一因素的權(quán)重的方法，并且確定這種不一致的容許范圍。自然，此前進行相應矩陣的一致性檢驗是必須的。 所謂一個正互反矩陣A為一致性的，是指其元素滿足aijajk=aik，i,j,k =1,2,n。我們還有 引理 正互反陣的最大特征根是單

8、根且是正實數(shù)，對應著正的特征向量。 定理 n階正互反矩陣A=(aij)nn是一致陣當且僅當 =n， 其中 是A的最大特征值 自強不息，永不言敗！TOP yunjiang 發(fā)短消息 加為好友 yunjiang 當前離線 UID3521 帖子418 精華2 積分1234 閱讀權(quán)限70 在線時間0 小時 注冊時間2003-7-8 最后登錄2006-8-18 實習記者4# 發(fā)表于 2004-7-22 10:49 | 只看該作者 3層次單排序與一致性檢驗 在構(gòu)造判斷矩陣之后，求出判斷矩陣的最大特征值 和對應的特征向量W，W經(jīng)過標準化后，即為同一層次中相應元素對于上一層次中的某個因素相對重要性的排序權(quán)值，

9、這一過程稱為層次單排序。 首先我們觀察兩個判斷矩陣的一致性。例如 求得 =3，W1=（0.6,0.3,0.1）T，所以A1是一致陣；再看 求得 =3.01,W2=(0.588,0.322,0.09)T，所以A2不是一致陣。而且 越大于n，A不一致的程度將越大，反之亦然。 所謂一致性指標，是指用來衡量判斷矩陣不一致程度的數(shù)量指標。記作CI，定義為 （6.1） 顯然，CI=0 判斷矩陣是一致陣。CI的值越大，判斷矩陣不一致程度越嚴重。 那么，判斷矩陣不一致程度在什么范圍內(nèi)，層次分析法仍然可以使用呢？為此，我們引入隨機一致性指標。 自強不息，永不言??！TOP yunjiang 發(fā)短消息 加為好友 y

10、unjiang 當前離線 UID3521 帖子418 精華2 積分1234 閱讀權(quán)限70 在線時間0 小時 注冊時間2003-7-8 最后登錄2006-8-18 實習記者5# 發(fā)表于 2004-7-22 10:49 | 只看該作者 對于固定的n，隨機地從 中任取一數(shù)作為aij，并構(gòu)成正互反陣 這樣的 是最不一致的，設(shè)其最大特征值為 ，則定義 為隨機一致性指標。當隨機一致性比例 （6.2） 時，A的不一致性仍可接受，否則，必須調(diào)整判斷矩陣。 另外，為了檢驗方便，我們給出一致性指標RI對各階矩陣的相應數(shù)值如表6-2。 表6-2 隨機一致性指標 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 R

11、I 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 對于矩陣A利用（6.1）、（6.2）式和表6-2進行的檢驗稱為一致性檢驗。自強不息，永不言敗！TOP yunjiang 發(fā)短消息 加為好友 yunjiang 當前離線 UID3521 帖子418 精華2 積分1234 閱讀權(quán)限70 在線時間0 小時 注冊時間2003-7-8 最后登錄2006-8-18 實習記者6# 發(fā)表于 2004-7-22 10:50 | 只看該作者 前面我們已經(jīng)求出問題的各判斷矩陣，下面求它們的最大特征值、特征向量、一致性指標和隨機一致性比例。 判斷矩陣G-C： G C1

12、C2 C3 W C1 C2 C3 1 5 3 1/5 1 1/3 1/3 3 1 0.105 0.637 0.258 故通過一致性檢驗，從而上述W可作為權(quán)向量。又 判斷矩陣 C1-P： C2 P1 P2 W P1 1 3 0.75 P2 1/3 1 0.25 判斷矩陣C2-P： C2 P2 P3 W P2 1 1/5 0.167 P3 5 1 0.833 判斷矩陣C3-P： C3 P1 P2 W P1 1 2 0.667 P2 1/2 1 0.333 自強不息，永不言??！TOP yunjiang 發(fā)短消息 加為好友 yunjiang 當前離線 UID3521 帖子418 精華2 積分1234

13、閱讀權(quán)限70 在線時間0 小時 注冊時間2003-7-8 最后登錄2006-8-18 實習記者7# 發(fā)表于 2004-7-22 10:50 | 只看該作者 4層次總排序及其一致性檢驗 層次單排序后，還需要進行總排序，即計算同一層次所有因素對于最高層（總目標）相對重要性的排序權(quán)值，稱為層次總排序。這一過程是由最高層到最底層逐層進行的。結(jié)合本例說明如下。 將G-C矩陣的權(quán)向量W=（0。105，0。637，0。258）列于表6-3的第一行，再將 矩陣的權(quán)向量按列依次列于相應的列上。則層次P的總排序按以下公式計算為 即得到表中最后一列。 表6-3 層次P的總排序 層次P 層次C 層次P的總排序 C1

14、0。105 C2 0。637 C3 0。258 P1 0.75 0 0.667 0.251 P2 0.25 0.167 0.333 0.218 P3 0 0.833 0 0.531 層次總排序也要進行一致性檢驗。檢驗是從最高層到最底層進行的。設(shè)P層中的某因素對Cj的單排序的一致性指標為CI，隨 機一致性指標是RI，則P層總排序隨機一致性比例為 ， 其中 是W的第 個分量。同樣，當CRP1P2，利潤分配比例為：引進新設(shè)備應占53.1%，用于發(fā)獎金占25.1%，用于改善福利事業(yè)應占21.8%。 自強不息，永不言??！TOP yunjiang 發(fā)短消息 加為好友 yunjiang 當前離線 UID35

15、21 帖子418 精華2 積分1234 閱讀權(quán)限70 在線時間0 小時 注冊時間2003-7-8 最后登錄2006-8-18 實習記者8# 發(fā)表于 2004-7-22 10:50 | 只看該作者 三、關(guān)于最大特征值和特征向量的近似計算 我們看到，當n較大時，計算 和W很麻煩。因此，在計算判斷矩陣的最大特征值和特征向量時可以采取近似計算的方法。現(xiàn)介紹幾個方法供選用。 1方根法 計算的主要步驟： （1）計算判斷矩陣A的每一行元素乘積 。 （2）計算Mi的n次方根 （3）將 標準化為 則 為所求特征向量。 （4）計算最大特征值 例如對本例中的判斷矩陣G-C，計算W的近似值過程： 即 再求最大特征值的

16、近似值 自強不息，永不言??！TOP yunjiang 發(fā)短消息 加為好友 yunjiang 當前離線 UID3521 帖子418 精華2 積分1234 閱讀權(quán)限70 在線時間0 小時 注冊時間2003-7-8 最后登錄2006-8-18 實習記者9# 發(fā)表于 2004-7-22 10:50 | 只看該作者 2和法 計算的主要步驟：設(shè)A是判斷矩陣。 （1）將A的每一列標準化 （2）將 按行求和得 （3）將 標準化為 ，則 W=（W1,W2,，Wn） 為近似特征向量。 （4）計算 在本講的最后，將層次分析法的基本步驟歸納如下： 1建立層次結(jié)構(gòu)模型 在深入分析實際問題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次。同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標層，通常只有1個因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有1個或幾個層次，通常為準則或指標層。當準則過多時（譬如多于9個）應進一步分解出子準則層。 2構(gòu)造成對比較陣 從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，