概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七章第三節(jié)

1、1,譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計為1000條,若我們能給出一個區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信 N 的真值位于其中. 這樣對魚數(shù)的估計就有把握多了,實際上，N的真值可能大于1000條， 也可能小于1000條,7.3 區(qū)間估計,2,也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，同時給出一個可信程度, 使其他人相信它包含參數(shù)真值,湖中魚數(shù)的真值,這里所說的“可信程度”是用概率來度量的，稱為置信水平(置信度,3,定義：設(shè)總體X的分布類型已知，但有未知參數(shù),對于給定（01), 若由樣本X1,Xn確定的兩個統(tǒng)計量 使,則稱區(qū)間 為 的置信水平為1的置信區(qū)間,4,通常，采

2、用95%的置信水平，有時也取99%或90,注: 1、置信區(qū)間 是一個隨機區(qū)間,它能以足夠大的概率（1- ）套住未知參數(shù)的真值。 2、置信區(qū)間的觀測值, 是一個普通區(qū)間,也稱置信區(qū)間,5,區(qū)間估計 的一般求法,6,樞軸量,僅含有一個未知參數(shù)，但其分布已知的樣本函數(shù)稱為樞軸量,如：設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體,的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有,7,一）單個總體,1) 2已知,1、區(qū)間估計,樞軸量,置信區(qū)間,8,m置信區(qū)間,即得,樞軸量,2) 2未知,令,9,10,求正態(tài)總體均值的置信度為1- 的置信區(qū)間的步驟小結(jié),方差已知,方差未知,1. 由樣本值計算,2. 查標準正態(tài)分布函數(shù)值表得 u

3、1-/2,4. 寫出置信區(qū)間,1. 由樣本值計算,2. 查自由度為n-1的t分布上側(cè)分位數(shù)表得 t1-/2(n-1,3. 計算,4. 寫出置信區(qū)間,3. 計算,11,2、2區(qū)間估計(未知,樞軸量,令,可得,12,s2的置信區(qū)間,可得,s的置信區(qū)間,13,例 某自動包裝機包裝的洗衣粉重量服從正態(tài)分布，今隨機抽查12袋，測得其重量（單位：克）分別為：1001，1004，1003，997，999，1000，1004，1000，996，1002，998，999。求2 的置信度為0.95的置信區(qū)間,解： 未知，2 置信區(qū)間為,1- =0.95, /2 =0.025. 查得,所以, 2 的置信度為0.95

4、 的置信區(qū)間為,14,例 食品廠從生產(chǎn)的罐頭中隨機抽取15個稱量其重量，得樣本方差s2 =1.652（克2 ），設(shè)罐頭重量服從正態(tài)分布，試求其方差的置信水平為90%的置信區(qū)間,15,二）兩個總體,兩樣本獨立,1- 2 的置信區(qū)間,樞軸量,16,樞軸量,其中,2) 未知,1- 2 的置信區(qū)間,17,下限0 上限0 包含 0,認為,沒有顯著差異,18,樞軸量,19,例 為比較、兩種型號步槍子彈的槍口速度，隨機地取型子彈10發(fā)，得槍口速度的平均值為x=500(m/s),標準差 s1=1.10(m/s);隨機地取型子彈20發(fā)，得槍口速度的平均值為y=496(m/s),標準差s2=1.20(m/s).假

5、設(shè)兩總體都近似服從正態(tài)分布，且方差相等. 求兩總體均值差1- 2的一個置信度為0.95的置信區(qū)間,解： 1- 2置信區(qū)間為,故得1- 2的置信度為0.95 的置信區(qū)間為,n1=10,n2=20, 1-=0.95, /2=0.025， t0.975(28)=2.048,置信下限大于0，我們認為1 比2大,20,例 研究由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑，隨機抽取機器A生產(chǎn)的鋼管18只，測的樣本方差s12=0.34(mm2); 抽取機器B生產(chǎn)的鋼管13只，測的樣本方差s22=0.29(mm2). 設(shè)兩總體相互獨立，且分別服從正態(tài)分布N(1, 12) ,N(2, 22) ， 1,2, 12, 22均未知

6、. 求方差比的置信水平為0.90的置信區(qū)間,解： 12/ 22的置信區(qū)間為,故12/ 22的置信度為0.90 的置信區(qū)間為,n1=18,n2=13, 1-=0.90, /2=0.05 F/2(n1-1,n2-1)= F0.05(17,12)= 1/ F0.05(12,17)=1/2.38 F1-/2(n1-1,n2-1)=F0.95(17,12)= 2.59,置信區(qū)間包含1，我們認為12, 22兩者無顯著差別,21,單側(cè)置信區(qū)間,22,又若統(tǒng)計量 滿足,23,例:的單側(cè)區(qū)間估計（2未知,樞軸量,即,1)若,的單側(cè)置信下限,24,即,2) 若,的單側(cè)置信上限,25,例: 2 的單側(cè)區(qū)間估計（ 未知,樞軸量,或,2的單側(cè)置信上、下限分別為,26,設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均值 的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限,例從一批燈泡中隨機抽取5只作壽命試驗，測得壽命X（單位：小時）如下,1050，1100，1120，1250，1280,27,一個正態(tài)總體均值、方差的置信區(qū)間與單側(cè)置信限(P205,置信區(qū)間,待估參數(shù),樞軸量的分布,其它參數(shù),單側(cè)置信限,2,2已知,2未