2011-2012揚(yáng)州大學(xué)第二學(xué)期高等代數(shù)試卷A

1、2011-2012揚(yáng)州大學(xué)第二學(xué)期高等代數(shù)試卷A數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 級(jí)1、2班答卷說(shuō)明：1、本試卷共3頁(yè)，四個(gè)大題，滿(mǎn)分100分，120分鐘完卷。 2、字跡工整，卷面整潔。題號(hào)一二三四總 分總分人題分30203020核分人得分復(fù)查人得分一、填空：(每空2分，共20分)評(píng)卷人 1、實(shí)二次型的矩陣為 ；2、設(shè)為實(shí)數(shù)域上由矩陣的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的空間，其中，則的一組基為 ； 3.設(shè)與是的兩個(gè)子空間，則+是直和的充分必要條件是 ；4、在歐氏空間中，向量，那么 ， ；5、復(fù)矩陣的全體特征值的和等于 ，而全體特征值的積等于 。6、已知三維歐氏空間中有一組基，其度量矩陣為，則向量的長(zhǎng)度為 ，

2、向量與的距離為 。7、已知是的一個(gè)子空間，則 ，它的一組基 ；8、已知的兩組基（）：和（），又的線性變換滿(mǎn)足：，則在基（）下的矩陣為 ；基（）到基（）的過(guò)渡矩陣為 ；9、若矩陣的特征值是，則的特征值是 ；10、已知二次型，則當(dāng)滿(mǎn)足 時(shí)，二次型是正定的。二、判斷：(正確的用“”表示，錯(cuò)誤的用“”表示，每小題2分，共20分)得分評(píng)卷人1、在線性空間中，是的解空間，是的解空間，是的解空間，則。 （ ）2、在全體二維實(shí)向量集合中,按如下規(guī)定的加法與數(shù)乘運(yùn)算：，構(gòu)成的線性空間中，向量與是線性相關(guān)的； （ ）3、若都是的線性變換，且，則的核與值域都是的不變子空間；（ ）4、數(shù)乘變換在任何基下的矩陣都相等；

3、( )5、對(duì)于歐氏空間中任意向量，是中一個(gè)單位向量； ( )6、是維歐氏空間的一組基，分別是中的向量在這組基下的坐標(biāo)，則； （ ）7、線性變換的特征向量之和仍是特征向量；（ ）8、是上的4維線性空間；（ ）9、兩個(gè)級(jí)正交矩陣之和是正交矩陣； （ ）10、歐氏空間的內(nèi)積是一個(gè)雙線性函數(shù). ( )揚(yáng)州大學(xué)高等代數(shù)得分三、計(jì)算題：(每小題15分，共30分)評(píng)卷人 1、設(shè),是四維線性空間的一組基,已知線性變換在這組基下的矩陣為（1）求在基,下的矩陣;（2）求的特征值與特征向量.密 封 線 內(nèi) 不 要 答 題密封線系 學(xué) 號(hào) 姓 名 裝訂線2. 設(shè)二次型 ，求一正交變換 化 為標(biāo)準(zhǔn)形。密 封 線 內(nèi) 不 要 答 題密封線系 學(xué) 號(hào) 姓 名 裝訂線揚(yáng)州大學(xué)高等代數(shù)得分四、證明題：(每小題10分，共20分)評(píng)卷人 1、設(shè)是級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且正定，為實(shí)矩陣，證明：為正定矩陣的充要條件是.密 封 線 內(nèi) 不 要