線性代數(shù)第10講36279

1、4.2 向量組的線性相關(guān)性,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,補(bǔ)充例題,首頁,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數(shù)k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 則稱向量組A是線性相關(guān)的 否則稱它線性無關(guān) 給定向量組A a1 a2 am 如果不存在不全為零的數(shù)k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0. 則稱向量組A是線性無關(guān)的,4.2 向量組的線性相關(guān)性,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,補(bǔ)充例題,首頁,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數(shù)k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 則稱向量組A是

2、線性相關(guān)的 否則稱它線性無關(guān) 換言之, 給定向量組A a1 a2 am 若 k1a1k2a2 kmam0, 必有k1=k2= km=0,則稱向量組A是線性無關(guān)的,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數(shù)k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 則稱向量組A是線性相關(guān)的 否則稱它線性無關(guān),顯然有 (1)含零向量的向量組必線性相關(guān) (2)一個(gè)向量a線性相關(guān) a0 (3)兩個(gè)非零向量a1 a2線性相關(guān) a1ka2(即對(duì)應(yīng)分量成比例,下頁,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數(shù)k1 k2 km 使 k1a1k2

3、a2 kmam0 則稱向量組A是線性相關(guān)的 否則稱它線性無關(guān),向量組A a1 a2 am(m2)線性相關(guān)向量組A中至少有一個(gè)向量能由其余m1個(gè)向量線性表示,這是因?yàn)?如果向量組A線性相關(guān) 則有 k1a1k2a2 kmam0 其中k1 k2 km不全為0 不妨設(shè)k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam) 即a1能由a2 am線性表示,下頁,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數(shù)k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 則稱向量組A是線性相關(guān)的 否則稱它線性無關(guān),向量組A a1 a2 am(m2)線性相關(guān)向量組A中至少有一個(gè)向量能由其余

4、m1個(gè)向量線性表示,這是因?yàn)?如果向量組A中有某個(gè)向量(不妨設(shè)am)能由其余m1個(gè)向量線性表示 即有1 2 m1 使 am1a12a2 m1am1 于是 1a12a2 m1am1(1)am0 因?yàn)? 2 m1 1不全為0 所以向量組A線性相關(guān),下頁,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數(shù)k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 則稱向量組A是線性相關(guān)的 否則稱它線性無關(guān),下頁,問題: 如何判斷向量組A是否線性表相關(guān),向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 給定向量組A a1 a2 am 如果存在不全為零的數(shù)k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam

5、0 則稱向量組A是線性相關(guān)的 否則稱它線性無關(guān),定理1 向量組A:a1 a2 am線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A(a1 a2 am)的秩小于向量個(gè)數(shù)m 向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)m,這是因?yàn)?向量組A a1 a2 am線性相關(guān) x1a1x2a2 xmam0即Ax0有非零解 R(A)m,下頁,i)(定義)若 k1a1k2a2 kmam0, 必有k1=k2= km=0,給定向量組A a1 a2 am線性無關(guān)的等價(jià)條件,ii)(方程組) Ax0僅有零解,iii)(矩陣) R(A)=m,給定向量組A a1 a2 am線性相關(guān)的等價(jià)條件,i)(定義)存在不全為零的k1,k2,km使

6、得k1a1k2a2 kmam0,ii)(方程組) Ax0有非零解,iii)(矩陣) R(A)m,向量的線性相關(guān)性,a1,a2 ,an 線性相關(guān),方程觀點(diǎn),矩陣觀點(diǎn),向量觀點(diǎn),向量的線性相關(guān)性,a1,a2 ,an 線性無關(guān),方程觀點(diǎn),矩陣觀點(diǎn),向量觀點(diǎn),三個(gè)角度各有長(zhǎng)短，取長(zhǎng)補(bǔ)短，靈活運(yùn)用，舉一反三, 揮灑自如,游刃有余,庖丁解牛 莊子養(yǎng)生主,庖丁為文惠君解牛。手之所觸，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然向然，奏刀騞然，莫不中音：合于桑林之舞，乃中經(jīng)首之會(huì)。文惠君曰：“嘻，善哉！技蓋至此乎？”庖丁釋刀對(duì)曰：“臣之所好者，道也；進(jìn)乎技矣。始臣之解牛之時(shí)，所見無非牛者；三年之后，未嘗見全牛也。方今之

