初中平面幾何一題多變

1、.平面幾何一題多變在完成一個數(shù)學(xué)題的解答時，有必要對該題的內(nèi)容、形式、條件、結(jié)論，做進一步的探討，以真正掌握該題所反映的問題的實質(zhì)。如果能對一個普通的數(shù)學(xué)題進行一題多變，從變中總結(jié)解題方法；從變中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變中發(fā)現(xiàn)“不變”，必將使人受益匪淺。“一題多變”的常用方法有：1、變換命題的條件與結(jié)論；2、保留條件，深化結(jié)論；3、減弱條件，加強結(jié)論；4、探討命題的推廣；5、考查命題的特例；6、生根伸枝，圖形變換；7、接力賽，一變再變；8、解法的多變等。19、（增加題1的條件）AE平分BAC交BC于E，求證：CE：EB=CD：CB20、（增加題1的條件）CE平分BCD，AF平分BAC交BC于F求證：

2、（1）BFCE= BEDF （2）AECF （3）設(shè)AE與CD交于Q，則FQBC21、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，以CD為直徑的圓交AC、BC于E、F，求證： CE：BC=CF：AC（注意本題和16題有無聯(lián)系）22、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，以AD為直徑的圓交AC于E，以BD為直徑的圓交BC于F，求證： EF是O1和O2的一條外公切線23、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，作以AC為直徑的圓O1，和以CD為弦的圓O2，求證：點A到圓O2的切線長和AC相等（AT=AC）24、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，E

3、為ACD的中點，連ED并延長交CB的延長線于F，求證：DF：CF=BC：AC25、如圖，O1與O2外切與點D，內(nèi)公切線DO交外公切線EF于點O，求證：OD是兩圓半徑的比例中項。題14解答：因為CD2=ADDB AC2=ADAB BC2=BDAB所以1/AC2+1/BC2=1/（ADAB）+1/（BDAB）=（AD+DB）/（ADBDAB）=AB/ADBDAB=1/ADBD=1/CD215題解答：因為M為AB的中點，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC2-BC2=AD*AB-DB*AB =(AD-DB)AB =2DM*AB26、（在19題基礎(chǔ)上增加一條平行線）已知，

4、ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，F(xiàn)GAB交BC于點G，求證：CE=BG27、（在19題基礎(chǔ)上增加一條平行線）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，F(xiàn)GBC交AB于點G，連結(jié)EG，求證：四邊形CEGF是菱形28、（對19題增加一個結(jié)論）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，求證：CE=CF29、（在23題中去掉一個圓）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，作以AC為直徑的圓O1， 求證：過點D的圓O1的切線平分BC30、（在19

5、題中增加一個圓）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，AE平分BAC交BC于E，交CD于F，求證：CED平分線段AF31、（在題1中增加一個條件）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，A=30度，求證：BD=AB/4（滬科版八年級數(shù)學(xué)第117頁第3題）32、（在18題基礎(chǔ)上增加一條直線）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，作BCE=BCDP為AC上任意一點，直線PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N求證：PQ/PN=QM/MN32題證明：作NSCD交直線AC與點S，則PQ/PN=CQ/SN又BCE=BCDQM/MN=CQ/CN（三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定

6、理）BCE+NCS=BCD +ACDNSCD，NSC=ACDNSC=NCSSN=CNPQ/PN=QM/MN題33在“題一中”，延長CB到E，使EB=CB，連結(jié)AE、DE，求證：DEAB= AEBE題33證明CB2= BDAB因EB=CBEB2= BDABEB：BD=AB：BE又EBD=ABEEBDABEEB：AB=DE：AEDEAB= AEBE題34（在19題基礎(chǔ)上增加一條垂線）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，AE平分CD于F，EGAB交AB于點G，求證：EG2= BEEC證明：延長AC、GE，設(shè)交點為H，EBGEHCEB：EH=EG：ECEHEG= BEEC又HGCD，C

7、F=FDEH=EGEG2= BEEC題35（在題19中增加點F）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，AE平分BCA交BC于點E，交CD于F，求證：2CFFD = AFEF題36、（在題16中，減弱條件，刪除ACB=90度這個條件）已知，ABC中， CDAB，D為垂足，DEAC于E，DFBC于F，求證：CE/BC=CF/AC題37（在題17中，刪除ACB=90度和CDAB，D為垂足這兩個條件，增加D是AB上一點，滿足ACD=ABC）已知，ABC中，D是AB上一點，滿足ACD=ABC，又CE平分BCD求證：AE2= ADAB題38已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，

