河北省衡水中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)玄調(diào)考試試題理含解析

1、河北省衡水中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)小二調(diào)考試試題 理（含解析）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)集合的交集運(yùn)算，得到的值.【詳解】集合，集合所以.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.2.設(shè)函數(shù)滿足，則的圖像可能是a. b. c. d. 【答案】b【解析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì)由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可知b，d符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng)d的圖

2、像的最小正周期是4，不符合，選項(xiàng)b的圖像的最小正周期是2，符合，故選b3.若函數(shù)在處的切線方程為，則，的值為( )a. 2,1b. -2，-1c. 3,1d. -3，-1【答案】c【解析】【分析】將代入切線方程得到切點(diǎn)，將切點(diǎn)代入到解析式中，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入，得到切線斜率，得的值.【詳解】將代入切線，得到切點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入到函數(shù)解析式中，得到，所以，求導(dǎo)得，代入得，所以，得.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的切線求參數(shù)的值，屬于簡(jiǎn)單題.4.已知命題：使，命題：，則命題成立是命題成立的( )條件a. 充分不必要b. 必要不充分c. 充要d. 既不充分也

3、不必要【答案】c【解析】【分析】根據(jù)命題和命題，分別得到的范圍，從而得到答案.【詳解】命題：使，則，所以設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，所以，命題：，可得所以命題成立是命題成立的充要條件.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域，判斷充分必要條件，屬于簡(jiǎn)單題.5.已知，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】令，得，分和進(jìn)行討論，利用零點(diǎn)存在定理，得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到答案.【詳解】要求與的交點(diǎn)，則令，設(shè)，即求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，解得，（舍），所以時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，而，由零點(diǎn)存在定理可知在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，有

4、且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖像交點(diǎn)與零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，根據(jù)零點(diǎn)存在定理求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，屬于中檔題.6.已知函數(shù)，則定積分的值為( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)積分定義，將積分區(qū)間分為兩段分別求：左段可根據(jù)微積分基本定理求得積分值，右段根據(jù)幾何意義求得積分值，兩個(gè)部分求和即可【詳解】因?yàn)樗?的幾何意義為以為圓心，以為半徑的圓，在x軸上方的部分因而 所以所以選a【點(diǎn)睛】本題考查了積分的求法，微積分基本定理的應(yīng)用及利用幾何法求積分值，屬于中檔題7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為( )a. b. c. d.

5、【答案】a【解析】【分析】令，這樣原不等式可以轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，并結(jié)合已知條件，可以判斷出的單調(diào)性，利用單調(diào)性，從而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【詳解】解:令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，故選a.【點(diǎn)睛】本題考查了利用轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造函數(shù)法、求導(dǎo)法解決不等式解集問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力.8.若函數(shù)為偶函數(shù)，且時(shí)，則不等式的解集為( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意得到關(guān)于成軸對(duì)稱，得到再利用導(dǎo)數(shù)，得到時(shí)的單調(diào)性，從而得到不等式的解集.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)為偶函數(shù)，所以可得關(guān)于成軸對(duì)稱，所以，當(dāng)時(shí)，所以設(shè)，則，當(dāng)，單調(diào)遞減，即，所以在上單調(diào)遞減

6、，在上單調(diào)遞增，所以不等式的解集為.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性解不等式，屬于中檔題.9.設(shè)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由比較，的大小，利用中間量比較,，從而得解.【詳解】，.，.又，即.故選d【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解題的關(guān)鍵是找到合適的中間量進(jìn)行比較大小，屬于難題.10.已知函數(shù)，若有且只有兩個(gè)整數(shù)，使得，且，則a的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】令，可得，原問題轉(zhuǎn)化為直線有且只有兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)處的函數(shù)值大于函數(shù)的值，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的

7、不等式組，求解不等式組即可確定a的取值范圍.【詳解】令，則：，設(shè)，故，由可得，在上，為減函數(shù)，在上，為增函數(shù)，的圖像恒過點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出，的圖像，如圖所示，若有且只有兩個(gè)整數(shù)，使得，且，則，即，解得：.故選d.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，直線恒過定點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11.設(shè)定義在上的奇函數(shù)滿足：對(duì)任意的，總有，且當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 （ ）a. 6b. 9c. 12d. 13【答案】c【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以必有f（0）=0由 ，易得： ，故函數(shù)周期為8，f（0）=f（-8）=f（8）=0當(dāng)時(shí)，有

