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1、13.3 直接證明與間接證明一、選擇題1.“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù),某奇數(shù)是9的倍數(shù),故該奇數(shù)是3的倍數(shù).”上述推理()A 小前提錯 B 結(jié)論錯C 正確 D 大前提錯解析 大前提,小前提都正確,推理正確,故選C.答案 C 2在用反證法證明命題“已知a、b、c(0,2),求證a(2b)、b(2c)、c(2a)不可能都大于1”時,反證時假設(shè)正確的是()A假設(shè)a(2b)、b(2c)、c(2a)都小于1B假設(shè)a(2b)、b(2c)、c(2a)都大于1C假設(shè)a(2b)、b(2c)、c(2a)都不大于1D以上都不對解析 “不可能都大于1”的否定是“都大于1”,故選B. 答案 B 3下列命題中的假命題是(
2、)A三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60B四面體的三組對棱都是異面直線C閉區(qū)間a,b上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個零點(diǎn)D設(shè)a,bZ,若ab是奇數(shù),則a,b中至少有一個為奇數(shù)解析ab為奇數(shù)a,b中有一個為奇數(shù),另一個為偶數(shù),故D錯誤答案D4命題“如果數(shù)列an的前n項和Sn2n23n,那么數(shù)列an一定是等差數(shù)列”是否成立()A不成立 B成立 C不能斷定 D能斷定解析Sn2n23n,Sn12(n1)23(n1)(n2),anSnSn14n5(n1時,a1S11符合上式)又an1an4(n1),an是等差數(shù)列答案B5設(shè)a、b、c均為正實數(shù),則三個數(shù)a、b、c()A都大于2 B都小于2C至少有一個不大于2
3、D至少有一個不小于2解析a0,b0,c0,6,當(dāng)且僅當(dāng)abc1時,“”成立,故三者不能都小于2,即至少有一個不小于2.答案D 6設(shè)alg 2lg 5,bex(x0),則a與b大小關(guān)系為()Aab Bab Cab Dab解析 alg 2lg 5lg 101,而bexe01,故ab.答案 A7定義一種運(yùn)算“*”:對于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì):(n1)*1n*11,則n*1 ()An Bn1 Cn1 Dn2 解析由(n1)*1n*11,得n*1(n1)*11(n2)*12n. 答案A二、填空題8.用反證法證明命題“若a,bN,ab能被3整除,那么a,b中至少有一個能被3整除”時,假設(shè)應(yīng)為.解析 由反
4、證法的定義可知,否定結(jié)論,即“a,b中至少有一個能被3整除”的否定是“a,b都不能被3整除”.答案 a、b都不能被3整除9要證明“2”可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是_(填序號)反證法,分析法,綜合法答案10設(shè)a,b是兩個實數(shù),給出下列條件:ab1;ab2;ab2;a2b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件是_(填序號) 解析 若a,b,則ab1,但a1,b2,故推不出;若a2,b3,則ab1,故推不出;對于,即ab2,則a,b中至少有一個大于1,反證法:假設(shè)a1且b1,則ab2與ab2矛盾,因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個大于1.答案 11如果abab,則a
5、、b應(yīng)滿足的條件是_ 解析首先a0,b0且a與b不同為0.要使abab,只需(ab)2(ab)2,即a3b3a2bab2,只需(ab)(a2abb2)ab(ab),只需a2abb2ab,即(ab)20,只需ab.故a,b應(yīng)滿足a0,b0且ab.答案a0,b0且ab12若a,b,c是不全相等的正數(shù),給出下列判斷:(ab)2(bc)2(ca)20;ab與ab及ab中至少有一個成立;ac,bc,ab不能同時成立其中判斷正確的是_解析 正確;中ac,bc,ab可能同時成立,如a1,b2,c3.選C.答案 三、解答題13在ABC中,三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若,試問A,B,C是否成等差數(shù)
6、列,若不成等差數(shù)列,請說明理由若成等差數(shù)列,請給出證明解析 A、B、C成等差數(shù)列證明如下:,3.1,c(bc)a(ab)(ab)(bc),b2a2c2ac.在ABC中,由余弦定理,得cosB,0B180,B60.AC2B120.A、B、C成等差數(shù)列14已知非零向量a,b,且ab,求證:.證明abab0,要證.只需證|a|b|ab|,只需證|a|22|a|b|b|22(a22abb2),只需證|a|22|a|b|b|22a22b2,只需證|a|2|b|22|a|b|0,即(|a|b|)20,上式顯然成立,故原不等式得證15若a、b、c是不全相等的正數(shù),求證:lglglglg alg blg c.證明a,b,c(0,),0,0,0.又上述三個不等式中等號不能同時成立abc成立上式兩邊同時取常用對數(shù),得lglg(abc),lglglglg alg blg c.16(12分)已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn),若f(c)0,且0xc時,f(x)0.(1)證明:是f(x)0的一個根;(2)試比較與c的大小;(3)證明:2b1.解析 (1)證明f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn),f(x)0有兩個不等實根x1,x2,f(c)0,x1c是f(x)0的根,又x1x2,x2,是f(x)0的一個根
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