一般單元在局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣

1、.9.3 一般單元在局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣1.桿端內(nèi)力與位移關(guān)系回顧（軸向）；（彎曲）；2.公式推導(dǎo)（圖1）圖1桿件性質(zhì)：長度l，截面面積A，截面慣性矩I，彈性模量E；桿端位移u、v、。（1）（2）列成矩陣形式：（3）即： （4）局部坐標(biāo)系下單元剛度矩陣：（5）9.4 梁單元1.簡支梁簡支梁單元見圖1。圖1說明：（a）梁單元通常忽略軸向變形；（b）圖10-3中；相應(yīng)的力分量也應(yīng)該為零；（c）依據(jù)剛度矩陣的物理意義，可以由一般單元的剛度矩陣生成梁單元矩陣。即去掉位移分量為零的相應(yīng)行和列。即：單元剛度方程： 單元剛度矩陣：（1） 2.懸臂梁等 思考：建立圖2的單元剛度矩陣：（固定端位移為零；自

2、由端有轉(zhuǎn)角和豎向位移)圖2圖a： 圖b：3.桁架僅有軸向位移9.5 單元剛度系數(shù)的物理意義1.單元剛度系數(shù)的意義 一般地，第 j 個桿端位移分量取單位值1，其它桿端位移為 0 時所引起的第i個桿端力分量的值。例：的物理意義：當(dāng)?shù)?個桿端位移分量時引起的第5個桿端力分量。對稱性 （反力互等定理）3.奇異性（，不存在逆矩陣） 根據(jù)式可由桿端位移求解桿端力，且是唯一解。但由桿端力求桿端位移，可能無解，如有解也是非唯一解。 說明：已知6個桿端力分量，（a）無法保證力狀態(tài)的合法性可能造成無解；（b）無法確定桿的支承條件可能造成非唯一解。9.6 單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的物理意義1.問題的提出單元剛度矩陣單根桿；

3、多根根組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)呢？（圖1）圖1分析（a）從數(shù)學(xué)的角度理解整體坐標(biāo)系（xy）與局部坐標(biāo)系（）的區(qū)別； （b）力分量應(yīng)向整體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，圖f給出了兩種坐標(biāo)系下力分量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系：。同理： 2.公式推導(dǎo)矩陣形式：（1） 同理：（2）其中：為單位坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。3.T的特性正交矩陣：其逆矩陣等于轉(zhuǎn)置矩陣，即。0時，（單位矩陣）。9.7 整體坐標(biāo)系單元剛度矩陣1.整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣兩種坐標(biāo)系中單元剛度矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：單元剛度矩陣的性質(zhì)：同局部坐標(biāo)系下。2.實(shí)例 例10-1：圖1結(jié)構(gòu)，已知單元（1）、（2）在局部坐標(biāo)系（桿件箭頭方向）中的單元矩陣如下（單位：長度m，角度rad，力kN），求

4、各單元在整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣。圖1分析：求T求依據(jù)圖形。解：（1）單元1：0， （2）單元2：90；（3）單元2：120； 注意：圖中單元的方向，計(jì)算時宜取與整體坐標(biāo)系相同（轉(zhuǎn)角以逆時針為正）。思考圖2的求解。圖29.8 位移法建立整體剛度矩陣1. 回顧（1）連續(xù)梁的特點(diǎn)：并考慮桿件的軸向變形；一般情況下，結(jié)構(gòu)僅有轉(zhuǎn)角位移。（2）兩端固定的梁，在近端有一轉(zhuǎn)角，相應(yīng)產(chǎn)生桿端彎矩：4i（近端）和2i（遠(yuǎn)端）。2. 公式推導(dǎo)圖1兩跨連續(xù)梁。圖1結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)力偶的關(guān)系見表1。表1位移結(jié)點(diǎn)力偶 M1M2M314i112i11022i12（4i1+4i2）22i22302i234i23矩陣形式：記為：整

5、體剛度方程其中：整體剛度矩陣注意：紅、綠框中分別是單元（1）和（2）的單元剛度矩陣。3.單元集成法的概念基本思路：考慮單元獨(dú)立貢獻(xiàn)，再疊加。如圖1。圖1基本過程：局部單元剛度矩陣單元貢獻(xiàn)矩陣整體單元剛度矩陣；4.單元定位向量的概念總碼（整體分析）：結(jié)點(diǎn)位移在結(jié)構(gòu)中統(tǒng)一編碼，如1，2等；局部編碼（單元分析）：單元結(jié)點(diǎn)位移，如（1），（2）等。單元定位向量（）：單元結(jié)點(diǎn)位移的總碼組成的向量。具體見圖2和表1。圖2表10-1單元局部碼總碼單元定位向量（）（1）1（2）2（1）2（2）3任意單元（i）r（j）s5.實(shí)例分析 求圖10-11連續(xù)梁的整體剛度矩陣。圖10-11分析：固定端總碼為0；總碼的最

6、后編號為n，則整體剛度矩陣為nn階。解：見表10-3單元單元剛度矩陣定位向量單元貢獻(xiàn)矩陣整體剛度矩陣6.整體剛度矩陣的性質(zhì) Kij第 j 個桿端位移分量取單位值1，其它桿端位移為 0 時所引起的第i個桿端力分量的值。K是對稱矩陣、可逆矩陣、和帶狀稀疏矩陣（非零元素集中在主對角線兩側(cè)的局部帶寬之內(nèi)）。9.9 剛架整體剛度矩陣剛結(jié)點(diǎn)1問題的引出（a）連續(xù)梁建立方法：單元剛度矩陣通過單元定位向量形成整體剛度矩陣。（b）剛架與連續(xù)梁的區(qū)別：考慮軸向變形（有水平豎向位移）。（c）必須采用整體坐標(biāo)系，統(tǒng)一各桿的方向。2建立過程：編碼單元定位向量單元集成編碼原則：已知位移分量為零的，總碼為零；位移分量不為零的，總碼（每個結(jié)點(diǎn)）按順序：水平位移豎向位移轉(zhuǎn)角位移；其方向由整體坐標(biāo)系的方向確定。一般結(jié)點(diǎn)順序可按：剛結(jié)點(diǎn)支座；左右；上下。注意處理支座情況和剛結(jié)點(diǎn)。見圖1。圖1實(shí)例分析：圖1中a）和b）的單元單位向量見表1，整體剛度矩陣的集成過程見表2a和b。 表1表10-5（圖a）表10-5（圖b）與剛性結(jié)點(diǎn)的區(qū)別鉸結(jié)點(diǎn)（兩桿相交）編號有4個，兩個線位移（水平和豎向）和兩個鉸位移，即兩桿的線位移編號相同，角位移編號不同。