8、唯一零點(diǎn).又函數(shù)為奇函數(shù)且周期為8，易得：f（）=f（- ）=f(-8)=f(+8)=f(- +8)=f(- +16)當(dāng)x=-4時(shí)，由 知 ，又f（x）為奇函數(shù)，可得f(4)=0,從而可知f(4)=f（-4）=f（12）.所以共有12個(gè)零點(diǎn)故選c 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題.函數(shù)零點(diǎn)問題有兩種解決方法，一個(gè)是利用二分法求解，另一個(gè)是化原函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)來求解.注意定義在上的奇函數(shù)，必有f（0）=0；定義在上的奇函數(shù)且周期為t，則有f（）=0.12.“互倒函數(shù)”的定義如下：對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)，都有成立，若現(xiàn)在已知函數(shù)是定義域在的“互倒函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，成立.若函數(shù)（）都恰有兩個(gè)不

9、同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)是“互倒函數(shù)”，得到解析式，從而畫出的圖像，將問題等價(jià)于等價(jià)于有兩個(gè)不等的實(shí)根，分為，幾種情況討論，設(shè)，先研究的解，再研究的解，從而得到的范圍.【詳解】函數(shù)是定義域在的“互倒函數(shù)”當(dāng)，則，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，所以，所以，函數(shù)都恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不等的實(shí)根，作出的大致圖像，如圖所示，可得，.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解，其中，無(wú)解，有兩個(gè)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，由得，由圖可知此時(shí)有四個(gè)解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解，其中，由圖可知此時(shí)有四個(gè)解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，由圖可知有兩個(gè)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得無(wú)解

10、，不符合題意.綜上所述，或符合題意，而，所以解得或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查符合函數(shù)的值域，函數(shù)與方程，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的范圍，考查了邏輯思維能力和運(yùn)算能力，分類討論的思想，屬于難題.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知指數(shù)函數(shù)在上為減函數(shù)；，.則使“且”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一元二次不等式有解得出命題和，然后取交集即可.【詳解】解：由函數(shù)在上為減函數(shù)，故，即所以命題由，得有解，故，即所以命題因?yàn)椤扒摇睘檎婷}所以、都是真命題所以故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，

11、一元二次不等式能成立問題，復(fù)合命題的真假性，屬于基礎(chǔ)題.14.數(shù)學(xué)老師給出一個(gè)函數(shù)，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)各說出了這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)：甲：在 上函數(shù)單調(diào)遞減；乙：在上函數(shù)單調(diào)遞增；丙：在定義域r上函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；?。翰皇呛瘮?shù)的最小值老師說：你們四個(gè)同學(xué)中恰好有三個(gè)人說的正確那么，你認(rèn)為_說的是錯(cuò)誤的【答案】乙【解析】【分析】根據(jù)四位同學(xué)的回答，不妨假設(shè)其中的任何三個(gè)同學(xué)回答正確，然后推出另一位同學(xué)的回答是否正確來分析，體現(xiàn)了反證法的思想.【詳解】如果甲、乙兩個(gè)同學(xué)回答正確，因?yàn)樵谏虾瘮?shù)單調(diào)遞增，所以丙說：在定義域r上函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱是錯(cuò)誤的，此時(shí)是函數(shù)的最小值，所以丁的回答也是錯(cuò)

12、誤的，與四個(gè)同學(xué)中恰好有三個(gè)人說的正確矛盾，所以應(yīng)該是甲、乙兩個(gè)同學(xué)有一個(gè)回答錯(cuò)誤，此時(shí)丙正確，則乙就是錯(cuò)誤的.故答案為乙.【點(diǎn)睛】本題利用函數(shù)的性質(zhì)考查邏輯推理能力和反證法思想，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.15.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的值是_.【答案】0【解析】【分析】通過導(dǎo)數(shù)，分別研究和的單調(diào)性和最值，得到，從而得到，得到，從而得到的值.【詳解】，所以時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；所以.，所以時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.而存在唯一實(shí)數(shù)，使得，所以可得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)

