初三一元二次方程數(shù)學試題含答案

1、一解答題（共30小題）1（2013淄博）關(guān)于x的一元二次方程（a6）x28x+9=0有實根（1）求a的最大整數(shù)值；（2）當a取最大整數(shù)值時，求出該方程的根；求的值2（2013孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k使得0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由3（2013南充）關(guān)于x的一元二次方程為（m1）x22mx+m+1=0（1）求出方程的根；（2）m為何整數(shù)時，此方程的兩個根都為正整數(shù)？4（2013荊州）已知：關(guān)于x的方程kx2（3k1）x+2（k1）=0（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總

2、有實數(shù)根；（2）若此方程有兩個實數(shù)根x1，x2，且|x1x2|=2，求k的值5（2012慶陽）已知關(guān)于x的方程k2x22（k+1）x+1=0有兩個實數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）當k=1時，設所給方程的兩個根分別為x1和x2，求+的值6（2010孝感）關(guān)于x的一元二次方程x2x+p1=0有兩實數(shù)根x1，x2，（1）求p的取值范圍；（2）若2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，求p的值7（淄博）已知x1，x2是方程x22x+a=0的兩個實數(shù)根，且x1+2x2=3（1）求x1，x2及a的值；（2）求x133x12+2x1+x2的值8（江津區(qū)）已知a、b、c分別是ABC的三邊，其中a=1，c=

3、4，且關(guān)于x的方程x24x+b=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷ABC的形狀9（鄂州）已知關(guān)于x的方程kx22（k+1）x+k1=0有兩個不相等的實數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使此方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由10（濮陽）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x26x+k=0的兩個實數(shù)根，且x12x22x1x2=115（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值11（孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m1）x2m2+m=0（m為實數(shù)）有兩個實數(shù)根x1、x2（1）當m為何值時，x1x2；（2）若x12+x22=2，求m的值12已知關(guān)于x

4、的一元二次方程x2+4x+m1=0（1）請你為m選取一個合適的整數(shù)，使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設，是（1）中你所得到的方程的兩個實數(shù)根，求2+2+的值13已知關(guān)于x的方程2x2kx+1=0的一個解與方程的解相同（1）求k的值；（2）求方程2x2kx+1=0的另一個解14已知：關(guān)于x的一元二次方程x2（2m+1）x+m2+m2=0（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足，求m的值15已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx1=0，（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的兩根分別為x1，x2，且滿足x1+x2=x1x2，求k的

5、值16已知關(guān)于x的一元二次方程kx22（k+1）x+k1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使+=1成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由17已知：ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5試問：k取何值時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形？18已知，是關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2x+1=0的兩個實數(shù)根，且滿足（+1）（+1）=m+1，求實數(shù)m的值19已知關(guān)于x的方程（m1）x22mx+m=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2；（1）求m的取值范圍；（2）若（x1x2

6、）2=8，求m的值20已知：關(guān)于x的方程x2（k+1）x+k2+1=0的兩根是一個矩形兩鄰邊的長（1）k取何值時，方程有兩個實數(shù)根；（2）當矩形的對角線長為時，求k的值21設關(guān)于x的一元二次方程x24x2（k1）=0有兩個實數(shù)根x1、x2，問是否存在x1+x2x1x2的情況？22關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k21=0有兩個實數(shù)根（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的平方和與兩個實數(shù)根的積相等？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由23已知關(guān)于x的方程x2+2（2m）x+36m=0（1）求證：無論m取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根；（2）如果方程的兩個實數(shù)根x1、x

7、2滿足x1=3x2，求實數(shù)m的值24對關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）（1）當a、c異號時，試證明該方程必有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當a、c同號時，該方程要有實數(shù)根，還須滿足什么條件？請你找出一個a、c同號且有實數(shù)根的一元二次方程，然后解這個方程25已知關(guān)于x的一元二次方程，（1）求證：不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設x1、x2是方程的兩個根，且x122kx1+2x1x2=5，求k的值26已知關(guān)于x的方程x22（m+1）x+m23=0（1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？（2）設x1、x2是方程的兩根，且（x1+x2）2（x1+x2）12=0，求m的

