廣東省廣外實驗2024-2025學年高二上學期10月月考 數(shù)學試題含答案

2024學年第一學期高二第一次月考數(shù)學一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知單位向量，滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直可得，結(jié)合已知條件和向量的數(shù)量積的定義可求出夾角的余弦值，從而可求出向量的夾角.解：因為，是單位向量，所以，因為，所以，即，則，因為與的夾角范圍為，所以與的夾角為.故選:C.2.某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，所以這2名學生來自不同年級的概率為.故選：D.3.已知事件A與B互斥，且，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由事件互斥及概率的性質(zhì)判斷各項的正誤即可.由事件A與B互斥，則，，A錯，B對；由，，故C、D錯.故選：B4.在中，，且的面積為，則邊的長為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由三角形的面積公式求解即可.因為的面積為，所以，所以.故選：A.5.設為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：①若，則或②若，則或③若且，則④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.對①，當，因為，，則，當，因為，，則，當既不在也不在內(nèi)，因為，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；綜上只有①③正確，故選：A.6.給出下列命題：①空間向量就是空間中的一條有向線段；②在正方體中，必有；③是向量的必要不充分條件；④若空間向量滿足，，則．其中正確命題的個數(shù)是（）．A.1 B.2 C.3 D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的相關概念逐項判斷.有向線段起點和終點是固定的，而空間向量是可以平移的，故①錯誤；和大小一樣、方向相同，則，故②正確；若，則和的模相等，方向不一定相同，若，則和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分條件，故③正確；向量的平行不具有傳遞性，比如當為零向量時，零向量與任何向量都平行，則不一定平行，故④錯誤.綜上所述，②③正確.故選：B．7.如圖，在平行六面體中，，，，則（）A.12 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量加法的運算性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義進行求解即可.故選：B8.一個電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個開關，其閉合的概率都是，且是否閉合是相互獨立的，則燈亮的概率是()A. B.C. D.【答案】A【解析】設“C閉合”為事件G，“D閉合”為事件H，“A與B中至少有一個不閉合”為事件T，“E與F中至少有一個不閉合”為事件R，則P(G)＝P(H)＝，P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以燈亮的概率P＝1－P(T)P(R)P()P()＝.故選A二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）A.若復數(shù)，則B.若復數(shù)z滿足，則復平面內(nèi)z對應的點到實軸的距離等于到虛軸的距離C.若是純虛數(shù)，則實數(shù)D.復數(shù)的虛部為【答案】AB【解析】【分析】對A，根據(jù)復數(shù)的運算即可求解；對B，由復數(shù)的模的公式化簡求出z對應的點到實軸的距離等于到虛軸的距離即可判斷，對C，根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程即可求解；對D，由虛部概念即可判斷.解：對于A：，，故A正確；對于B：設，代入，得：，整理得：，即復平面內(nèi)z對應的點在直線上，故復平面內(nèi)z對應的點到實軸的距離等于到虛軸的距離，故B正確；對于C：是純虛數(shù)，則，解得：，故C錯誤；對于D：復數(shù)的虛部為，故D錯誤.故選：AB.10.已知為兩個事件，，，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)事件概率的相關公式進行轉(zhuǎn)化求解不等式即可.因為，，所以所以,即，解得.故選：BC11.如圖，在正方體中，分別是的中點．下列結(jié)論正確的是（）A.與垂直 B.與平面C.與所成的角為 D.平面【答案】ABD【解析】【分析】連接，運用中位線定理推出，結(jié)合線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，分析判斷可得A、B、D正確；再由異面直線所成的角的概念判斷可得C．對A：連接，，則交于，又為中點，可得，由平面，平面，可得，故，故A正確；對B：連接，，由正方體性質(zhì)可知平面，可得平面，故B正確；對C：與所成角就是，連接，由正方體性質(zhì)可知，即為等邊三角形，故，即與所成的角為，故C錯誤；對D：由，平面，平面，故平面，故D正確．故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是，的中點，是的中點，若，則____________.【答案】【解析】【分析】由是的中點，可得，再由向量的線性運算可得,即可得答案.解：連接，如圖所示：因為是中點，分別是，的中點，所以,又因為，所以，所以.故答案為：13.從分別寫有1，2，3，4，55張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所求事件包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計算公式，即可求解.由從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，基本事件的總數(shù)為個，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件為：，共有15個，所以抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為：.14.