8、PC為ABC的切線求證：PA/AD=PB/BD 題39（在題19中點E“該為E為BC上任意一點”）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，E為BC上任意一點，連結(jié)AE，CFAE，F(xiàn)為垂足，連結(jié)DF，求證：ADFAEB題40：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足求證：SADC：SBDC=AD：DB題41已知，如圖，ABC中， CDAB，D為垂足，且AD/CD=CD/BD， 求ACB的度數(shù)。題42 已知，CD是ABC的AB邊上的高， D為垂足，且AD/CD=CD/BD， 則ACB一定是90度嗎？為什么？題43：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，ADC的內(nèi)

9、切圓O1，BDC的內(nèi)切圓O2，求證：SO1：SO2=AD：DB題44：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，ADC的內(nèi)切圓O1的半徑R1，BDC的內(nèi)切圓O2的半徑R2，ABC的內(nèi)切圓O的半徑R，求證：R1+R2+R=CD 題45、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，作以AC為直徑的圓O1，和以BD為直徑的圓O2，設(shè)O1和O2在ABC內(nèi)交于P求證： PAD的面積和PBC的面積相等題45解：CAP=CDP=DBP（圓周角、弦切角）RtAPCRtBPDAPPD= BPPC又APD和CPB互補（APC+BPD=180度）S PAD=1/2APPDsinAPDS PBD=1

10、/2BPPCsinCPBS PAD= S PBD題46（在題38的基礎(chǔ)上變一下）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，PC為ABC的切線，又CE平分ACB交ABC與E，交AB與D ， 若PA=5，PC=10，求 CDCE的值題47在題46中，求sinPCA題48（由題19而變）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，AE平分ACB交BC于E，EGAB交AB于點G，求證：（1）AC=AG（2）、AG2= ADAB（3）、G在DCB的平分線上（4）、FGBC（5）、四邊形CEFG是菱形題49題49解答：題目50（題33再變）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂

11、足，延長CB到E，使EB=CB，連結(jié)AE交CD的延長線于F，如果此時AC=EC，求證： AF= 2FE題50解：過點E作EMCF，M為垂足，則AD：DB=AC2：CB2=4：1又DB：EM=1：2所以，AD：EM=2：1ADFEMFAF：EF=AD：EM=2：1AF=2EF題目51（題50中連一線）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，延長CB到E，使EB=CB，連結(jié)AE交CD的延長線于F，連結(jié)FB，如果此時AC=EC，求證： ABC=EBF（題51的幾種解法）解法1、作ACB的平分線交AB于點G，易證ACGCEFCG=EF證CBGEBFABC=EBF題51解法2作ACB的平分線

12、交AB于點G，交AE于點P，則點G 為ACE的垂心，GFCE又AEC=GCE，四邊形CGFE為等腰梯形CG=EF再證CBGEBFABC=EBF題51解法3作ACB的平分線交AB于點G，交AE于點P，則點G 為ACE的垂心，易證APGCPF（AAS）PG=PF又GPB=FPB，PB=PBPBGFBP（SAS）PBG=FBPABC=EBF題51解法4（原題圖）由題50得，AF=2EFAF：EF=AC：BE=2又CAF=BEF=45度ACFEBFACF=EBF又ACF=CBAABC=EBF題51解法5作MECE交CD的延長線于M，證ABCCME（ASA）ABC=M再證MEFBEF（SAS）EBM=M

13、ABC=EBF題51解法6作點B關(guān)于點C的對稱點N，連結(jié)AN，則NB=2BE，又由題50，AF=2EF，BFANEBM=N又ABC=N（對稱點）ABC=EBF題51解法7過點C作CHBF交AB于M，B為CE的中點， F為HE的中點又由題50，AF=2EF，H為AF的中點又CHBFM為AB的中點MCB=MBC又EBM=MCBABC=EBF題目52（題50、51結(jié)論的引伸）已知，ABE中，AC=EC，ACE=90度，CDAB交斜邊AB于F，D為垂足，B為CE的中點，連結(jié)FB， 求證：（1）、AF=2EF（2）、ABC=EBF（3）、EBF= E+BAE（4）、ABF=2DAC（5）、AB：BF=A

