微積分在物理競(jìng)賽中的應(yīng)用整理-人教版

1、.求解在立體斜面上滑動(dòng)的物體的速度一物體放在斜面上，物體與斜面間的摩擦因數(shù)恰好滿足，為斜面的傾角。今使物體獲得一水平速度而滑動(dòng)，如圖一，求：物體在軌道上任意一點(diǎn)的速度V與的關(guān)系，設(shè)為速度與水平線的夾角。解：物體在某一位置所受的力有：重力，彈力以及摩擦力。摩擦力總是與運(yùn)動(dòng)速度V的方向相反，其數(shù)值重力在斜面上的分力為，如圖二，將分解為兩個(gè)分力：是沿軌跡切線方向的分力， ；是沿軌跡法向的分力，如圖三。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，得運(yùn)動(dòng)方程為 （1） （2）由（1），而得到 （3）式中是t的函數(shù)，但是這個(gè)函數(shù)是個(gè)未知函數(shù)，因此還不能對(duì)上式積分，要設(shè)法在與t中消去一個(gè)變量，才能積分，注意到 （4）而表示曲線在該點(diǎn)

2、的曲率半徑，根據(jù)（2）式， （5）由式（3）（4）（5），可得到，積分，得到，運(yùn)用積分法求解鏈條的速度及其時(shí)間一條勻質(zhì)的金屬鏈條，質(zhì)量為m，掛在一個(gè)光滑的釘子上，一邊長度為，另一邊長度為而且，如圖一。試求：鏈條從靜止開始滑離釘子時(shí)的速度和所需要的時(shí)間。解：設(shè)金屬鏈條的線密度為當(dāng)一邊長度為，另一邊長度為時(shí)受力如圖二所示，則根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，得出運(yùn)動(dòng)方程則因?yàn)?，所以令可以求得鏈條滑離釘子時(shí)的速度大小再由得到積分，得到令x=,可以求得鏈條滑離釘子所需的時(shí)間為求解棒下落過程中的最大速度在密度為的液體上方有一懸掛的長為L,密度為的均勻直棒，棒的下端剛與液面接觸。今剪斷細(xì)繩，棒在重力和浮力的作用下下沉，若

3、，求：棒下落過程中的最大速度。解：剪斷細(xì)繩后，直棒在下沉過程中受到重力和浮力的作用，如圖一所示。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有 （1）隨著棒往下沉，浮力逐漸增大。當(dāng)直棒所受合力為零，即時(shí)，棒的加速度為零，速度最大。設(shè)棒達(dá)到最大速度時(shí)，棒浸入液體中的長度為，設(shè)棒的截面積為S，則有解得， （2）取x坐標(biāo)如圖所示，則（1）式可以寫為做變量代換，令代入上式，得到兩邊積分，得到得到，將（2）式代入（3）式，得棒的最大速度為運(yùn)用微分法求解阻尼平拋質(zhì)量為m的物體，以初速為，方向與地面成角拋出。如果空氣的阻力不能忽略，并設(shè)阻力與速度成正比，即，k為大于零的常數(shù)。求：物體的運(yùn)動(dòng)軌道。解：根據(jù)受力情況，列出牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程

4、其分量式， （1） （2）將代入式（1），得改寫成兩邊積分，得到可見由于空氣阻力的存在，x方向的速度不再是常數(shù)，而隨時(shí)間逐漸衰減。由于再積分，并以t=0時(shí)x=0,代入得到 （3）同理，由于式（2）轉(zhuǎn)化為積分，并以t=0時(shí)，代入，得到可見，y方向的速度也不再是勻減速的。再將上式對(duì)時(shí)間積分，并以t=0時(shí)y=0代入，得到 （4）由（3）（4）兩式消去t,得到有阻力時(shí)的軌道方程顯然由于空氣阻力的作用，拋體的軌道不再是簡(jiǎn)單的拋物線了，實(shí)際軌道將比理想軌道向左下方偏離，如圖一。例如：以初速620m/s,仰角發(fā)射的步槍子彈的射程，沒有空氣阻力時(shí)應(yīng)為40km,而實(shí)際射程只有4km.求解飛機(jī)的滑行距離飛機(jī)以的水

5、平速度觸地滑行著陸?；衅陂g受到空氣的阻力為，升力為，其中V是飛機(jī)的滑行速度。設(shè)飛機(jī)與跑道間的摩擦系數(shù)為，試求：飛機(jī)從觸地到停止所滑行的距離。解：取飛機(jī)觸地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取飛機(jī)滑行方向?yàn)閤軸。飛機(jī)在水平方向上受力為：摩擦力，空氣阻力為；在豎直方向上受力為：重力、支持力和升力如圖一所示，應(yīng)用牛頓第二定律，得到由上兩式消去N，得到利用得到分離變量，積分，得到在飛機(jī)觸地的瞬間，支持力N=0,由運(yùn)動(dòng)方程，得到于是這就是飛機(jī)從觸地到停止所滑行的距離。社（升阻比），。代入數(shù)值計(jì)算后，得到x=221m.求解阻尼自由落體和阻尼豎直上拋的相遇問題兩小球的質(zhì)量均為m，小球1從離地面高度為h處由靜止下落，小球2在小

6、球1的正下方地面上以初速同時(shí)豎直上拋。設(shè)空氣阻力與小球的運(yùn)動(dòng)速率成正比，比例系數(shù)為k(常量)。試求：兩小球相遇的時(shí)間、地點(diǎn)以及相遇時(shí)兩小球的速度。解：兩小球均受重力和阻力作用，取坐標(biāo)如圖一所示，兩小球的運(yùn)動(dòng)方程可統(tǒng)一表示為它們運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的差別僅由于初始條件的不同而引起的，故分離變量對(duì)于小球1，初始條件為時(shí)，故 (1) 對(duì)于小球2，初始條件是t=0時(shí)，故得到 （2）由（1）式，得到積分，得到由式（2）得到積分，得到兩小球相遇時(shí)，相遇時(shí)間為，由（3（4）兩式，得到，故把上述結(jié)果代入（3）或者（4），得到兩小球相遇的地點(diǎn)代入（1）（2），得到兩小球相遇時(shí)的速度討論：（1）當(dāng)阻力很小時(shí)，即當(dāng)時(shí)，利用展開式上述結(jié)果簡(jiǎn)化為這正是不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。（2）當(dāng)考慮如提設(shè)的空氣阻力時(shí)，由上述結(jié)果可知，只在下述條件下或者兩小球才有可能相遇。在非慣性系中求解球環(huán)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況一輕繩的兩端分別連接小球A和小環(huán)B，球與環(huán)的質(zhì)量相等，小環(huán)B可在拉緊的鋼絲上作無摩擦的滑動(dòng)，如圖一?，F(xiàn)使小球在圖示的平面內(nèi)擺動(dòng)。求：小球擺離鉛垂線的最大角度時(shí)小環(huán)和小球的加速度。解：當(dāng)小球擺動(dòng)時(shí)，小環(huán)沿鋼絲做加速運(yùn)動(dòng)。以小環(huán)B