8、值27設a，b，c是ABC三邊的長，且關(guān)于x的方程c（x2+n）+b（x2n）2ax=0（n0）有兩個實數(shù)根，求證：ABC是直角三角形28（2013樂山模擬）選做題：題乙：已知關(guān)于x的一元二次方程x22kx+k2+2=2（1x）有兩個實數(shù)根x1、x2（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）若方程的兩實數(shù)根x1、x2滿足|x1+x2|=x1x21，求k的值29（2012張家港市模擬）若關(guān)于x的方程x2+4xa+3=0有實數(shù)根（1）求a的取值范圍；（2）當a=2012時，設方程的兩根為x1、x2，求x12+3x1x2的值30（2012金堂縣一模）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋▁+4）2=5（x+4） x26x+

9、5=0 （x+3）2=（12x）2 2x210x=3一解答題（共30小題）1（2013淄博）關(guān)于x的一元二次方程（a6）x28x+9=0有實根（1）求a的最大整數(shù)值；（2）當a取最大整數(shù)值時，求出該方程的根；求的值考點：根的判別式；解一元二次方程-公式法分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得到=644（a6）90且a60，解得a且a6，然后在次范圍內(nèi)找出最大的整數(shù)；（2）把a的值代入方程得到x28x+9=0，然后利用求根公式法求解；由于x28x+9=0則x28x=9，然后把x28x=9整體代入所求的代數(shù)式中得到原式=2x2=2x216x+，再變形得到2（x28x）+，再利用整體思想計

10、算即可解答：解：（1）根據(jù)題意=644（a6）90且a60，解得a且a6，所以a的最大整數(shù)值為7；（2）當a=7時，原方程變形為x28x+9=0，=6449=28，x=，x1=4+，x2=4；x28x+9=0，x28x=9，所以原式=2x2=2x216x+=2（x28x）+=2（9）+=點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b24ac：當0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0，方程沒有實數(shù)根也考查了一元二次方程的定義和解法以及整體思想2（2013孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2（1

11、）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k使得0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)已知一元二次方程的根的情況，得到根的判別式0，據(jù)此列出關(guān)于k的不等式（2k+1）24（k2+2k）0，通過解該不等式即可求得k的取值范圍；（2）假設存在實數(shù)k使得0成立利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式轉(zhuǎn)化為含有兩根之和、兩根之積的形式0，通過解不等式可以求得k的值解答：解：（1）原方程有兩個實數(shù)根，（2k+1）24（k2+2k）0，4k2+4k+14k28k014k0，k當k時，原方程有兩個實數(shù)根 （2）假設

12、存在實數(shù)k使得0成立x1，x2是原方程的兩根， 由0，得0 3（k2+2k）（2k+1）20，整理得：（k1）20，只有當k=1時，上式才能成立 又由（1）知k，不存在實數(shù)k使得0成立點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，在解不等式時一定要注意數(shù)值的正負與不等號的變化關(guān)系3（2013南充）關(guān)于x的一元二次方程為（m1）x22mx+m+1=0（1）求出方程的根；（2）m為何整數(shù)時，此方程的兩個根都為正整數(shù)？考點：解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解專題：壓軸題分析：（1）利用求根根式x=解方程；（2）利用（1）中x的值來確定m的值解答：解：（1）根據(jù)題意，得m1=（2m）24（m1

13、）（m+1）=4，則x1=，x2=1；（2）由（1）知，x1=1+，方程的兩個根都為正整數(shù)，是正整數(shù)，m1=1或m1=2，解得，m=2或3即m為2或3時，此方程的兩個根都為正整數(shù)點評：本題考查了公式法解一元二次方程要會熟練運用公式法求得一元二次方程的解4（2013荊州）已知：關(guān)于x的方程kx2（3k1）x+2（k1）=0（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；（2）若此方程有兩個實數(shù)根x1，x2，且|x1x2|=2，求k的值考點：根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系分析：（1）確定判別式的范圍即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1x2，繼而根據(jù)題意可得出方程，解出即可解答：（1

14、）證明：當k=0時，方程是一元一次方程，有實數(shù)根；當k0時，方程是一元二次方程，=（3k1）24k2（k1）=（k+1）20，無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根（2）解：此方程有兩個實數(shù)根x1，x2，x1+x2=，x1x2=，|x1x2|=2，（x1x2）2=4，（x1+x2）24x1x2=4，即4=4，解得：=2，即k=1或k=點評：本題考查了根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎題，這些用到的知識點是需要我們熟練記憶的內(nèi)容5（2012慶陽）已知關(guān)于x的方程k2x22（k+1）x+1=0有兩個實數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）當k=1時，設所給方程的兩個根分別為x1和x2，求+的值考點：根的判別式