14、E：EF（6）、CD：DF=AE：AF（7）、AD：DB=2AF：EF（8）、CD/DFFA/AEEB/BC=1題目53 （題52的一部分） 已知如圖，、AC=CE、ACCE、CB=BE、CFAB求證：、AF=2EF、ABC=EBF（題53的14個逆命題中，是真命題的請給出證明）題目54（題53的逆命題1）已知如圖，、AF=2EF、ACCE、CB=BE、CFAB求證：、AC=CE、ABC=EBF平面幾何一題多變題目55（題53的逆命題2）已知如圖，、AC=CE、AF=2EF、CB=BE、CFAB求證：、ACCE、ABC=EBF題目56（題53的逆命題3）已知如圖，、AC=CE、ACCE、AF=

15、2EF、CFAB求證：、CB=BE、ABC=EBF題目57（題53的逆命題4）已知如圖，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、CB=BE求證：、CFAB、ABC=EBF題目58（題53的逆命題5）已知如圖，、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、CFAB求證：、AF=2EF、AC=CE題目59（題53的逆命題6）已知如圖，、AC=CE、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求證：、AF=2EF、ACCE題目60（題53的逆命題7）已知如圖，、AC=CE、ACCE、ABC=EBF、CFAB求證：、AF=2EF、CB=BE題目61（題53的逆命題8）已知如圖，、AC=CE、ACCE、CB=BE、AB

16、C=EBF求證：、AF=2EF、CFAB題目62（題53的逆命題9）已知如圖，、AF=2EF、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求證：、AC=CE、ACCE題目63（題53的逆命題10）已知如圖，、ACCE、AF=2EF、CFAB、ABC=EBF求證：、AC=CE、CB=BE題目64（題53的逆命題11）已知如圖，、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、AF=2EF求證：、AC=CE、CFAB題目65（題53的逆命題12）已知如圖，、AC=CE、AF=2EF、CFAB、ABC=EBF求證：、ACCE、CB=BE題目66（題53的逆命題13）已知如圖，、AC=CE、AF=2EF、CB=BE、A

17、BC=EBF求證：、ACCE、CFAB題目67（題53的逆命題14）已知如圖，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、ABC=EBF求證：、CB=BE、CFAB題目68已知如圖，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，CM平分ACB，如果SACM=30，SDCM=6，求SBCD=？（題68解答）解：設(shè)SBCD=x,則SACM/ SCMB=30/（6+ x）=AM/MBSACD/ SCDB=36/ x=AD/DB又AC2= ADABBC2= BDABAC2/ BC2=AD/BDCM平分ACB（AM/ BM）2=AD/BD30/(6+x)2=36/x解方程得x=4或x=9SBCD=4或SBCD

18、=9題目69已知如圖，ABC中，ACB=90度，D 為斜邊AB上一點，滿足AC2= ADAB求證：CDAB題目70已知如圖，ABC中，ACBC,ACB=90度，CM平分ACB，且CM+CB=AC，求證：1/AC-1/BC=2 題70證明：過點M作MDBC，D為垂足，作MDAC，E為垂足，設(shè)ME=x,AC=b,BC=a,則CM=2 x，AE=b-x,由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a,x=ab/(a+b)又CM+CB=AC2 x+a=b,ab/(a+b)=(b-a)/ 2整理得：b2-a2=2ab兩邊都除以ab,1/AC-1/BC=2題目71(依題68變)已知如圖，ABC中（AC

19、BC），ACB=90度，CDAB，D為垂足，CM平分ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的兩個根，求AD、MD的長。題目71解：顯然，方程x2-14x+48=0的兩根為6和8，又ACBCAC=8，BC=6由勾股定理AB=10ACDABC，得AC2= ADABAD=6.4CM平分ACBAM/MB=AC/CB解得，AM=40/7MD=AD-AM=24/35題目72已知如圖，ABC中，ACB=90度，AB=2AC，現(xiàn)在將它折成如右圖的形狀，這時頂點A正好落在BC上，而且AMN是正三角形，求AMN與ABC的面積之比。題72解：ACB=90度，AB=2ACB=30度由題意，四邊形AMAN是菱

20、形，ABMABCAM/AC=BM/AB設(shè)AM=x, AB=2AC=2ax/a=(2a-x)/2ax=2a/3由三角形面積公式，得SAMN：SABC=2：9題目73已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足求證：AB+CDAC+BC題73的證明：由三角形面積公式，得ABCD=ACBC2ABCD=2ACBC又勾股定理，得AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性質(zhì))AB2+2ABCD =（AC+BC）2AB2+2ABCD+CD2 （AC+BC）2(AB+CD)2 （AC+BC）2又AB、CD、AC、BC均大于零AB+CDAC+BC題目74已知，ABC中，

