初一數(shù)學(xué)絕對值知識點(diǎn)與經(jīng)典例題

1、絕對值的性質(zhì)及化簡【絕對值的幾何意義】一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.數(shù)的絕對值記作. （距離具有非負(fù)性）【絕對值的代數(shù)意義】一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.注意： 取絕對值也是一種運(yùn)算，運(yùn)算符號是“| |”，求一個數(shù)的絕對值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對值符號. 絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；的絕對值是. 絕對值具有非負(fù)性，取絕對值的結(jié)果總是正數(shù)或0. 任何一個有理數(shù)都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，如：符號是負(fù)號，絕對值是.【求字母的絕對值】 利用絕對值比較兩個負(fù)有理數(shù)的大?。簝蓚€負(fù)數(shù)，絕對值大的反而

2、小.絕對值非負(fù)性：|a|0 如果若干個非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個非負(fù)數(shù)都必為0.例如：若，則，【絕對值的其它重要性質(zhì)】（1）任何一個數(shù)的絕對值都不小于這個數(shù)，也不小于這個數(shù)的相反數(shù)，即，且；（2）若，則或；（3）；（4）；（5）|a|-|b| |ab| |a|+|b|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)對應(yīng)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離【去絕對值符號】基本步驟，找零點(diǎn)，分區(qū)間，定正負(fù)，去符號?！窘^對值不等式】（1）解絕對值不等式必須設(shè)法化去式中的絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般代數(shù)式類型來解；（2）證明絕對值不等式主要有兩種方法：A）去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一般的不等式證明：

3、換元法、討論法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|a+b|a|+|b|，用這個方法要對絕對值內(nèi)的式子進(jìn)行分拆組合、添項(xiàng)減項(xiàng)、使要證的式子與已知的式子聯(lián)系起來?！窘^對值必考題型】例1：已知|x2|y3|0，求x+y的值。解：由絕對值的非負(fù)性可知x2 0，y30； 即：x=2，y =3；所以x+y=5 判斷必知點(diǎn)： 相反數(shù)等于它本身的是 0 倒 數(shù)等于它本身的是 1 絕對值等于它本身的是 非負(fù)數(shù) 【例題精講】（一）絕對值的非負(fù)性問題1. 非負(fù)性：若有幾個非負(fù)數(shù)的和為0，那么這幾個非負(fù)數(shù)均為0.2. 絕對值的非負(fù)性；若，則必有，【例題】若，則 。總結(jié)：若干非負(fù)數(shù)之和為0， ?！眷柟獭咳?，則【鞏固

4、】先化簡，再求值：其中、滿足. （二）絕對值的性質(zhì)【例1】若a0，則4a+7|a|等于（）A11a B-11a C-3a D3a【例2】一個數(shù)與這個數(shù)的絕對值相等，那么這個數(shù)是（）A1，0 B正數(shù) C非正數(shù) D非負(fù)數(shù)【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy0，則x-y的值等于（）A7或-7 B7或3 C3或-3 D-7或-3【例4】若，則x是（）A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非負(fù)數(shù) D非正數(shù)【例5】已知：a0，b0，|a|b|1，那么以下判斷正確的是（）A1-b-b1+aa B1+aa1-b-bC1+a1-ba-b D1-b1+a-ba【例6】已知ab互為相反數(shù)，且|a-b|=6，則|b-1|的值為（）

5、A2 B2或3 C4 D2或4【例7】a0，ab0，計(jì)算|b-a+1|-|a-b-5|，結(jié)果為（）A6 B-4 C-2a+2b+6 D2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x，則有（）Ay0，x0 By0，x0 Cy0，x0 Dx=0，y0或y=0，x0【例9】已知：x0z，xy0，且|y|z|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A是正數(shù) B是負(fù)數(shù) C是零 D不能確定符號【例10】給出下面說法：（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等；（2）一個數(shù)的絕對值等于本身，這個數(shù)不是負(fù)數(shù)；（3）若|m|m，則m0；（4）若|a|b|，則ab，其中正確的有（）A（1）（2）（3） B（1）（