15、；根與系數(shù)的關(guān)系專題：計算題分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k20且=4（k+1）24k20，然后解兩個不等式，求出它們的公共部分即可；（2）先把k=1代入方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=4，x1x2=1，然后把所求的代數(shù)式變形得到+=，然后利用整體思想進行計算解答：解：（1）根據(jù)題意得k20且=4（k+1）24k20，解得k且k0；（2）k=1時方程化為x24x+1=0，則x1+x2=4，x1x2=1，+=14點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b24ac：當0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0

16、，方程沒有實數(shù)根也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系6（2010孝感）關(guān)于x的一元二次方程x2x+p1=0有兩實數(shù)根x1，x2，（1）求p的取值范圍；（2）若2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，求p的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式分析：（1）一元二次方程有實根，0，根據(jù)判別式的公式代入可求p的取值范圍；（2）將等式變形，結(jié)合四個等式：x1+x2=1，x1x2=p1，x12x1+p1=0，x22x2+p1=0，代入求p，結(jié)果要根據(jù)p的取值范圍進行檢驗解答：解：（1）由題意得：=（1）24（p1）0解得，p；（2）由2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9得，（2+x1x12）（2+x2

17、x22）=9x1，x2是方程x2x+p1=0的兩實數(shù)根，x12x1+p1=0，x22x2+p1=0，x1x12=p1，x2x22=p1（2+p1）（2+p1）=9，即（p+1）2=9p=2或p=4，p，所求p的值為4點評：本題考查了一元二次方程的根的判別式運用，根與系數(shù)關(guān)系的運用以及等式變形的能力7（2009淄博）已知x1，x2是方程x22x+a=0的兩個實數(shù)根，且x1+2x2=3（1）求x1，x2及a的值；（2）求x133x12+2x1+x2的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；解二元一次方程組；一元二次方程的解分析：（1）將x1+2x2=3與兩根之和公式、兩根之積公式聯(lián)立組成方程組即可求出x1，x2及

18、a的值；（2）欲求x133x12+2x1+x2的值，先把代此數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值即可求出x133x12+2x1+x2的值解答：解：（1）由題意，得，解得x1=1+，x2=1所以a=x1x2=（1+）（1）=1；（2）由題意，得x122x11=0，即x122x1=1x133x12+2x1+x2=x132x12x12+2x1+x2=x1（x122x1）（x122x1）+x2=x11+x2=（x1+x2）1=21=1點評：若一元二次方程有實數(shù)根，則根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=，x1x2=，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法8（2009江津區(qū)）已知

19、a、b、c分別是ABC的三邊，其中a=1，c=4，且關(guān)于x的方程x24x+b=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷ABC的形狀考點：等腰三角形的判定；根的判別式專題：壓軸題分析：先根據(jù)關(guān)于x的方程x24x+b=0有兩個相等的實數(shù)根，可知=（4）24b=0，求出b的值為4，再根據(jù)a，c的值來判斷ABC的形狀解答：解：方程x24x+b=0有兩個相等的實數(shù)根=（4）24b=0（3分）b=4（4分）c=4b=c=4（5分）ABC為等腰三角形（6分）點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用和利用邊與邊之間的關(guān)系判斷三角形的形狀總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）

20、=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根9（2009鄂州）已知關(guān)于x的方程kx22（k+1）x+k1=0有兩個不相等的實數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使此方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由考點：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的定義；根的判別式分析：（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根可知=2（k+1）24k（k1）0，求得k的取值范圍；（2）可假設存在實數(shù)k，使得方程的兩個實數(shù)根x1，x2的倒數(shù)和為0，列出方程即可求得k的值，然后把求得的k值代入原式中看看與已知是否矛盾，如果矛盾則不存在，如果不矛盾則存在解答：解：（1）方程有兩個不相

