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1、第二章:,1.1,1.問題的引入:,.,(1)在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸,我們仰望夜空,會(huì)有無限遐想,不禁會(huì)問,月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢?科學(xué)家們是怎樣測(cè)出來的呢?,(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸, 只給你米尺和量角設(shè)備,不過河你可以測(cè)出它們之間的距離嗎?,A,B,我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問題的有力工具.,回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系?,兩等式間有聯(lián)系嗎?,思考:,對(duì)一般的三角形,這個(gè)結(jié)論還能成立嗎?,2.定理的推導(dǎo),1.1 正弦定理,(1)當(dāng) 是銳角三角形時(shí),結(jié)論是否還成立呢?,D,如圖:作AB上的高是CD,根椐三角形的定義,得到,1.1 正弦定理,E,(2)當(dāng) 是鈍角
2、三角形時(shí),以上等式是否仍然成立?,1.1.1 正弦定理,D,(1)文字?jǐn)⑹?正弦定理:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角 的正弦的比相等.,(2)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),(3)方程的觀點(diǎn),正弦定理實(shí)際上是已知其中三個(gè),求另一個(gè).,能否運(yùn)用向量的方法來證明正弦定理呢?,和諧美、對(duì)稱美.,正弦定理:,因?yàn)橄蛄?與 在y軸上的射影均為 ,,如圖所示,以A為原點(diǎn),以射線AB的方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐標(biāo)系,C點(diǎn)在y軸上的射影為C,,即,所以,即,所以,若A為銳角或直角,也可以得到同樣的結(jié)論.,同理,,變式:,正弦定理 在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即,剖析定理、加深理解,1、A+B+C=,2、大角對(duì)大邊
3、,大邊對(duì)大角,剖析定理、加深理解,3、正弦定理可以解決三角形中的問題:,已知兩角和一邊,求其他角和邊,已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊 的對(duì)角,進(jìn)而可求其他的邊和角,剖析定理、加深理解,4、一般地,把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫解三角形,剖析定理、加深理解,5、正弦定理的變形形式,6、正弦定理,可以用來判斷三角形的形狀,其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化,例1 在 已知 , 解三角形.,通過例題你發(fā)現(xiàn)了什么一般性結(jié)論嗎?,小結(jié):知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角和任何一邊,利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。,1.1 正弦定
4、理,3.定理的應(yīng)用舉例,變式:若將a=2 改為c=2,結(jié)果如何?,例 2,已知a=16, b= , A=30 . 解三角形。,已知兩邊和其中一邊 的對(duì)角,求其他邊和角,解:由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,當(dāng)120時(shí),4.基礎(chǔ)練習(xí)題,1.1 正弦定理,B=300,無解,A,分析:如圖所示,將BD,CE分別延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)A,在ABC中,已知BC的長(zhǎng)及角B與C,可以通過正弦定理求AB,AC的長(zhǎng).,例3.某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩(如圖所示),其一角已破損.現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù):BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm, .為了復(fù)原,請(qǐng)計(jì)算原玉佩兩邊的長(zhǎng)
5、(結(jié)果精確到0.01cm).,解:將BD,CE分別延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)A,在ABC中,BC=2.57cm,B=45,C=120, A=180-(B+C)=180-(45+120)=15. 因?yàn)?,所以 利用計(jì)算器算得 AC7.02(cm), 同理,AB8.60(cm).,答:原玉佩兩邊的長(zhǎng)分別約為7.02cm,8.60cm.,例4.臺(tái)風(fēng)中心位于某市正東方向300 km處,正以40 km/h的速度向西北方向移動(dòng),距離臺(tái)風(fēng)中心250 km范圍內(nèi)將會(huì)受其影響.如果臺(tái)風(fēng)風(fēng)速不變,那么該市從何時(shí)起要遭受臺(tái)風(fēng)影響?這種影響持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間(結(jié)果精確到0.1h)?,分析:如圖所示,臺(tái)風(fēng) 沿著BD運(yùn)動(dòng)時(shí),由于|AB|
6、=300 km250 km,所以開 始臺(tái)風(fēng)影響不了城市A,由點(diǎn)A 到臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑BD最小距離 |AE|=|AB|sin45 所以臺(tái)風(fēng)在運(yùn)動(dòng)過程中肯定要影響城市A. 這就要在BD上求影響A的始點(diǎn)C1和終點(diǎn)C2,然后根據(jù)臺(tái)風(fēng)的速度計(jì)算臺(tái)風(fēng)從C1到C2持續(xù)的時(shí)間.,解:設(shè)臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)B向西北方向沿射線BD移動(dòng),該市位于點(diǎn)B正西方向300 km處的點(diǎn)A. 假設(shè)經(jīng)過th,臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)點(diǎn)C,則在ABC中, AB=300 km,AC=250 km,BC=40t km,B=45.,正弦定理 主要應(yīng)用,(1) 已知兩角及任意一邊,可以求出其他兩邊和另一角; (2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,可以求出三角形的其他的
7、邊和角。(此時(shí)可能有一解、二解、無解),1.1 正弦定理,小結(jié):,作業(yè),正弦定理(第二課時(shí)),1、復(fù)習(xí)回顧正弦定理的內(nèi)容,問題1 由例2我們發(fā)現(xiàn),已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,解三角形時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩解的情況.還會(huì)出現(xiàn)其他情況嗎?你能從代數(shù)或幾何角度給出解釋嗎? 提示:已知兩邊及其中一邊的對(duì)角,用正弦定理,可能有兩解、一解或無解.在ABC中,已知a,b和A時(shí),解的情況如下:,探究點(diǎn)2 正弦定理解三角形,1.為銳角,2.為鈍角,為直角時(shí),與為鈍角相同, ab時(shí),一解; ab時(shí),無解.,問題2 如圖所示,在RtABC中,斜邊AB是ABC外接圓的直徑(設(shè)RtABC外接圓的半徑為R),因此,這個(gè)結(jié)論對(duì)于任意三角形(圖,圖)是否成立?,提示:成立,證明如下.,如圖:,當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí),,當(dāng)ABC為直角三角形時(shí),容易得證.,問題3,而,所以,小結(jié):,2、在 中,若 ,則 是( ) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形,1、在 中,一定成立的等式是( ),C,D,3.(2013北京高考)在ABC中,a=3,b=5,sinA=,則sinB=( ),A.,B.,C.,D.1,B,B,6.在 中,c=4,a=2,C= ,則 = _.,5.若A,B,C是ABC的三個(gè)內(nèi)角, 則sinA+sinB_sinC.,通過本節(jié)課的學(xué)習(xí): 1.掌握正弦定理的表示形式及證明正弦定理的向量
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