6、2）（4） C（1）（3）（4） D（2）（3）（4）【例11】已知a，b，c為三個有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則|c-b|-|b-a|-|a-c|= _【鞏固】知a、b、c、d都是整數(shù)，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。 【例12】若x-2，則|1-|1+x|=_若|a|=-a，則|a-1|-|a-2|= _ 【例13】計(jì)算= 【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化簡：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _ 【例15】已知數(shù)的大小關(guān)系如圖所示，則下列各式：；其中正確的有 （請?zhí)顚懛枺眷柟獭恳阎篴bc0，

7、且M=，當(dāng)a，b，c取不同值時，M有 _種不同可能當(dāng)a、b、c都是正數(shù)時，M= _；當(dāng)a、b、c中有一個負(fù)數(shù)時，則M= _；當(dāng)a、b、c中有2個負(fù)數(shù)時，則M= _；當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時，M=_ 【鞏固】已知是非零整數(shù)，且，求的值 （三）絕對值相關(guān)化簡問題（零點(diǎn)分段法）零點(diǎn)分段法的一般步驟：找零點(diǎn)分區(qū)間定符號去絕對值符號【例題】閱讀下列材料并解決相關(guān)問題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得（稱分別為與的零點(diǎn)值），在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不易遺漏的如下中情況：當(dāng)時，原式當(dāng)時，原式當(dāng)時，原式綜上討論，原式（1）求出和

8、的零點(diǎn)值 （2）化簡代數(shù)式解：（1）|x+2|和|x-4|的零點(diǎn)值分別為x=-2和x=4 （2）當(dāng)x-2時，|x+2|+|x-4|=-2x+2； 當(dāng)-2x4時，|x+2|+|x-4|=6； 當(dāng)x4時，|x+2|+|x-4|=2x-2 【鞏固】化簡1. 2. 的值 3. 4. (1)； 變式5.已知的最小值是，的最大值為，求的值。 （四）表示數(shù)軸上表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離【例題】（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：(1) 你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答： .(2) 若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，則A

9、與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為 .(3) 結(jié)合數(shù)軸求得|x-2|+|x+3|的最小值為 ，取得最小值時x的取值范圍為 .(4) 滿足的的取值范圍為 .(5) 若的值為常數(shù)，試求的取值范圍（五）、絕對值的最值問題例題1: 1）當(dāng)x取何值時，|x-1|有最小值，這個最小值是多少？ 2) 當(dāng)x取何值時，|x-1|+3有最小值，這個最小值是多少？ 3) 當(dāng)x取何值時，|x-1|-3有最小值，這個最小值是多少？ 4）當(dāng)x取何值時，-3+|x-1|有最小值，這個最小值是多少？例題2：1）當(dāng)x取何值時，-|x-1|有最大值，這個最大值是多少？ 2)當(dāng)x取何值時，-|x-1|+3有最大值，這個最大值是多少？ 3)

10、當(dāng)x取何值時，-|x-1|-3有最大值，這個最大值是多少？ 4）當(dāng)x取何值時，3-|x-1|有最大值，這個最大值是多少？若想很好的解決以上2個例題，我們需要知道如下知識點(diǎn)：、1）非負(fù)數(shù)：0和正數(shù)，有最小值是02）非正數(shù)：0和負(fù)數(shù)，有最大值是03）任意有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，即|a|0，則-|a|04）x是任意有理數(shù)，m是常數(shù)，則|x+m|0，有最小值是0， -|x+m|0有最大值是0（可以理解為x是任意有理數(shù)，則x+a依然是任意有理數(shù)，如|x+3|0，-|x+3|0或者|x-1|0，-|x-1|0）5）x是任意有理數(shù)，m和n是常數(shù)，則|x+m|+nn，有最小值是n-|x+m|+nn，有最大值

11、是n(可以理解為|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n0)或者向左（n0)平移了|n|個單位，為如|x-1|0，則|x-1|+33，相當(dāng)于|x-1|的值整體向右平移了3個單位，|x-1|0，有最小值是0，則|x-1|+3的最小值是3）總結(jié)：根據(jù)3）、4)、5）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)絕對值前面是“+”號時，代數(shù)式有最小值，有“-”號時，代數(shù)式有最大值 . 例題1：1 ) 當(dāng)x取何值時，|x-1|有最小值，這個最小值是多少？ 2 ) 當(dāng)x取何值時，|x-1|+3有最小值，這個最小值是多少？ 3 ) 當(dāng)x取何值時，|x-1|-3有最小值，這個最小值是多少？ 4） 當(dāng)x取何值時，-3+|x-1|有最小值，這個