21、等的實數(shù)根，=2（k+1）24k（k1）=12k+40，且k0，解得k，且k0，即k的取值范圍是k，且k0；（2）假設存在實數(shù)k，使得方程的兩個實數(shù)根x1，x2的倒數(shù)和為0，則x1，x2不為0，且，即，且，解得k=1，而k=1與方程有兩個不相等實根的條件k，且k0矛盾，故使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和為0的實數(shù)k不存在點評：本題主要考查了根的判別式的運用和給定一個條件判斷是否存在關(guān)于字母系數(shù)的值令條件成立解決此類問題，要先假設存在，然后根據(jù)條件列出關(guān)于字母系數(shù)的方程解出字母系數(shù)的值，再把求得的字母系數(shù)值代入原式中看看與已知是否矛盾，如果矛盾則不存在，如果不矛盾則存在10（2008濮陽）已知x1，x

22、2是關(guān)于x的一元二次方程x26x+k=0的兩個實數(shù)根，且x12x22x1x2=115（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-直接開平方法；根的判別式專題：壓軸題分析：（1）方程有兩個實數(shù)根，必須滿足=b24ac0，從而求出實數(shù)k的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，x1x2x1x2=115即x1x2（x1+x2）=115，即可得到關(guān)于k的方程，求出k的值（2）根據(jù)（1）即可求得x1+x2與x1x2的值，而x12+x22+8=（x1+x2）22x1x2+8即可求得式子的值解答：解：（1）x1，x2是方程x26x+k=0的兩個根，x1+x2=6，x1x2=k

23、，x12x22x1x2=115，k26=115，解得k1=11，k2=11，當k1=11時，=364k=36440，k1=11不合題意當k2=11時，=364k=36+440，k2=11符合題意，k的值為11；（2）x1+x2=6，x1x2=11x12+x22+8=（x1+x2）22x1x2+8=36+211+8=66點評：總結(jié)：（1）一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：0方程有兩個不相等的實數(shù)根；=0方程有兩個相等的實數(shù)根；0方程沒有實數(shù)根（2）根與系數(shù)的關(guān)系是：x1+x2=，x1x2=根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把x12x22x1x2=115轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程，解得k的值是解決本題的關(guān)鍵11（200

24、7孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m1）x2m2+m=0（m為實數(shù)）有兩個實數(shù)根x1、x2（1）當m為何值時，x1x2；（2）若x12+x22=2，求m的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式分析：（1）當m為何值時x1x2，即方程有兩個不同的根，則根的判別式0（2）依據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，可以設方程的兩根是x1、x2，則可以表示出兩根的和與兩根的積，依據(jù)x12+x22=（x1+x2）22x1x2，即可得到關(guān)于m的方程，即可求得m的值解答：解：（1）x2+（m1）x2m2+m=0（m為實數(shù)）有兩個實數(shù)根x1、x2a=1，b=m1，c=2m2+m，=b24ac=（m1）2

25、4（2m2+m）=m22m+1+8m24m=9m26m+1=（3m1）2，要使x1x2，則應有0，即=（3m1）20，m；（2）根據(jù)題意得：x1+x2=1m，x1x2=2m2+mx12+x22=2，即x12+x22=（x1+x2）22x1x2，即（1m）22（2m2+m）=2，解得m1=，m2=1點評：本題是常見的根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)合試題把求未知系數(shù)m的問題轉(zhuǎn)化為解方程問題是解決本題的關(guān)鍵12（2006沈陽）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+m1=0（1）請你為m選取一個合適的整數(shù)，使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設，是（1）中你所得到的方程的兩個實數(shù)根，求2+2+的值考點

26、：根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系專題：計算題；開放型；判別式法分析：（1）根據(jù)0求得m的取值范圍，再進一步在范圍之內(nèi)確定m的一個整數(shù)值；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，對2+2+進行變形求解解答：解：（1）根據(jù)題意，得=b24ac=164（m1）0，解得m5只要是m5的整數(shù)即可如：令m=1（2）當m=1時，則得方程x2+4x=0，是方程x2+4x=0的兩個實數(shù)根，+=4，=0，2+2+=（+）2=（4）20=16點評：（1）一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：0方程有兩個不相等的實數(shù)根；=0方程有兩個相等的實數(shù)根；0方程沒有實數(shù)根（2）一元二次方程的兩根之和等于，兩個之積等于13（2006旅順口區(qū)）已知

