抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性

1、.抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性一、 抽象函數(shù)的對(duì)稱性定理1. 若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件：f (a+x)=f (bx)，則函數(shù)y=f (x) 的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱。推論1. 若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件：f (a+x)=f (ax) （或f (2ax)= f (x) ),則函數(shù)y=f (x) 的圖像關(guān)于直線x= a 對(duì)稱。推論2. 若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件：f (a+x)=f (ax)， 又若方程f (x)=0有n個(gè)根，則此n個(gè)根的和為na 。定理2. 若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件：f (a+x)+f (bx)=c，（a,b

2、,c為常數(shù)），則函數(shù)y=f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱。推論1.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件：f (a+x)+f (ax)=0，（a為常數(shù)），則函數(shù)y=f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（a ，0）對(duì)稱。定理3.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f (a+x) 與y=f (bx)兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱。定理4.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f (a+x) 與y=cf (bx)兩函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。性質(zhì)1：對(duì)函數(shù)y=f(x),若f(a+x)= f(bx)成立，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（,0）對(duì)稱。性質(zhì)2：函數(shù)y=f(xa)與函數(shù)y=f(ax)的圖象關(guān)于直線

3、x=a對(duì)稱。性質(zhì)3：函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(ax)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱。性質(zhì)4：函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(bx)圖象關(guān)于點(diǎn)（,0）對(duì)稱。二、抽象函數(shù)的周期性定理5.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件f (xa)=f (xb)，則y=f (x) 是以T=ab為周期的周期函數(shù)。定理6.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件f (xa)= f (xb)，則y=f (x) 是以T=2（ab）為周期的周期函數(shù)。定理7.若函數(shù)y=f (x)的圖象關(guān)于直線 x=a與 x=b （ab)對(duì)稱，則y=f (x) 是以T=2(ba)為周期的周期函數(shù)。定理8.若函數(shù)y=f (x)

4、的圖象關(guān)于點(diǎn)（a,0)與點(diǎn)(b,0) , (ab)對(duì)稱，則y=f (x) 是以T=2(ba)為周期的周期函數(shù)。定理9.若函數(shù)y=f (x)的圖象關(guān)于直線 x=a與 點(diǎn)(b,0),(ab)對(duì)稱，則y=f (x) 是以 T=4(ba)為周期的周期函數(shù)。性質(zhì)1：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx) (ab,ab0),則函數(shù)f(x)有周期2(ab)；性質(zhì)2：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)= f(ax)及f(bx)= f(bx)，(ab,ab0),則函數(shù)有周期2(ab).特別：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)=f(ax) （a0）且f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期2a.性質(zhì)3

5、：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)=f(ax)及f(bx)= f(bx) (ab,ab0)，則函數(shù)有周期4(ab).特別：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)=f(ax) （a0）且f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期4a。例1已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為 例2已知函數(shù)是周期為的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，的解析式是 例3. 設(shè)是定義在上以為周期的函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞減，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則下面正確的結(jié)論是 例4.設(shè)是定義在上1已知定義為R的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.如果，且，則的值（ ）.A恒小于0 B恒大于0 C可能為0 D可正可負(fù).例5.在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且.若在區(qū)間上是減函數(shù)，則(

6、 )A.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)例6已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.求的值.13設(shè)（）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱對(duì)任意，都有（）（）（），且f(1)=()求；()證明（）是周期函數(shù)； 練習(xí)： 1.設(shè)偶函數(shù)對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，則 2是定義在上的以為周期的奇函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 3定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，則可能為 4 .已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，則等于( ) 5.函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則 6.已知是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)