12、最小值是多少？解： 1）當(dāng)x-1=0時，即x=1時，|x-1|有最小值是0 2）當(dāng)x-1=0時，即x=1時，|x-1|+3有最小值是3 3）當(dāng)x-1=0時，即x=1時，|x-1|-3有最小值是-3 4）此題可以將-3+|x-1|變形為|x-1|-3，即當(dāng)x-1=0時，即x=1時，|x-1|-3 有最小值是-3 例題2：1）當(dāng)x取何值時，-|x-1|有最大值，這個最大值是多少？ 2 ) 當(dāng)x取何值時，-|x-1|+3有最大值，這個最大值是多少？ 3 ) 當(dāng)x取何值時，-|x-1|-3有最大值，這個最大值是多少？ 4）當(dāng)x取何值時，3-|x-1|有最大值，這個最大值是多少？解：1）當(dāng)x-1=0時，

13、即x=1時，-|x-1|有最大值是0 2）當(dāng)x-1=0時，即x=1時，-|x-1|+3有最大值是3 3）當(dāng)x-1=0時，即x=1時，-|x-1|-3有最大值是-3 4 ) 3-|x-1|可變形為-|x-1|+3可知如2）問一樣，即：當(dāng)x-1=0時，即x=1時， -|x-1|+3有最大值是3 （同學(xué)們要學(xué)會變通哦） 思考：若x是任意有理數(shù)，a和b是常數(shù)，則 1）|x+a|有最大（?。┲担孔畲螅ㄐ。┲凳嵌嗌?？此時x值是多少？ 2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此時x值是多少？ 3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此時x值是多少？ 例題3：求|x+1|+|x

14、-2|的最小值，并求出此時x的取值范圍分析：我們先回顧下化簡代數(shù)式|x+1|+|x-2|的過程： 可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零點(diǎn)值） 在數(shù)軸上找到-1和2的位置，發(fā)現(xiàn)-1和2將數(shù)軸分為5個部分 1）當(dāng)x-1時，x+10，x-20，則|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12）當(dāng)x=-1時，x+1=0，x-2=-3，則|x+1|+|x-2|=0+3=3 3）當(dāng)-1x0，x-22時，x+10，x-20，則|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1 我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x3 當(dāng)-1x2時，|x+1|+|x-2|=3 當(dāng)x2時，|x

15、+1|+|x-2|=2x-13 所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此時：-1x2 解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零點(diǎn)值） 則當(dāng)-1x2時，|x+1|+|x-2|的最小值是3 評：若問代數(shù)式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范圍？一般都出現(xiàn)填空題居多；若是化簡代數(shù)式|x+1|+|x-2|的常出現(xiàn)解答題中。所以，針對例題中的問題，同學(xué)們只需要最終記住先求零點(diǎn)值，x的取值范圍在這2個零點(diǎn)值之間，且包含2個零點(diǎn)值。例題4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此時x的值？分析：先回顧化簡代數(shù)式|x+11|+|x-12|+

16、|x+13|的過程可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本題零點(diǎn)值）1）當(dāng)x-13時，x+110，x-120，x+130，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）當(dāng)x=-13時，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）當(dāng)-13x-11時，x+110，x-120，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）當(dāng)x=-11時，x+11=0，x-12=-23，x+13

17、=2，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）當(dāng)-11x0，x-120，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）當(dāng)x=12時，x+11=23，x-12=0，x+13=25，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487） 當(dāng)x12時，x+110，x-120，x+130，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：當(dāng)x27當(dāng)x=-13時，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40當(dāng)-13x-11時，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,2

18、5-x+14 27當(dāng)x=-11時，|x+11|+|x-12|+|x+13|=25當(dāng)-11x12時，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25x+3612時，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+1248觀察發(fā)現(xiàn)代數(shù)式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此時x=-11解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本題零點(diǎn)值） 將-11,12，-13從小到大排列為-13-11b Ba=b Ca 時，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨x的增大而越來越大；當(dāng)x 時，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨x的減小而越來越大；當(dāng)

