2020北京市中考數(shù)學專題復習-新定義問題

1、二、重難專題突破專題九 新定義問題(必考)類型一 新定義點與函數(shù)問題(8年4考：2017.29、2015.29、2014.25、2013.25)1. (2019房山區(qū)一模)在平面直角坐標系xOy中，C的半徑為r，給出如下定義：若點P的橫、縱坐標均為整數(shù)，且到圓心C的距離dr，則稱P為C的關(guān)聯(lián)整點.(1)當O的半徑r2時，在點D(2，2)，E(1，0)，F(xiàn)(0，2)中，為O的關(guān)聯(lián)整點的是；(2)若直線yx4上存在O的關(guān)聯(lián)整點，且不超過7個，求r的取值范圍；(3)C的圓心在x軸上，半徑為2，若直線yx4上存在C的關(guān)聯(lián)整點.求圓心C的橫坐標t的取值范圍.第1題圖2. (2019豐臺區(qū)二模)對于平面直

2、角坐標系xOy中的點P和C，給出如下定義：若C上存在兩個點A，B，使得點P在射線BC上，且APBACB(0ACB0).在ABC中，D，E分別是AB，AC的中點.若t，求ABC的中內(nèi)弧所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍；若在ABC中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心P在ABC的內(nèi)部或邊上，直接寫出t的取值范圍.2. P是O內(nèi)一點，過點P作O的任意一條弦AB，我們把PAPB的值稱為點P關(guān)于O的“冪值”.第2題圖(1)O的半徑為6，OP4.如圖，若點P恰為弦AB的中點，則點P關(guān)于O的“冪值”為；判斷當弦AB的位置改變時，點P關(guān)于O的“冪值”是否為定值，若是定值，證明你的結(jié)論；若不是定值，求點P關(guān)于O的“

3、冪值”的取值范圍；(2)若O的半徑為r，OPd，請參考(1)的思路，用含r、d的式子表示點P關(guān)于O的“冪值”或“冪值”的取值范圍；(3)在平面直角坐標系xOy中，C(1，0)，C的半徑為3，已知點M(t，0)，N(0，t)，若在直線MN上存在點P，使得點P關(guān)于C的“冪值”為6，請直接寫出t的取值范圍.參考答案類型一新定義點與函數(shù)問題1. 解：(1)E，F(xiàn)；【解法提示】D(2，2)，E(1，0)，F(xiàn)(0，2)，O(0，0)，OD22，OE12，OF2，E，F(xiàn)為O的關(guān)聯(lián)整點；(2)如解圖，當O與直線yx4相切時，切點為G(2，2)，則rOG2.當O過點Q(2，6)時，則rOQ2，結(jié)合圖象，當直線y

4、x4上存在O的關(guān)聯(lián)整點，且不超過7個時，r的取值范圍為2r2；第1題解圖(3)如解圖，當C過點M(3，1)時，CM2，ME1，則CE，此時點C的橫坐標t3，當C過點N(5，1)時，則FC，此時點C的橫坐標t5，結(jié)合函數(shù)圖象，圓心C的橫坐標t的取值范圍為3t5.第1題解圖2. 解：(1)E、F；【解法提示】如解圖，根據(jù)P為O的依附點，可知：當rOP3r(r為O的半徑)時，點P為O的依附點第2題解圖D(1，0)，E(0，2)，F(xiàn)(2.5，0)，OD1，OE2，OF2.5，1OE3，1OF3，點E，F(xiàn)是O的依附點，故答案為：E、F；如解圖，第2題解圖當點T在第四象限，OT1時，作TNx軸于點N，易知

5、N(，0)，OT3時，作TMx軸于點M，易知M(，0)，滿足條件的點T的橫坐標t的取值范圍為t.當點T在第二象限時，同理可得滿足條件的t的取值范圍為t，綜上所述，滿足條件的t的值的范圍為t或t.(2)4m4或4m22.【解法提示】如解圖，當點C在點M的右側(cè)時，第2題解圖由題意M(2，0)，N(0，2)，當CN6時，OC4，此時C(4，0)，當CM2時，此時C(4，0)，滿足條件的m的值的范圍為4m4.如解圖，當點C在點M的左側(cè)時，第2題解圖當C與直線MN相切時，易知C(22，0)，當CM6時，C(4，0)，滿足條件的m的值的范圍為4m22，綜上所述，滿足條件的m的值的范圍為：4m4或4m22.