7、時(shí)，臣以神遇而不以目視，官知止而神欲行。依乎天理，批大郤，導(dǎo)大窾，因其固然，技經(jīng)肯綮之未嘗，而況大？乎！良庖歲更刀，割也；族庖月更刀，折也。今臣之刀十九年矣，所解數(shù)千牛矣，而刀刃若新發(fā)于硎。彼節(jié)者有間，而刀刃者無厚；以無厚入有間，恢恢乎其于游刃必有余地矣！是以十九年而刀刃若新發(fā)于硎。雖然，每至于族，吾見其難為，怵然為戒，視為止，行為遲。動(dòng)刀甚微，？然已解，如土委地。提刀而立，為之四顧，為之躊躇滿志；善刀而藏之?！蔽幕菥唬骸吧圃眨∥崧勨叶≈?，得養(yǎng)生焉。,啟示,對(duì)“道”的不懈追求，追求的過程充滿樂趣。 一切事物不管是何等復(fù)雜，都有其自身規(guī)律，循其規(guī)律，不斷探索，反復(fù)實(shí)踐，積累經(jīng)驗(yàn)，終能 “游刃

8、有余,學(xué)習(xí)線性代數(shù)不僅是會(huì)做題目，更重要的學(xué)習(xí) 線性代數(shù)提供的思想和方法，用這些方法指導(dǎo) 你做事。過十年，二十年后，也許題目你 忘記怎么做了，但你學(xué)習(xí)到的思想和方法在你 頭腦中根深蒂固，為你提供強(qiáng)大的思想武器， 使你終生受益。 注意：這些思想方法不通過勤奮學(xué)習(xí)，苦思 冥想是不可能變?yōu)榧河械?設(shè)有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30 即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0 亦即 (x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因?yàn)閍1 a2 a3線性無關(guān) 故有,例1 已知向量組a1 a2 a3線性無關(guān) b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 試證向量組b1 b2

9、b3線性無關(guān),證法一（定義,由于此方程組的系數(shù)行列式,故方程組只有零解 x1x2x30 所以向量組b1 b2 b3線性無關(guān),下頁,把已知的三個(gè)向量等式寫成一個(gè)矩陣等式,例1 已知向量組a1 a2 a3線性無關(guān) b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 試證向量組b1 b2 b3線性無關(guān),證法二（線性方程組,因?yàn)榫仃嘇的列向量組線性無關(guān) 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0 所以矩陣B的列向量組b1 b2 b3線性無關(guān),記作BAK,設(shè)Bx0,以BAK代入得A(Kx)0,下頁,例1 已知向量組a1 a2 a3線性無關(guān) b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 試證向量組b1

10、b2 b3線性無關(guān),證法三 （矩陣的秩,因?yàn)锳的列向量組線性無關(guān) 所以R(A)3 從而R(B)3 因此b1 b2 b3線性無關(guān),因?yàn)閨K|20 知K可逆,所以R(B)R(A,把已知的三個(gè)向量等式寫成一個(gè)矩陣等式,記作BAK,下頁,例2 設(shè)向量組B：b1,b2,br能由向量組A：a1,a2,as 線性表示為 （b1,br)=(a1,.,as)K, 其中K為sr矩陣，且A線性無關(guān).證明B組線性無關(guān)的充要條件是K的秩R(K)r,證明,向量組B線性無關(guān),設(shè)Bx0,A(Kx)0,把(b1,br)=(a1,.,as)K 記作BAK,充分性,A線性無關(guān),Kx0,R(K)r,x0,例2 設(shè)向量組B：b1,b2

11、,br能由向量組A：a1,a2,as 線性表示為 （b1,br)=(a1,.,as)K, 其中K為sr矩陣，且A線性無關(guān).證明B組線性無關(guān)的充要條件是K的秩R(K)r,證明,BAK,R(K)R(B,把b1,br)=(a1,.,as)K 記作BAK,必要性,B線性無關(guān),rR(K,R(K)r,R(B)=r,R(K)r,定理2 (1)若向量組A a1 a2 am線性相關(guān) 則向量組B a1 a2 am am1也線性相關(guān) 反之 若向量組B線性無關(guān) 則向量組A也線性無關(guān),這是因?yàn)?記A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有 R(B)R(A)1 若向量組A線性相關(guān) 則有R(A)m 從而