27、關(guān)于x的方程2x2kx+1=0的一個解與方程的解相同（1）求k的值；（2）求方程2x2kx+1=0的另一個解考點：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解；解分式方程分析：（1）分式方程較完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得k的值（2）根據(jù)兩根之和=即可求得另一根的解解答：解：（1）解方程：，得2x+1=44x經(jīng)檢驗是原方程的解把代入方程2x2kx+1=0解得k=3（2）當k=3時，方程為2x23x+1=0由根與系數(shù)關(guān)系得方程另一個解為：x=1點評：此題主要考查方程解的意義，及同解方程、解方程等知識注意運用根與系數(shù)的關(guān)系使運算簡便14（2006龍巖）已知：關(guān)于x的一元二次方程x2（2m+1

28、）x+m2+m2=0（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足，求m的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式；解分式方程專題：計算題；證明題分析：（1）方程總有兩個不相等的實數(shù)根的條件是0，由0可推出m的取值范圍（2）欲求m的值，先把代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后與兩根之和公式、兩根之積公式聯(lián)立組成方程組，解方程組即可求m的值解答：解：（1）=（2m+1）24（m2+m2）=4m2+4m+14m24m+8=90不論m取何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根（2）解法一：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有x1+x2=2m+1，x1x

29、2=m2+m2又整理得m2=4解得m1=2，m2=2經(jīng)檢驗m=2是增根，舍去m的值為2解法二：由原方程可得x（m1）x（m+2）=0x1=m+2，x2=m1又m=2經(jīng)檢驗：m=2符合題意m的值為2點評：本題考查了一元二次方程根的判別方法，根與系數(shù)關(guān)系的靈活運用等知識根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系把求m的問題轉(zhuǎn)化為解方程的問題，是解決本題的關(guān)鍵15（2006江西）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx1=0，（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的兩根分別為x1，x2，且滿足x1+x2=x1x2，求k的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式專題：計算題；證明題分析：當0時方程有兩個不相等的

30、實數(shù)根，本題中=k241（1）=k2+40利用兩根之和公式、兩根之積公式與x1+x2=x1x2聯(lián)立組成方程組，解方程組即可求出k的值解答：證明：（1）=k241（1）=k2+40原方程有兩個不相等的實數(shù)根解：（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=k，x1x2=1x1+x2=x1x2，k=1，解得k=1點評：命題立意：考查一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系及推理論證能力16（2006黑龍江）已知關(guān)于x的一元二次方程kx22（k+1）x+k1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使+=1成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由考點：根的判別式；一

31、元二次方程的定義；根與系數(shù)的關(guān)系專題：開放型分析：（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關(guān)于k的不等式，求得k的取值范圍（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)+=，即可求出k的值，看是否滿足（1）中k的取值范圍，從而確定k的值是否存在解答：解：（1）由題意知，k0且=b24ac0b24ac=2（k+1）24k（k1）0，即4k2+8k+44k2+4k0，12k4解得：k且k0（2）不存在x1+x2=，x1x2=，又有+=1，可求得k=3，而3滿足條件的k值不存在點評：總結(jié)：1、一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：0方程有兩個不相等的實數(shù)根；=0方程有兩個相等的實數(shù)根；0方程沒有實數(shù)根2、一元二次方程

32、的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=，x1x2=3、一元二次方程的二次項系數(shù)不為017（2006廣安）已知：ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5試問：k取何值時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形？考點：根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理分析：ABC是以BC為斜邊的直角三角形，即AB，AC的平方和是25，則一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根的平方和是25，根據(jù)韋達定理和勾股定理解出k的值，再把k的值代入原方程，檢查k是哪個值時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形則可解答：解：

33、設邊AB=a，AC=ba、b是方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩根a+b=2k+3，ab=k2+3k+2又ABC是以BC為斜邊的直角三角形，且BC=5a2+b2=52，即（a+b）22ab=52，（2k+3）22（k2+3k+2）=25k2+3k10=0k1=5或k2=2當k=5時，方程為：x2+7x+12=0解得：x1=3，x2=4（舍去）當k=2時，方程為：x27x+12=0解得：x1=3，x2=4當k=2時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形點評：此題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及勾股定理的應用求出k的值后，一定要代入原方程進行檢驗18（2005徐州）已知，是關(guān)于x的一