6、3. 解：(1) 3，；【解法提示】d的最小值OA3，d的最大值OB.P1；【解法提示】由題圖可知，P1到線段AB的最小距離OA3，最大距離P1A，則線段AB上存在點M，N，使得P1MON；P2到線段AB的最大距離，P3不符合題意(2) 第3題解圖由題意得，點D到O的最近距離是4，最遠距離是6，點D與點E是O的一對平衡點，此時需要滿足E1到O的最大距離是4，即OE13，根據(jù)OE13解出此時x；同理當E2到圓O的最小距離是6，即OE27，根據(jù)OE27，解得此時x3，x3；(3)b5.【解法提示】點C在以O(shè)為圓心，半徑為5的上半圓上運動，以C為圓心，半徑為2的圓剛好與弧HK相切，此時要想弧HK上的

7、任意兩點都是C的平衡點，需要滿足CK6，如解圖，當CK6，此時a，b，同理，當CH6時，a，b.在兩者中間時，如解圖所示，此時a0，b5，b5.第3題解圖第3題解圖4. 解：(1)A1，A3；【解法提示】如解圖，以MN為直徑的半圓交y軸于點E，以E為圓心，EM長為半徑的E交y軸于點F，MN是G的直徑，M(1，)，N(1，)，MA1N90，MNEG，EG1，MN2.EFEM，MFNMEN45，45MPN90，點P應(yīng)落在E內(nèi)部，且落在G外部(包含邊界)，且不與點M、N重合線段MN的可視點為A1，A3.第4題解圖(2)如解圖，以(0，)為圓心，MN為直徑作G，以(0，)為圓心，為半徑作E，兩圓在直線

8、MN上方的部分與直線yx分別交于點E，F(xiàn).如解圖，過點F作FQx軸于點Q，過點E作EHFQ于點H，F(xiàn)Qx軸，F(xiàn)Qy軸，EFHMEG45.EHF90，EF，EHFH1.E(0，)，F(xiàn)(1，).只有當點B在線段EF上時，滿足45MBN90，點B是線段MN的可視點點B的橫坐標t的取值范圍是0t1；第4題解圖(3)b或b；【解法提示】如解圖，G與x軸交于點H，與y軸交于點E，連接GH，OG，GH1，OH，H(，0)，E(0，).當直線yxb(b0)與x軸交于點C，與y軸交于點D，若線段CD上存在線段MN的可視點，當直線yxb與y軸交點在y負半軸上，將H(，0)代入yxb得b0，解得b1，將N(1，)代

9、入yxb得1b，解得b2，b；當直線yxb與y軸交點在y正半軸上，將 E(0，)代入得b，當直線yxb與E相切于T時交y軸于Q，連接ET，則ETTQ，EQT45，TQETEM，EQ2.OQOEEQ2.b.綜上所述：b或b.第4題解圖類型二 新定義距離與函數(shù)問題1. 解：(1)B(0，2)或B(0，2)(寫出一個答案即可)；(2)設(shè)C點坐標為(m，m3)，D(0，1)；于是當非常距離最小時有|m|m31|，解得 m1，m28(舍去)，于是點C的坐標為(，)；平移直線yx3與O相切，切點為點E，與x軸、y軸交點分別為點A、B，由切線的性質(zhì)可知點E即為最接近直線yx3的點，亦為題中所求的點第1題解圖

10、如解圖，過點E作EFx軸于點F.設(shè)點E的坐標為E(x0，y0)，x00；易知：RtEFO RtAOB，即， 又點E為O上的點，可得方程組：解得：x0，y0， 點E的坐標為(，).設(shè)點C的坐標為C(a，a3)，由可知：當|a|(a3)|時有最小值，a或(舍去)，點C的坐標為C(，)，此時最小值為()1.2. 解：(1)E，F(xiàn)；【解法提示】點A到x，y軸的距離中的最大值等于3，點E到x，y軸的距離中的最大值等于3，點F到x，y軸的距離中的最大值等于3，點G到x，y軸的距離中的最大值等于5；點E，F(xiàn)是點A的“等距點”(3，3)；【解法提示】點A到x，y軸的距離中的最大值等于3，A，B兩點為“等距點”

11、，點B到x，y軸的距離中的最大值等于3，點B在直線yx6上，設(shè)B(a，a6)，當a3時，a69，不符合題意，當a63時，a3，符合題意，B(3，3).(2)T1(1，t1)，T2(4，t2)是直線l上的兩點，t1k3，t24k3.k0，|k3|k33，4k33，依題意可得：當34k34時，k34，解得k1; 當4k34時，k34k3，解得k2.綜上所述，k的值為1或2；r3.【解法提示】當k1時，yx3，則點C的坐標為(3，0)，點D的坐標為(0，3)；如解圖，過點O作OECD于點E，過點E作EFx軸于點F，CD3，OECE.EF.則線段CD上的點到x，y軸的距離中的最小值等于，半徑r的最小值

12、為；線段CD到x，y軸的距離中的最大值等于3，半徑為r的O上存在一點M，使得點M到x，y軸的距離中的最大值等于3，如解圖，過點G(3，3)作x軸的垂線，垂足為點C，連接OG，則OG3，O的半徑r的最大值為3；綜上所述，r的取值范圍是r3.第2題解圖3. 解：(1)如解圖，d(點O，ABC)2; (2)1k1且k0；【解法提示】如解圖，ykx(k0)經(jīng)過原點，在1x1范圍內(nèi)，函數(shù)圖象為線段第3題解圖當ykx(1x1，k0)經(jīng)過(1，1)時，k1，此時d(G，ABC)1，當ykx(1x1，k0)經(jīng)過(1，1)時，k1，此時d(G，ABC)1，1k1，k0，1k1且k0. (3)如解圖，T與ABC的