19、x 時，發(fā)現(xiàn)，無論x在這個范圍取何值，這兩條線段的和是一個定值 ，且比、情況下的值都小。因此，總結(jié)，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距離。6. 利用數(shù)軸分析|x+7|-|x-1| ，這個式子表示的是x到-7的距離與x到1的距離之差它表示兩條線段相減：當(dāng)x 時，發(fā)現(xiàn)，無論x取何值，這個差值是一個定值 ；當(dāng)x 時，發(fā)現(xiàn)，無論x取何值，這個差值是一個定值 ；當(dāng) 時，隨著增大，這個差值漸漸由負(fù)變正，在中點(diǎn)處是零。 因此，總結(jié)，式子|x+7|-|x-1| 當(dāng)x 時，有最大值 ；當(dāng)x 時，有最小值 ；7設(shè)，則的值是（ ）A-3 B1 C3或-1 D-3或18設(shè)分別是一個三位數(shù)的百位、十位和

20、個位數(shù)字，并且，則可能取得的最大值是 絕對值（零點(diǎn)分段法、化簡、最值）一、去絕對值符號的幾種常用方法解含絕對值不等式的基本思路是去掉絕對值符號，使不等式變?yōu)椴缓^對值符號的一般不等式，而后，其解法與一般不等式的解法相同。因此掌握去掉絕對值符號的方法和途徑是解題關(guān)鍵。1利用定義法去掉絕對值符號根據(jù)實(shí)數(shù)含絕對值的意義，即|=，有|2利用不等式的性質(zhì)去掉絕對值符號利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化|(0)來解，如|(0)可為或；|可化為+，再由此求出原不等式的解集。對于含絕對值的雙向不等式應(yīng)化為不等式組求解，也可利用結(jié)論“|或”來求解，這是種典型的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法。3利用平方法去掉絕對值符號對于兩邊都含有

21、“單項(xiàng)”絕對值的不等式，利用|=可在兩邊脫去絕對值符號來解，這樣解題要比按絕對值定義去討論脫去絕對值符號解題更為簡捷，解題時還要注意不等式兩邊變量與參變量的取值范圍，如果沒有明確不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)，需要進(jìn)行分類討論，只有不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)(式)時，才可以直接用兩邊平方去掉絕對值，尤其是解含參數(shù)不等式時更必須注意這一點(diǎn)。4利用零點(diǎn)分段法去掉絕對值符號所謂零點(diǎn)分段法，是指：若數(shù)，分別使含有|，|，|的代數(shù)式中相應(yīng)絕對值為零，稱，為相應(yīng)絕對值的零點(diǎn)，零點(diǎn)，將數(shù)軸分為+1段，利用絕對值的意義化去絕對值符號，得到代數(shù)式在各段上的簡化式，從而化為不含絕對值符號的一般不等式來解，即令每項(xiàng)等于零，得到的值

22、作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集。零點(diǎn)分段法是解含絕對值符號的不等式的常用解法，這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化。5利用數(shù)形結(jié)合去掉絕對值符號解絕對值不等式有時要利用數(shù)形結(jié)合，利用絕對值的幾何意義畫出數(shù)軸，將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求解。數(shù)形結(jié)合法較為形象、直觀，可以使復(fù)雜問題簡單化，此解法適用于或(為正常數(shù))類型不等式。對(或)，當(dāng)|時一般不用。二、如何化簡絕對值絕對值的知識是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，在中考和各類競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，含有絕對值符號的數(shù)學(xué)問題又是學(xué)生遇到的難點(diǎn)之一，解決這類問題的方法通常是利用絕對值的意義，將絕對值符號化去，將問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的問題，確定絕對值符號內(nèi)部分的正負(fù)，借以去掉絕對值符號的方法大致有三種類型。（一）、根據(jù)題設(shè)條件例1：設(shè)x-1，化簡2-2-x-2的結(jié)果是（ ）。（A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x思路分析：由x-1可知x-2-30可化去第一層絕對值符號，第二次絕對值符號待合并整理后再用同樣方法化去解：2-2-x-2=2-2-(2-x)=2- x=2-(-x)=2+x 應(yīng)選（B）歸納點(diǎn)評:只要知道絕對值將合內(nèi)的代數(shù)式是正是負(fù)或是零，就能根據(jù)絕對值意義順利去掉絕對值符號，這是解答這類問題的常規(guī)思路（二）、