34、元二次方程（m1）x2x+1=0的兩個實數(shù)根，且滿足（+1）（+1）=m+1，求實數(shù)m的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的定義；解分式方程分析：，是關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2x+1=0的兩個實數(shù)根，有+=，=，且（+1）（+1）=（+）+1代入可得（+1）（+1）=m+1即可得到關(guān)于m的方程，從而求解解答：解：一元二次方程（m1）x2x+1=0有兩個實數(shù)根，解之得m且m1，而+=，=，又（+1）（+1）=（+）+1=m+1，+=m，解之得m1=1，m2=2，經(jīng)檢驗m1=1，m2=2都是原方程的根m，m2=2不合題意，舍去，m的值為1注：如果沒有求出m的取值范圍，但在求出m值后代入原方

35、程檢驗，舍去m=2也正確點評：本題考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數(shù)關(guān)系即韋達定理，兩根之和是，兩根之積是利用根與系數(shù)的關(guān)系把求m的問題轉(zhuǎn)化為方程的問題，是解決本題的關(guān)鍵19（2005龍巖）已知關(guān)于x的方程（m1）x22mx+m=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2；（1）求m的取值范圍；（2）若（x1x2）2=8，求m的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式；解分式方程分析：（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，建立關(guān)于m的不等式，然后求出m的取值范圍；（2）把根與系數(shù)的關(guān)系式代入（x1x2）2=8即（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=8，代入即可得到

36、一個關(guān)于m的方程，求得m的值解答：解：（1）a=m1，b=2m，c=m，而方程有兩個不相等的實數(shù)根，=b24ac=4m24（m1）m=4m0，m0（m1）；（2），（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=8，解得：m1=2，m2=經(jīng)檢驗2和都是方程的解點評：總結(jié)：1、一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根（3）0方程沒有實數(shù)根2、若一元二次方程有實根，則根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=，x1x2=20（2005荊門）已知：關(guān)于x的方程x2（k+1）x+k2+1=0的兩根是一個矩形兩鄰邊的長（1）k取何值時，方程有兩個實數(shù)根；（2

37、）當矩形的對角線長為時，求k的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式；勾股定理；矩形的性質(zhì)分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，方程有兩個實數(shù)根，則判別式0，得出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍（2）根據(jù)勾股定理和根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于k的方程，求出k的值并檢驗解答：解：（1）設方程的兩根為x1，x2則=（k+1）24（k2+1）=2k3，方程有兩個實數(shù)根，0，即2k30，k當k，方程有兩個實數(shù)根（2）由題意得：，又x12+x22=5，即（x1+x2）22x1x2=5，（k+1）22（k2+1）=5，整理得k2+4k12=0，解得k=2或k=6（舍去），k的值為2點評：解決本題的關(guān)鍵是利用一元二

38、次方程根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理，把問題轉(zhuǎn)化為解方程求得k的值21（2005江西）設關(guān)于x的一元二次方程x24x2（k1）=0有兩個實數(shù)根x1、x2，問是否存在x1+x2x1x2的情況？考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式分析：本題運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可把x1+x2x1x2轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，檢驗所得值，是否能使方程的判別式0解答：解：不存在一元二次方程x24x2（k1）=0有兩個實數(shù)根x1、x2x1+x2=4，x1x2=2（k1）假設存在x1+x2x1x2，即有42（k1），k1又所給方程有實根，由根的判別式=（4）42（k1）0得k1k值不存在即不存在x1+x2x1x2的情況點評：

39、將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法22（2004荊州）關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k21=0有兩個實數(shù)根（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的平方和與兩個實數(shù)根的積相等？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式專題：計算題分析：（1）根據(jù)判別式0即可求解；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到關(guān)于K的方程即可求解解答：解：（1）方程的判別式=4k+5，依題意，=4k+50，k5/4；（2）設方程的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，x12+x22=x1x2，得k=2時k=2時，O，故不存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的

