廣東省惠州市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次調(diào)研考試試題文含解析

1、廣東省惠州市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次調(diào)研考試試題 文（含解析）注意事項(xiàng)：1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填寫在答題卡上.2作答選擇題時，選出每個小題答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.3非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先求集合b，再根據(jù)并集定義求結(jié)果.【詳解】.故

2、選：c【點(diǎn)睛】本題考查集合并集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第（ ）象限a. 一b. 二c. 三d. 四【答案】b【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)乘法求復(fù)數(shù)代數(shù)形式，再確定象限.【詳解】，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的兩個零點(diǎn)是，則（ ）a. 1b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得，再根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)果.【詳解】由韋達(dá)定理可知，則，從而，且，故選：d點(diǎn)睛】本題考查方程與函數(shù)零點(diǎn)關(guān)系以及等比數(shù)列性質(zhì)，

3、考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4.“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】當(dāng)”時，則或此時可能無意義，故不一定成立，而當(dāng)時，則或，“”成立故“”是的一個必要不充分條件故答案選5.已知圓c：上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，=（ ）a. 1b. c. 0d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)圓的對稱性圓心在對稱軸上，通過列方程解得結(jié)果.【詳解】若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則直線經(jīng)過圓心，得.故選：a【點(diǎn)睛】本題考查圓的對稱性，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6.在中，是直線上的一點(diǎn)，若，則=（ ）a. b. c. 1d. 4【答案

4、】b【解析】【分析】先根據(jù)條件化以為基底向量，再根據(jù)平面向量共線定理推論確定參數(shù).【詳解】，又三點(diǎn)共線，所以，得.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線定理推論，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.惠州市某學(xué)校一位班主任需要更換手機(jī)語音月卡套餐，該教師統(tǒng)計(jì)自己1至8月的月平均通話時間，其中有6個月的月平均通話時間分別為520、530、550、610、650、660（單位：分鐘），有2個月的數(shù)據(jù)未統(tǒng)計(jì)出來.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該教師這8個月的月平均通話時間的中位數(shù)大小不可能是（ ）a. 580b. 600c. 620d. 640【答案】d【解析】【分析】先假設(shè)未統(tǒng)計(jì)2個月的數(shù)據(jù)，確定中位數(shù)大小的取值區(qū)間

5、，再判斷選擇.【詳解】當(dāng)另外兩個月的通話時長都小于530（分鐘）時，中位數(shù)為（分鐘），當(dāng)另外兩個月的通話時長都大于650（分鐘）時，中位數(shù)為（分鐘），所以8個月的月通話時長的中位數(shù)大小的取值區(qū)間為.故選：d【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)據(jù)估計(jì)中位數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)為偶函數(shù)，若曲線的一條切線與直線垂直，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得斜率，最后根據(jù)直線垂直關(guān)系得結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，則，設(shè)切點(diǎn)得橫坐標(biāo)為，則解得，（負(fù)值舍去）所以.故選：d【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線

6、垂直關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9.函數(shù)在的圖像大致為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】試題分析：因?yàn)?，故排除a；因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除b；因?yàn)?，分別作出與的圖象，可知極值點(diǎn)在上，故選c考點(diǎn)：1、函數(shù)的圖象；2、函數(shù)的奇偶性；3、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性10.為橢圓上的一個動點(diǎn)，分別為圓與圓上的動點(diǎn)，若的最小值為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】圓外的點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為：點(diǎn)到圓心的距離減去半徑；從而得到兩個不等式，再根據(jù)的最小值，得到關(guān)于的方程，進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)椋『脼闄E圓的兩個焦點(diǎn)，因?yàn)?，所?因?yàn)?，得，所以，則.故

7、選：b.【點(diǎn)睛】本題考查圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最小值，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求解時注意利用不等式結(jié)合最值進(jìn)行運(yùn)算求值.11.已知函數(shù)，對任意，都有，若在上的值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先化簡函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值，解得；再根據(jù)在上的值域確定取值范圍，解得結(jié)果.【詳解】=， ，.故選：a【點(diǎn)睛】本題考查輔助角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.12.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)相等，則不等式恒成立時，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件解得，代入化簡不等式；再將不等式恒成

8、立問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，最后利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值，即得結(jié)果.【詳解】由題得，由已知得為兩個不等實(shí)根，所以，恒成立，恒成立.令，則，當(dāng)，當(dāng)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：a【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空3分，第二空2分.13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n值是_.【答案】6【解析】分析】執(zhí)行循環(huán)，根據(jù)判斷條件判斷是否繼續(xù)循環(huán)，直至跳出循環(huán)輸出結(jié)果.【詳解】結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果：6故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14.已知的內(nèi)角a、b

9、、c所對的邊分別為a、b、c,若，則_【答案】（或120）【解析】【分析】根據(jù)余弦定理直接求解得，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)值得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為_【答案】.【解析】【分析】設(shè)球的半徑為，可知圓柱高為；根據(jù)圓柱表面積和球的表面積公式分別求得表面積，作比得到結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為圓柱的表面積

10、；球的表面積圓柱的表面積與球的表面積之比為本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查圓柱表面積和球的表面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16.設(shè)為不等式組所表示的平面區(qū)域，為不等式組所表示的平面區(qū)域，其中，在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記點(diǎn)在內(nèi)的概率為（）若，則_（）的最大值是_【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】分析：當(dāng)時，時，求出滿足的面積，分別求出滿足面積，利用幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由題意可得，當(dāng)時，滿足的面積為，時，滿足面積為 所以；如圖，當(dāng)取得最大值時，即時最大，當(dāng)時，滿足的面積為，時，滿足面積為 所以；最大值為故答案為， .【點(diǎn)睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾

