簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題

1、.簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。一、 直棱柱的外接球1、 長(zhǎng)方體的外接球：長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為，則體對(duì)

2、角線長(zhǎng)為，幾何體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng) 即2、 正方體的外接球：正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的體對(duì)角線為，其外接球的直徑為。3、 其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。例1、一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)球的體積為 .例2、已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A. B. C. D.二、 棱錐的外接球1、 正棱錐的外接球方法：球心在正棱錐的高線上，根據(jù)球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離是球半徑，列出關(guān)于半徑的方程。例3、正四棱錐的底面邊長(zhǎng)

3、和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為 .例5、若正四面體的棱長(zhǎng)為4，則正四面體的外接球的表面積為_。例6、一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是：（ ） （A） (B) (C) (D) 2、 補(bǔ)體方法的應(yīng)用（1）、正四面體（2）、三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐（3）、四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐例7、如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4和3，那么它的外接球的體積是 。例9、在三棱錐中，,則三棱錐外接球的表面積_。例10、如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為()A. 4 B. 8 C. 12

4、D. 16三、 圓柱、圓錐的外接球旋轉(zhuǎn)體的外接球，可以通過(guò)研究軸截面求球的半徑。例11、圓柱的底面半徑為4，母線為8，求該圓柱的外接球的半徑。例12、圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4，求該圓錐的外接球的半徑。四、 正方體的內(nèi)切球設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，求（1）內(nèi)切球半徑；（2）與棱相切的球半徑。（1）截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；（2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。圖1圖2五、 棱錐的內(nèi)切球（分割法）將內(nèi)切球的球心與棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)連線，將棱錐分割成以原棱錐的面為底面，內(nèi)切球的半徑為高的小棱錐，根據(jù)分割前后的體積相等，列出關(guān)于半徑R的方程

5、。若棱錐的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為.例17、正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則內(nèi)切球的半徑是多少？例18、三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形， 底面，且，則此三棱錐內(nèi)切球的半徑為（ ）六、 圓柱（軸截面為正方形）、圓錐的內(nèi)切球（截面法）例19、圓錐的高為4，底面半徑為2，求該圓錐內(nèi)切球與外接球的半徑比。例20、圓柱的底面直徑和高都是6，求該圓柱內(nèi)切球的半徑。鞏固訓(xùn)練：ABCPDEF1、一個(gè)正三棱柱恰好有一個(gè)內(nèi)切球(球與三棱柱的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面都相切)和一個(gè)外接球(球經(jīng)過(guò)三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)),則此內(nèi)切球與外接球表面積之比為 。2、如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是_3、棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .4、已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,是邊長(zhǎng)為的正三角形,為球