概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章.ppt

1、第四章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念,4.1 總體與樣本,4.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布,4.3 抽樣分布定理,4.1 總體與樣本,1. 總體：,2. 個(gè)體：,研究對(duì)象的全體。,組成總體的每個(gè)基本單元。,有限總體,無限總體,集合與元素的關(guān)系。,例如，研究某大學(xué)一年級(jí)新生的體重情況。,總體：,該大學(xué)的全體新生的體重。,個(gè)體：,每個(gè)新生的體重。,數(shù)量指標(biāo),可用隨機(jī)變量 描述,第i個(gè)新生體重用 描述,4.1 總體與樣本,3. 了解總體分布的方法,4. 我們把從總體中隨機(jī)抽取的n個(gè)個(gè)體稱為樣本，n為樣本容量。,全面觀測(cè),抽樣觀測(cè),（1）代表性：,樣本與總體同分布；,5. 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,（2）獨(dú)立性：,是相互獨(dú)立的隨機(jī)

2、變量。,4.1 總體與樣本,6. 設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x) ， 是取自總體的樣本,稱上式為樣本分布函數(shù)。,7. 若總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 ，則稱,為樣本概率密度。,為樣本概率分布。,8. 若總體X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為 ，則稱,4.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布,4.2.1 統(tǒng)計(jì)量,4.2.2 抽樣分布,1. 樣本均值的分布,2. 分布,3. 分布,4. 分布,4.2.1 統(tǒng)計(jì)量,定義：,設(shè) 是來自總體 的樣本， 是 一個(gè)樣本函數(shù)，若g中不含有總體分布中的未知參數(shù)，則 g稱為統(tǒng)計(jì)量。,例如，設(shè)總體 ， 已知 ， 未知。 為樣本,統(tǒng)計(jì)量,未知，U不是該樣本的統(tǒng)計(jì)量,4.2.1 統(tǒng)

3、計(jì)量,常見統(tǒng)計(jì)量：,設(shè) 為總體X的樣本， 是樣本觀測(cè)值,1樣本均值：,2樣本方差：,修正樣本方差,3樣本標(biāo)準(zhǔn)差：,4樣本k階原點(diǎn)距：,5樣本k階中心距：,4.2.1 統(tǒng)計(jì)量,樣本均值：,樣本方差：,當(dāng)抽樣結(jié)果確定后，我們把樣本觀測(cè)值 代入統(tǒng)計(jì)量，,反映樣本平均取值的情況,反映樣本取值的分散程度,例4.1 某老師為調(diào)查大學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的高等數(shù)學(xué)的期末成績，數(shù)據(jù)如下： 849072738575506986785672866681 908785868786869157698575848587,這是一個(gè)容量為30的樣本觀測(cè)值,反映了學(xué)生高等數(shù)學(xué)成績的平均水平。,反映了學(xué)生高

4、等數(shù)學(xué)成績的分散程度。,4.2.2 抽樣分布,1. 樣本均值的分布,設(shè)總體 ， 為來自總體的樣本，則,記,滿足條件,上側(cè)臨界值,滿足條件,雙側(cè)臨界值,由對(duì)稱性,當(dāng) 時(shí)，可由 查得,可由 查得,4.2.2 抽樣分布,定義：設(shè) 為來自總體 的樣本，則,2. 分布,服從自由度為n的 分布 ，記作,密度函數(shù)為,分布的性質(zhì)：,（1）若 ，則 ，,（2）若 ， 且 相互獨(dú)立，則,（3）若 ，滿足條件 的 稱為上側(cè)臨界值。,上側(cè)臨界值,4.2.2 抽樣分布,例如，查表可得 ， ，其意義為,例4.2,設(shè) 為來自總體 的樣本，令,試求常數(shù)C，使 服從 分布。,解：,且它們是相互獨(dú)立，即,所以C=18,4.2.2

5、 抽樣分布,服從自由度為n的 分布 ，記作,密度函數(shù)為,t分布的性質(zhì)：,（2）當(dāng)n充分大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,3. 分布,定義：設(shè) ， ，且X,Y相互獨(dú)立，則稱,（1）t分布密度函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且,（3）若 ，滿足條件 的 稱為上側(cè)臨界值。,上側(cè)臨界值,滿足條件 的 稱為雙側(cè)臨界值。,當(dāng) 時(shí)，,4.2.2 抽樣分布,F分布的性質(zhì)：,定義：設(shè) ， ，且X,Y相互獨(dú)立，則稱,（4）若 ，滿足條件 的 稱為上側(cè)臨界值,4. 分布,服從第一自由度為 ，第二自由度為 的F分布 ，記作,（1）若 ，則,（2）若 ，則,（3）,上側(cè)臨界值,例如，查表可得 ， ，其意義為,4.3 抽樣分布定理,定理1,設(shè)總體 ， 是來自總體的樣本，,和 分別為樣本均值和（修正）樣本方差則,（1）,（2）,（4）,4.3 抽樣分布定理,（1）,證明：,由于正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合也服從正態(tài)分布，可知,服從正態(tài)分布。,樣本與總體同分布,樣本相互獨(dú)立,4.3 抽樣分布定理,（2