12、R(B)R(A)1m1 因此向量組B線性相關(guān),下頁,定理2 (1)若向量組A a1 a2 am線性相關(guān) 則向量組B a1 a2 am am1也線性相關(guān) 反之 若向量組B線性無關(guān) 則向量組A也線性無關(guān),這個(gè)結(jié)論可一般地?cái)⑹鰹?一個(gè)向量組若有線性相關(guān)的部分組 則該向量組線性相關(guān) 一個(gè)向量組若線性無關(guān) 則它的任何部分組都線性無關(guān),特別地 含零向量的向量組必線性相關(guān),下頁,定理2 (1)若向量組A a1 a2 am線性相關(guān) 則向量組B a1 a2 am am1也線性相關(guān) 反之 若向量組B線性無關(guān) 則向量組A也線性無關(guān),2)m個(gè)n維向量組成的向量組 當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān) 特別地 n1個(gè)n

13、維向量一定線性相關(guān),這是因?yàn)?m個(gè)n維向量a1 a2 am構(gòu)成矩陣 Anm(a1 a2 am) 有R(A)n,若nm 則R(A)nm,故m個(gè)向量a1 a2 am線性相關(guān),下頁,定理2 (1)若向量組A a1 a2 am線性相關(guān) 則向量組B a1 a2 am am1也線性相關(guān) 反之 若向量組B線性無關(guān) 則向量組A也線性無關(guān),2)m個(gè)n維向量組成的向量組 當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān) 特別地 n1個(gè)n維向量一定線性相關(guān),3)設(shè)向量組A a1 a2 am線性無關(guān) 而向量組B a1 a2 am b線性相關(guān) 則向量b必能由向量組A線性表示 且表示式是唯一的,這是因?yàn)?記A(a1 a2 am) B

14、( a1 a2 am b) 有,即向量b能由向量組A線性表示 且表示式唯一,有唯一解,a1 a2 am)xb,因此方程組,即有R(B)R(A)m,mR(A)R(B)m1,下頁,例3 設(shè)向量組a1 a2 a3線性相關(guān) 向量組a2 a3 a4線性無關(guān) 證明 (1) a1能由a2 a3線性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3線性表示,a2 a3 a4線性無關(guān),證,a1 a2 a3線性相關(guān),結(jié)束,a2 a3也線性無關(guān),1,a1能由a2 a3線性表示,2,a1 ,a2,a3線性相關(guān),R(a1,a2 a3)3 (*,R(a1,a2 a3, a4) R(a2 a3 ,a4)=3 (*,a2 a3 a4線

15、性無關(guān),R(a2 a3 ,a4)=3,綜合(*),(*)得,R(a1,a2 a3, a4) R(a1 a2 ,a3) ，得證,小結(jié),概念：線性相關(guān)，線性無關(guān). 性質(zhì): 定理1 向量組A:a1 a2 am線性相關(guān)R(A) m; 線性無關(guān)R(A)m. 定理2 A a1 am線性相關(guān)B a1 am am1線性相關(guān); 反之 向量組B線性無關(guān)向量組A也線性無關(guān) (2)m個(gè)n維向量組成的向量組A 若 nm A線性相關(guān); 特別地 n1個(gè)n維向量一定線性相關(guān) (3)A a1 a2 am線性無關(guān) B a1 a2 am b線性相關(guān) b必能由A線性表示 且表示式是唯一的,定理1 b能由向量組A a1 a2 am線性表示 R(A)R(A, b) 定理2 向量組B能由向量組A 線性表示 R(A)R(A B) 推論向量組A與向量組B等價(jià) R(A)R(B)R(A B) 定理3 向量組A:a1 a2 am線性相關(guān) R(A) m; 向量組A:a1 a2 am線性無關(guān) R(A)m,定理1 b能由向量組A a1 a2 am線性表示 R(A)R(A, b) Axb有解. 定理2 向量組B能由向量組A 線性表示 R