2010年高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-全國卷

1、絕密啟用前2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國1卷）理科數(shù)學(xué)(必修+選修II)本試卷分第I卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。第I卷1至2頁。第卷3 至4頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷注意事項(xiàng)：1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無效。 3第I卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公

2、式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑 球的體積公式如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中R表示球的半徑一選擇題(1)復(fù)數(shù)(A)i / (B) (C)12-13 (D) 12+13(2)記,那么A. B. - C. D. -(3)若變量滿足約束條件則的最大值為(A)4 (B)3 (C)2 (D)1.（4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則= (A) (B) 7 (C) 6 (D) (5)的展開式中x的系數(shù)是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6

3、)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(A) 30種 (B)35種 (C)42種 (D)48種(7)正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為ABCDA1B1C1D1OA B C D（8）設(shè)a=2,b=In2,c=,則A abc Bbca C cab D cba (9)已知、為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在C上，p=，則P到x軸的距離為(A) (B) (C) (D) （10）已知函數(shù)F(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是(A) (B) (C) (D)（11）已知圓O的半徑為1，P

4、A、PB為該圓的兩條切線，A、B為倆切點(diǎn)，那么的最小值為PABO (A) (B) (C) (D)（12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為(A) (B) (C) (D) 第卷二填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上 (注意：在試題卷上作答無效) (13)不等式的解集是 .(14)已知為第三象限的角，,則 .(15)直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是 . (16)已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)，且，則的離心率為 .三解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

5、步驟(17)(本小題滿分10分)(注意：在試題卷上作答無效)已知的內(nèi)角，及其對(duì)邊，滿足，求內(nèi)角(18)(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效) 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審若能通過兩位初審專家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評(píng)審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用設(shè)稿件能通過各初審專家評(píng)審的概率均為05，復(fù)審的稿件能通過評(píng)審的概率為03各專家獨(dú)立評(píng)審 (I)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率； (II)記表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求的分布列及期望（19）（本小題滿分12

6、分）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC .（）證明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 . (20)(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效）已知函數(shù).（）若，求的取值范圍；（）證明： .（21）(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D .（）證明：點(diǎn)F在直線BD上；（）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程 .（22）(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效）已知數(shù)列中， .（

7、）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求使不等式成立的的取值范圍 .2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國1卷）理科數(shù)學(xué)(必修+選修II)答案第I卷一選擇題1A【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,重點(diǎn)考查分母實(shí)數(shù)化的轉(zhuǎn)化技巧.【解析1】.【解析2】 2.B 【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等三角函數(shù)知識(shí)，并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.【解析1】,所以【解析2】，3.B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力.xAL0A【解析1】畫出可行域（如右圖），由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,-1)時(shí)，z最大，且最大值為.【解析2】，畫圖知過點(diǎn)是最大，

8、4.A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析1】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10,所以,所以【解析2】=5；=10，5.C【解析】x的系數(shù)是 -10+12=2 6.A【命題意圖】本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí),以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【解析1】:可分以下2種情況:(1)A類選修課選1門,B類選修課選2門,有種不同的選法;(2)A類選修課選2門,B類選修課選1門,有種不同的選法.所以不同的選法共有+種.【解析2】7.D 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化

9、求出D到平面AC的距離是解決本題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).ABCDA1B1C1D1O【解析1】因?yàn)锽B1/DD1,所以B與平面AC所成角和DD1與平面AC所成角相等,設(shè)DO平面AC，由等體積法得,即.設(shè)DD1=a,則,.所以,記DD1與平面AC所成角為,則,所以.【解析2】設(shè)上下底面的中心分別為；與平面AC所成角就是B與平面AC所成角，8.C 【命題意圖】本小題以指數(shù)、對(duì)數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實(shí)數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用.【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以ab,c=,而,所以ca,綜上cab.【解析2】a=2=,b=ln2=,

10、 ，； c=，cab9.B 【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、第二定義、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力.【解析1】不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支,由雙曲線的第二定義得，.由余弦定理得cosP=,即cos,解得,所以，故P到x軸的距離為【解析2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得：10.A 【命題意圖】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時(shí)極易忽視a的取值范圍，而利用均值不等式求得a+2b,從而錯(cuò)選A,這也是命題者的用苦良心之處.【解析1】因?yàn)?f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以

11、a+2b=又0ab,所以0a1f(1)=1+=3,即a+2b的取值范圍是(3,+).【解析2】由0ab,且f(a)=f(b)得：，利用線性規(guī)劃得：，求的取值范圍問題，過點(diǎn)時(shí)z最小為3,(C)11.D【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法判別式法,同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力.【解析1】如圖所示：設(shè)PA=PB=,APO=,則APB=，PO=，=，令，則，即，由是實(shí)數(shù)，所以，解得或.故.此時(shí).PABO【解析2】法一： 設(shè)，法二：換元：，或建系：園的方程為，設(shè)，12.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距

12、離,通過球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力.【解析1】過CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB與P,設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為,則有,當(dāng)直徑通過AB與CD的中點(diǎn)時(shí),故.【解析2】二填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上 (注意：在試題卷上作答無效) 13.0,2 【命題意圖】本小題主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根號(hào)是解根式不等式的基本思路，也讓轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致.【解析1】原不等式等價(jià)于解得0x2.【解析2】，14【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號(hào)的判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、和角的正切公式,同時(shí)考查了基本運(yùn)算能力及等價(jià)變換的解題技

13、能.【解析1】因?yàn)闉榈谌笙薜慕?所以，又0, 所以,于是有,所以.【解析2】為第三象限的角， ，在二象限，y=1xyaO15.(1,【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的解法,著重考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.【解析1】如圖，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線與曲線,觀圖可知，a的取值必須滿足解得.【解析2】由數(shù)型結(jié)合知： 16. 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑.【解析1】如圖，,作軸于點(diǎn)D1,則由，得,所以,即,由橢圓的第二定義得又由,得

14、,整理得.兩邊都除以,得,解得.【解析2】設(shè)橢圓方程為：第一標(biāo)準(zhǔn)形式，F(xiàn)分 BD所成的比為2，帶入，三解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17. 【命題意圖】本小題主要考查三角恒等變形、利用正弦、余弦定理處理三角形中的邊角關(guān)系，突出考查邊角互化的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.18. 【命題意圖】本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件、相互獨(dú)立試驗(yàn)、分布列、數(shù)學(xué)期望等知識(shí),以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.（19）（本小題滿分12分）【命題意圖】本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力. (20)(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí),通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問題,考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力以及計(jì)算能力，同時(shí)也考查了函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.（21）(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題為解析幾何與平面向量綜合的問題，