21、ACB90度，CDAB，D為垂足求證：AB+CDAC+BC題74證明：如圖，作CBAC交AB于B,于是有ABCD=ACBC2ABCD=2ACBC又勾股定理，得AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性質(zhì))AB2+2ABCD =（AC+BC）2AB2+2ABCD+CD2 （AC+BC）2(AB+CD)2 （AC+BC）2又AB、CD、AC、BC均大于零AB+CDAC+BC在ABB中,BBCB-CB+得AB BB+CDAC+BC CB-CBAB+CDAC+BC題目75已知如圖，ABC中， CDAB，D為垂足，CT平分ACB，CM為AB邊上的中線，且ACD=DCT

22、=TCM=MCB求證：ACB=90度題目75的證明：延長CT交三角形ABC的外接圓于N，連結(jié)MN，則N為弧AB的中點，所以MNAB，又CDAB，MNCDDCT=TNM又DCT=TCMTCM=TNMCM=NMCN的垂直平分線必過點M，又CM為AB邊上的中線，MNABAB的垂直平分線必過點M，即M為兩條弦的垂直平分線的交點，M為三角形ABC的外接圓的圓心，因此AB為ABC的外接圓的直徑。ACB=90度題目76已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，ACB 的平分線CG交AB邊上的中垂線于點G ， 求證：MC=MG 題目77已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，CM為AB邊

23、上的中線，CD是ACB 的平分線，AC=75cm, BD=80cm,求CD、CM、CE的長題目78已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，E為ABC上一點，且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，求證：AM=CM題目79（題78再變）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，E為ABC上一點，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，連結(jié)BE求證：BG2= ABBE- AGGE題目80已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，E為ABC上一點，且直線DC于直線BE交于P，求證：CD2= DMDP題目81已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，E為ABC上一點，

24、且直線DC于直線BE交于P，如果CD平分AE，求證： 2DMDP= BEEP題目82已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，E為ABC上一點，且弧AC=弧CE，又直線AC與直線BE交于H，求證： AB=BH題目83(由題44變)求證：直角三角形兩條直角邊的和等于斜邊與內(nèi)切圓直徑的和。題目84已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，MN切ABC與C點求證： BC平分DCN題目85已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，MN切ABC與C點，AFMN，F(xiàn)為垂足，AEMN，E為垂足，求證：CD=CE=CF 題目86已知，ABC中，ACB=90度， 以BC為直徑的圓交

25、AB于點D，以AC為半徑的圓交AB于點E， 求證：BCE=DCE題目87（由題38圖而變）求證：和兩定點距離之比等于定比（不為1）的點的軌跡是一個圓周。（提示：從（1）完備性、（2）純粹性 兩方面來證明。）題目88作圖題：已知兩線段之和及積，求作這兩條線段。已知：兩線段m和n求作：兩線段x及y,使x+y=m，xy=n2補個圖（題88作法參考）AD、BD即為求作線段x、y題目89（由題88變）已知梯形ABCD如圖，求作一直線平行于梯形的底邊，且平分面積。題目90利用下圖，證明：兩個正數(shù)之和為定值，則這兩個數(shù)相等時乘積最大。題目89作法：如圖，作兩腰的延長線交于點O，作PBAB使PB=OA，連結(jié)O

26、P，以O(shè)P為直徑作半圓M，由圓心M作MNOP，交半圓于點N，再以O(shè)為圓心ON為半徑畫弧交AB于點E，作EFBC交CD于F，則EF即為所求線段。 題91(題73變)設(shè)a、b、c、d都是正數(shù)，滿足a/b=c/d,且a最大，求證：a+db+c題92（人教版數(shù)學(xué)八年級下114頁）在RtABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，ACD=3BCD，E是斜邊AB的中點，ECB是多少度？題93（題49變）已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且A、B都是銳角，求A/2+B的值。題目93解：（構(gòu)造法）分別以17、13為邊作ABC，使AC=17，BC=13，CD為AB邊上的高，在RtADC中，AD=17 cosA，在RtBDC中，BD=13 cosB，CD=17sinA=13sinB而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17，AC=AB, B=ACB,A+2B=180度A/2+B=90度。題94已知如圖，ABC的C的平分線交AB于D，交ABC的外接圓于E，若CDCE等于ABC面積的2倍求證：ACB=90度題目95已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，CM平分ACB 交AB于M，若ACBC求證：DCM=1/2（B-A）題目96已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D為垂足，CE為AB邊