13、的值，屬于中檔題.16.已知方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)的圖象，設(shè)，將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布進(jìn)行求解即可【詳解】函數(shù)，由得，得或，此時(shí)為增函數(shù)，由得，得，此時(shí)為減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，當(dāng)，且，作出函數(shù)的圖象如圖：設(shè)，則當(dāng)時(shí) 方程有3個(gè)根，當(dāng)時(shí) 方程有2個(gè)根，當(dāng)或時(shí) 方程有1個(gè)根，則方程等價(jià)為，若恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)為有兩個(gè)不同的根，當(dāng)，方程不成立，即，其中或，設(shè)，則滿足，得，即，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要

14、考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)，.(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)得到，代入，得到切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)，得到切線方程；（2）根據(jù)題意，得到，然后利用參變分離，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到的最小值，從而得到的范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以函?shù)，所以，即切點(diǎn)為所以，代入，得到，故所求的切線方程為，即.（2）對(duì)任意的，恒成立，可得，對(duì)任意的，恒成立，令得或，所

15、以時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，而，所以，所以，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以，對(duì)任意的恒成立，設(shè)，則，設(shè)，因?yàn)椋?，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，,單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，為，所以.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在一點(diǎn)的切線，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.18.某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本c（x）萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬(wàn)件時(shí)，c（x）=x2+2x（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬(wàn)件時(shí)，c（x）=6x+1nx+

16、17（萬(wàn)元）已知每件產(chǎn)品售價(jià)為6元，假若該同學(xué)生產(chǎn)的產(chǎn)m當(dāng)年全部售完（1）寫出年利潤(rùn)p（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤(rùn)=年銷售收人固定成本流動(dòng)成本（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？（取e320）【答案】(1) (2) 當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為11萬(wàn)元【解析】【分析】（1）根據(jù)年利潤(rùn)=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0x7和當(dāng)x7兩種情況得到p（x）與x的分段函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)0x7時(shí)根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來求l的最大值，當(dāng)x7時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求p（x）的最大值，最后綜合即可【

17、詳解】（1）產(chǎn)品售價(jià)為6元，則萬(wàn)件產(chǎn)品銷售收入為萬(wàn)元.依題意得，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，最大值為（萬(wàn)元）. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取最大值（萬(wàn)元），當(dāng)時(shí)，取得最大值萬(wàn)元，即當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為11萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)式的求法，考查年利潤(rùn)的最大值的求法，考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題19.若函數(shù)，為常數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間； 時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減

18、區(qū)間為；(2).【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分和進(jìn)行討論，研究的正負(fù)情況，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可得，利用韋達(dá)定理，得到，從而對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到，再利用導(dǎo)數(shù)得到的范圍，從而得到的范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?dāng)，所以，的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間； 當(dāng)時(shí)，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）因有兩個(gè)極值點(diǎn)為，不等式恒成立，所以，且，故所以，設(shè)函數(shù)，所以單調(diào)遞減，所以，所以得到，的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.20.若定義在上的函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，滿

19、足，則稱比更接近.當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說明理由.【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）比更接近，理由見解析.【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分和進(jìn)行討論，研究的正負(fù)情況，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究出和在的單調(diào)性和正負(fù)情況，分和進(jìn)行討論，得到和的大小關(guān)系，從而得到答案.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得到，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得到，所以時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）設(shè)，所以，所以在時(shí)單調(diào)遞減，又因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.而，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增

20、，即在上單調(diào)遞增，而，所以時(shí)，所以在時(shí)單調(diào)遞增，且，所以.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則所以在單調(diào)遞減，.又因?yàn)?，所以，所以所以比更接?當(dāng)時(shí)， ，設(shè)，則，設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以比更接近.綜上所述，當(dāng)且時(shí)，比更接近.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，構(gòu)造函數(shù)解決不等式問題，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.21.已知函數(shù)，.（1）若，求實(shí)數(shù)取值的集合；（2）證明：【答案】（1）.（2）見證明【解析】【分析】（1）,討論當(dāng)和時(shí)函數(shù)單調(diào)性求最小值即可求解；（2）由（1），可知當(dāng)時(shí)，即在恒成立. 要證，只需證當(dāng)時(shí)，.構(gòu)造，證明即可【詳解】（1）由已知，有. 當(dāng)時(shí)，與條件矛盾；當(dāng)時(shí)，若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增. 在上有最小值 由題意，.令.