11、何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時 , 忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，公差為大于0的整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)=4時，取得最小值

12、.（1）求公差及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】（1）=2，（2）272【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得，解不等式得范圍，再根據(jù)為大于0的整數(shù)得的值，最后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)去掉絕對值，再分別根據(jù)對應(yīng)等差數(shù)列求和公式求和，即得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則由題可知：. ，即. 解得.因?yàn)闉檎麛?shù)，=2 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （2）當(dāng)時，；當(dāng)時， .=272 所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為272.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18.如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點(diǎn)是的

13、中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若平面平面，求三棱錐的體積【答案】（1）證明見解析 （2）4【解析】【分析】（1）設(shè)，利用三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；（2）取的中點(diǎn)，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)等體積法以及利用錐體體積公式求結(jié)果.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，則點(diǎn)是的中點(diǎn)又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以， 又因?yàn)槠矫?，平面所以平面?）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以又因?yàn)?，所以三角形是正三角?取的中點(diǎn)，連接，則 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面即是四棱錐的一條高而所以 綜上，三棱錐的體積為4.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理以及錐體體積公式，考查綜合分析論證與

14、求解能力，屬中檔基礎(chǔ)題.19.惠州市某商店銷售某海鮮，經(jīng)理統(tǒng)計(jì)了春節(jié)前后50天該海鮮的日需求量（，單位：公斤），其頻率分布直方圖如下圖所示.該海鮮每天進(jìn)貨1次，每銷售1公斤可獲利40元；若供大于求，剩余的海鮮削價處理，削價處理的海鮮每公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，調(diào)撥的海鮮銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店該海鮮每天的進(jìn)貨量為14公斤，商店銷售該海鮮的日利潤為元.（1）求商店日利潤關(guān)于日需求量的函數(shù)表達(dá)式.（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這50天此商店該海鮮日需求量的平均數(shù).假設(shè)用事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率，請估計(jì)日利潤不少于620元的概率.【答案】（1）（2）15.32公斤 0.4【

15、解析】【分析】（1）根據(jù)條件列分段函數(shù)關(guān)系式，即得結(jié)果；（2）根據(jù)組中值求平均數(shù)，先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定日利潤不少于620元對應(yīng)區(qū)間，再求對應(yīng)區(qū)間概率.【詳解】（1）當(dāng)時當(dāng)時所求函數(shù)表達(dá)式為： （2）由頻率分布直方圖得：海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是 海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是； 這50天商店銷售該海鮮日需求量平均數(shù)為： （公斤）當(dāng)時，由此可令，得所以估計(jì)日利潤不少于620元的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式以及利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和概率，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20.己知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為.（1）當(dāng)時，求的零

16、點(diǎn)；（2）若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）是的零點(diǎn)；（2）【解析】【分析】（1）求得時的，由單調(diào)性及求得結(jié)果.（2）當(dāng)時，易得存在極小值點(diǎn)，再分當(dāng)時和當(dāng)時，令，通過研究的單調(diào)性及零點(diǎn)情況，得到的零點(diǎn)及分布的范圍，進(jìn)而得到的極值情況，綜合可得結(jié)果.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時，.易知為上的增函數(shù)，又，所以是的零點(diǎn).（2）， 當(dāng)時，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意.令，則. 當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增.又，所以在上恰有一個零點(diǎn)，且當(dāng)時，；當(dāng)時，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意. 當(dāng)時，令，得.當(dāng)）時，；當(dāng)時，所以.若，即當(dāng)時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不符合

17、題意.若，即當(dāng)時，所以，即在上恰有一個零點(diǎn)，且當(dāng)時，；當(dāng)時，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意.綜上，可知，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，考查了函數(shù)的極值，單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度21.設(shè)拋物線c:與直線交于a、b兩點(diǎn).（1）當(dāng)取得最小值為時，求的值.（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作兩條直線pm、pn分別交拋物線c于m、n（m、n不同于點(diǎn)p）兩點(diǎn)，且的平分線與軸平行，求證：直線mn的斜率為定值.【答案】（1）（2）證明見解析，定值.【解析】【分析】（1）先確定直線過拋物線焦點(diǎn)，再根據(jù)拋物線定義求，最后根

18、據(jù)最小值求的值；（2）先確定pm、pn的斜率互為相反數(shù)，再設(shè)直線pm方程，與拋物線聯(lián)立解得m坐標(biāo)，類似可得n點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用斜率公式求結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：直線過定點(diǎn)，該點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn). 聯(lián)立，消去得： 設(shè)，有，當(dāng)時，解得（2）證明：由已知可知直線pm、pn斜率存在，且互為相反數(shù)設(shè)，直線pm的方程為.聯(lián)立，消去x整理得：.又4為方程的一個根，所以，得同理可得所以直線mn的斜率為定值. 【點(diǎn)睛】本題考查焦點(diǎn)弦長以及直線與拋物線位置關(guān)系，考查綜合分析求解與論證能力，屬中檔題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.答題時請?jiān)诖痤}卷中寫清題號并將相應(yīng)信息點(diǎn)涂黑.22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，若