和兩條異面直線都垂直的直線叫做兩條異面直線的公垂線，而兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分叫做這兩條異面直線的公垂線段．正方體中，異面直線和的公垂線段是_______；三棱錐的棱長都為1，則異面直線和的公垂線段的長度是_______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)公垂線段的概念即可判斷；構(gòu)造正方體，將公垂線段的長度轉(zhuǎn)化為正方體的棱長，即可求解；解：在正方體中，于點，于點，所以異面直線和的公垂線段是；如圖在正方體中取點，，，，可知，設，可知正方體的棱長為.取中點，中點，連接,易知點為的中點，由正方體的性質(zhì)可知四邊形為平行四邊形，所以且.由正方體性質(zhì)可知平面，平面，所以,，所以,，所以為異面直線和的公垂線段.所以異面直線和的公垂線段的長度為.故答案為：AB,四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖，在平行六面體中，，，，，，是的中點，設，，.（1）求的長；（2）求異面直線和夾角的余弦值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）在平行六面體中，由棱長及夾角，由和向量運算可得，平方可得，求出數(shù)量積，可得的大?。唬?）由（1）可得的值，進而求出異面直線和夾角的余弦值.【小問1詳解】在平行六面體中，因為，，，，，是的中點，，所以，由題意，，，，，所以，所以；【小問2詳解】，，，所以.設異面直線和夾角為，則，所以.所以異面直線和夾角的余弦值為.16.一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.（1）求z的值.（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;（3）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.【答案】（1）400（2）（3）075【解析】【分析】（1）由分層抽樣按比例運算即可得解；（2）先求出基本事件的個數(shù)，再由古典概型的概率公式求解即可；（3）先求出平均數(shù)，再求概率即可.解：（1）設該廠這個月共生產(chǎn)轎車輛，由題意可得，即，則；（2）抽取一個容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車，用表示2輛舒適型轎車，表示3輛標準型轎車，用表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則在該樣本中任取2輛的基本事件為，，，，，，，，，共10個，事件，，，，，，共7個，故;（3）由題意可得，則滿足該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的有共6個，故所求概率為，即.【點睛】本題考查了分層抽樣及平均數(shù)的求法，重點考查了古典概型概率公式，屬中檔題.17.如圖，在四面體中，，且，設P為的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）線段上是否存在一點Q，滿足，若存在，確定的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，1【解析】【分析】（1）建系，通過異面直線方向向量的夾角公式即可求解；（2）根據(jù)線線垂直可證明平面，即可得，即可根據(jù)判斷點Q為的中點，利用三角形的邊角關系即可求解比例.【小問1詳解】取為坐標原點，以,所在的直線為軸，軸，在平面內(nèi)作，交于點,為z軸，建立空間直角坐標系（如圖所示）．則為中點,,設異面直線與所成角為，，所以異面直線與所成角的余弦值【小問2詳解】如圖所示，在平面內(nèi)作，交于點N，連接．∵，平面，∴平面．∵平面，∴．取Q為的中點，則，∴，得證．在等腰中，，∴．在中，，∴．在中，，∴．因此．18.如圖，長為1的正方體中，，分別為，的中點，在棱上，且，為的中點.（1）求證：；（2）求的長.（3）求與所成角的余弦值；【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）如圖建立空間直角坐標系，證明即可；（2）求出的坐標，由模長公式求模長即可求解；（3）求出和的坐標，利用空間向量夾角公式即可求解.（1）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，因為，，所以，所以即.（2），所以，所以的長為.（3）由（1）知，，，，，設與所成角，則，故與所成角的余弦值為.19.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日舉辦，本屆亞運會共設40個競賽大項．其中首次增設了電子競技項目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率．假設最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組．之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍，雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制，假設四支隊伍分別為A、B、C、D，其中A對陣其他三個隊伍獲勝概率均為p，另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為．最初分組時AB同組，CD同組．（1）若，在淘汰賽賽制下，A、C獲得冠軍的概率分別為多少？（2）分別計算兩種賽制下A獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強者不公平”？【答案】（1）獲得冠軍的概率分別為，；（2）淘汰賽賽制下獲得冠軍的概率為，“雙敗賽制”賽制下獲得冠軍的概率為，雙敗賽制下對強者更有利.【解析】【分析】（1）利用獨立事件乘法、互斥事件加法公式求獲得冠軍的概率；（2）分別求出不同賽制下獲得冠軍的概率，研究哪種賽制下獲得冠軍的概率更大，即可得結(jié)論.【小問1詳解】獲得冠