40、平方和與兩個實數(shù)根的積相等點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，屬于基礎題，關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系23（2003鹽城）已知關(guān)于x的方程x2+2（2m）x+36m=0（1）求證：無論m取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根；（2）如果方程的兩個實數(shù)根x1、x2滿足x1=3x2，求實數(shù)m的值考點：根的判別式；解一元二次方程-因式分解法；根與系數(shù)的關(guān)系專題：計算題；證明題分析：（1）證明一元二次方程根的判別式恒大于0，即可解答；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=4x2=2（2m）=2m4，以及x1x2=3x22=36m即可求得m的值解答：解：（1）證明：關(guān)于x的方程x2+2（2m）x+36

41、m=0中，=4（2m）24（36m）=4（m+1）20，無論m取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根（2）如果方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1=3x2，則x1+x2=4x2=2（2m）=2m4x2=1 x1x2=3x22=36m，x22=12m，把代入得m（m+4）=0，即m=0，或m=4答：實數(shù)m的值是0或4點評：解答此題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，及根與系數(shù)的關(guān)系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根（4）若一元二次方程有實數(shù)根，則x1+x2=，x1x2=24（2002海南）對關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）（

42、1）當a、c異號時，試證明該方程必有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當a、c同號時，該方程要有實數(shù)根，還須滿足什么條件？請你找出一個a、c同號且有實數(shù)根的一元二次方程，然后解這個方程考點：根的判別式；解一元二次方程-因式分解法專題：證明題；開放型分析：利用一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系解答解答：解：（1）a、c異號，ac0，4ac0，又b20，=b24ac0，方程有兩個不相等的實數(shù)根（2）當a、c同號時，方程ax2+bx+c=0（a0）有實數(shù)根還需滿足b24ac0，如a=1，b=3，c=2時，=b24ac=（3）2412=10，方程為x23x+2=0，解得：x1=1，x2=3點評：解答此題要根據(jù)

43、一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根25（2001蘇州）已知關(guān)于x的一元二次方程，（1）求證：不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設x1、x2是方程的兩個根，且x122kx1+2x1x2=5，求k的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式專題：計算題；證明題；壓軸題分析：（1）要保證方程總有兩個不相等的實數(shù)根，就必須使0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計算即可解答：解：（1）已知關(guān)于x的一元二次方程，=（2k）24（k22）=2k2+8，2k2+80恒成

44、立，不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根（2）x1、x2是方程的兩個根，x1+x2=2k，x1x2=k22，x122kx1+2x1x2=x12（x1+x2）x1+2x1x2=x1x2=k22=5，解得k=點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法26（2001福州）已知關(guān)于x的方程x22（m+1）x+m23=0（1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？（2）設x1、x2是方程的兩根，且（x1+x2）2（x1+x2）12=0，求m的值考點：根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式專題：壓軸題分析：（1）若一元二次方程有

45、兩不等實數(shù)根，則根的判別式=b24ac0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍（2）給出方程的兩根，根據(jù)所給方程形式，可利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=2（m+1），代入且（x1+x2）2（x1+x2）12=0，即可解答解答：解：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，=b24ac=2（m+1）241（m23）=16+8m0，解得：m2；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=2（m+1），（x1+x2）2（x1+x2）12=0，2（m+1）22（m+1）12=0，解得：m1=1或m2=（舍去）m2；m=1點評：根據(jù)方程的根的情況即可得到關(guān)于未知系數(shù)的不等式，轉(zhuǎn)化為結(jié)不等式的問題，另外

46、（2）把求未知系數(shù)的問題，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可轉(zhuǎn)化為方程的問題27（1998山西）設a，b，c是ABC三邊的長，且關(guān)于x的方程c（x2+n）+b（x2n）2ax=0（n0）有兩個實數(shù)根，求證：ABC是直角三角形考點：根的判別式；勾股定理的逆定理專題：證明題；壓軸題分析：先把關(guān)于x的方程整理成一元二次方程的一般形式，再根據(jù)方程由兩個相等的實數(shù)根即可得出a、b、c的關(guān)系，進而得出結(jié)論解答：證明：關(guān)于x的方程c（x2+n）+b（x2n）2ax=0（n0）可化為（c+b）x22ax+（cb）n=0，方程有兩個相等的實數(shù)根，=（2a）24n（c+b）（cb）=0，即a2=b2+c2，a，b，c是ABC三邊的長，ABC是直角三角形點評：本題考查的是根的判別式及勾股定理的逆定理，熟知一元二次方程的根與判別式之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵28（2