（典型題）2014高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.對(duì)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的考查中，以圖象的變換，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值等作為熱點(diǎn)內(nèi)容，并且往往與三角變換公式相互聯(lián)系，有時(shí)也與平面向量，解三角形或不等式內(nèi)容相互交匯.2.題型多以小而活的選擇題、填空題來呈現(xiàn)，如果設(shè)置解答題一般與三角變換、解三角形、平面向量等知識(shí)進(jìn)行綜合考查，題目難度為中、低檔1 三角函數(shù)定義、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式(1)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sin y，cos x，tan .各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)同角關(guān)系：sin2cos21，tan .(3)誘導(dǎo)公式：在，kZ

2、的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”2 三角函數(shù)的圖象及常用性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x單調(diào)性在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在(k，k)(kZ)上單調(diào)遞增對(duì)稱性對(duì)稱中心：(k，0)(kZ)；對(duì)稱軸：xk(kZ)對(duì)稱中心：(k，0)(kZ)；對(duì)稱軸：xk(kZ)對(duì)稱中心：(，0)(kZ)3 三角函數(shù)的兩種常見變換考點(diǎn)一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系問題例1(1)如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖位置P(x，y)若初始位置為P0，當(dāng)秒針

3、從P0(此時(shí)t0)正常開始走時(shí)，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為()Aysin BysinCysin Dysin(2)已知點(diǎn)P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為()A. B. C. D. 弄清三角函數(shù)的概念是解答本題的關(guān)鍵答案(1)C(2)D解析(1)由三角函數(shù)的定義可知，初始位置點(diǎn)P0的弧度為，由于秒針每秒轉(zhuǎn)過的弧度為，針尖位置P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系可能為ysin.(2)tan 1，又sin 0，cos 0，所以為第四象限角且0,2)，所以. (1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解應(yīng)用定義時(shí)，注意

4、三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點(diǎn)的位置無關(guān)(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要弄清三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等 (1)已知(，0)，tan(3)，則cos的值為()A. BC. D答案B解析由tan(3)，得tan ，coscossin .(，0)，sin .(2)如圖，以O(shè)x為始邊作角(0)，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為.求的值解由三角函數(shù)定義，得cos ，sin ，原式2cos222.考點(diǎn)二三角函數(shù)yAsin(x)的圖象及解析式例2函數(shù)f(x)sin(x)(其中|0，0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定

5、系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置(2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向(1)(2013四川)函數(shù)f(x)2sin(x)(0，0)的最小正周期為.求的值；討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因?yàn)閒(x)的最小正周期為，且0.從而有，故1.由知，f(x)2

6、sin.若0x，則2x.當(dāng)2x，即0x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減1求函數(shù)yAsin(x)(或yAcos(x)，或yAtan(x)的單調(diào)區(qū)間(1)將化為正(2)將x看成一個(gè)整體，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解2 已知函數(shù)yAsin(x)B(A0，0)的圖象求解析式(1)A，B.(2)由函數(shù)的周期T求，.(3)利用與“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求.3 函數(shù)yAsin(x)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)4 求三角函數(shù)式最值的方法(1)將三角函數(shù)式化為yAsin(x)B的形式，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解(2)將三角函數(shù)式化為關(guān)

7、于sin x，cos x的二次函數(shù)的形式，進(jìn)而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解5 特別提醒：進(jìn)行三角函數(shù)的圖象變換時(shí)，要注意無論進(jìn)行什么樣的變換都是變換變量本身.1 假設(shè)若干個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“互為生成函數(shù)”給出下列函數(shù)：f(x)sin xcos x；f(x)(sin xcos x)；f(x)sin x2；f(x)sin x.則其中屬于“互為生成函數(shù)”的是()A B C D答案B2 已知函數(shù)f(x)sin xcos xcos2x(0)，直線xx1，xx2是yf(x)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且|x1x2|的最小值為.(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單

8、位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若關(guān)于x的方程g(x)k0在區(qū)間0，上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，由題意知，最小正周期T2，T，所以2，f(x)sin.(2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到y(tǒng)sin(4x)的圖象，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)sin(2x)的圖象所以g(x)sin(2x)令2xt，0x，t.g(x)k0在區(qū)間0，上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)g(t)sin t與yk在區(qū)間，上有且只有一個(gè)交點(diǎn)如圖，由正弦函數(shù)

9、的圖象可知k或k1.0，且為第二象限角，所以2k2k，kZ，所以4k20，0，|0)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，且f0，則的最小值為()A2 B4 C6 D8答案A解析由f0知是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，又x是一條對(duì)稱軸，所以應(yīng)有，解得2，即的最小值為2，故選A.6 (2013江西)如圖，已知l1l2，圓心在l1上、半徑為1 m的圓O在t0時(shí)與l2相切于點(diǎn)A，圓O沿l1以1 m/s的速度勻速向上移動(dòng)，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令ycos x，則y與時(shí)間t(0t1，單位：s)的函數(shù)yf(t)的圖象大致為()答案B解析方法一(排除法)當(dāng)t0時(shí)，ycos 01，否定A、D.當(dāng)t時(shí)，l2上方弧長為

10、.ycos .否定C，只能選B.方法二(直接法)由題意知AOBx，OH1t，cosAOHcos 1t，ycos x2cos212(1t)21(0t1)選B.二、填空題7 已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.答案8解析因?yàn)閟in ，所以y0，且y264，所以y8.8 函數(shù)f(x)sin xcos x|sin xcos x|對(duì)任意的xR都有f(x1)f(x)f(x2)成立，則|x2x1|的最小值為_答案解析依題意得，當(dāng)sin xcos x0，即sin xcos x時(shí)，f(x)2sin x；當(dāng)sin xcos x0，即sin x0)，且yf(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為.(1)求的值；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.依題意知4，0，所以1.(2)由(1)知f(x)sin.當(dāng)x時(shí)，2x.所以sin1.所以1f(x).故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，1.12(2012湖南)已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)ff的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由題設(shè)圖象知，周期T2，所以2.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)