13、位置關(guān)系分三種情況：T在ABC的左側(cè)時，d(T，ABC)1，此時，t4；T在ABC的內(nèi)部時，d(T，ABC)1，此時，0t42；T在ABC的右側(cè)時，d(T，ABC)1，此時，t42；綜上，t4或0t42或t42.第3題解圖4. 解：(1)5；【解法提示】正方形ABCD的頂點分別為A(0，1)，B(1，0)，C(0，1)，D(1，0)，點E(0，4)在y軸上，點E到正方形ABCD邊上C點間的距離有最大值，EC5，即d(點E)的值為5.如解圖所示：d(點E)5，d(線段EF)的最小值是5，符合題意的點F滿足d(點F)5，當d(點F)5時，BF1DF25，點F1的坐標為(4，0)，點F2的坐標為(4

14、，0)，將點F1的坐標代入ykx4得：04k4，解得：k1，將點F2的坐標代入ykx4得：04k4，解得：k1，k1或k1.當d(線段EF)取最小值時，EF1直線ykx4中k1，EF2直線ykx4中k1，當d(線段EF)取最小值時，k的取值范圍為：k1或k1；(2)t的取值范圍為3t3.【解法提示】T的圓心為T(t，3)，半徑為1，當d(T)6時，如解圖所示：CMCN6，OH3，T1CTC5，CHOCOH134，T1H3，TH3，d(T)6，t的取值范圍為3t3.圖圖第4題解圖類型三 新定義圖形與函數(shù)問題1. 解：(1)如解圖，不妨設(shè)滿足條件的三角形為等腰OAR，則ORAR.過點R作RHOA于

15、點H，OHHAOA2，以線段OA為底的等腰OAR恰好是點O，A的“生成三角形”，RHOA4.OR2.即該三角形的腰長為2；第1題解圖(1，0)，(3，0)或(7，0)【解法提示】如解圖所示：若A為直角頂點時，點B的坐標為(1，0)或(7，0)；若B為直角頂點時，點B的坐標為(1，0)或(3，0).綜上，點B的坐標為(1，0)，(3，0)或(7，0).第1題解圖(2)如解圖可得：若N為直角頂點：1xN0；第1題解圖如解圖可得：若M為直角頂點：6xN2；第1題解圖綜上，點N的橫坐標xN的取值范圍為：6xN0.2. 解：(1)60；【解法提示】如解圖所示，點A(2，0)，B(0，2)，OA2，OB2

16、，在RtAOB中，由勾股定理得：AB4，OAAB，AOB90，ABO30，四邊形ABCD是菱形，ABC2ABO60，ABCD，DCB18060120，以AB為邊的“坐標菱形”的最小內(nèi)角為60；第2題解圖(2)如解圖，第2題解圖以CD為邊的“坐標菱形”為正方形，直線CD與直線y5的夾角是45.過點C作CEDE于點E.D(4，5)或(2，5).直線CD的表達式為：yx1或yx3；(3)分兩種情況：先作直線yx，再作圓的兩條切線，且平行于直線yx，如解圖，第2題解圖O的半徑為，且OQD是等腰直角三角形，ODOQ2，BD321，PDB是等腰直角三角形，PBBD1，P(3，1)，同理可得：OA2，AB3

17、25，ABP是等腰直角三角形，PB5，P(3，5)，當1m5時，以QP為邊的“坐標菱形”為正方形；先作直線yx，再作圓的兩條切線，且平行于直線yx，如解圖，O的半徑為，且OQD是等腰直角三角形，ODOQ2，BD321，PDB是等腰直角三角形，PBBD1，P(3，1)，同理可得：OA2，AB325，ABP是等腰直角三角形，PB5，P(3，5)，當5m1時，以QP為邊的“坐標菱形”為正方形；綜上所述，m的取值范圍是1m5或5m1.第2題解圖類型四 新定義幾何問題1. 解：(1)畫出如解圖所示，與BC相切時，ABC的中內(nèi)弧最長.此時的長為以DE長為直徑的半圓.在RtABC中，ABAC2，BCAB24

18、.D、E分別為AB、AC的中點，DEBC42.l2；第1題解圖(2)當t時，C(2，0).連接DE，當在DE的下方時，點P的縱坐標最小時點P為DE的中點，如解圖所示.A(0，2)，BA2.點D是BA的中點，BD1.點D、E分別為AB、AC的中點，DEBC21.P的半徑PD.1，是ABC的中內(nèi)弧.yP1.第1題解圖第1題解圖當在DE的上方時，點P的縱坐標最大時，P與AC相切于點E.如解圖所示，作DE的垂直平分線FG交DE于點F，交x軸于點G，則四邊形DBGF是矩形，圓心P在FG上.C(2，0)，A(0，2)，BCBA2.RtABC是等腰直角三角形.ACB45.點D、E分別為AB、AC的中點，DE

19、BC.AEDACB.AED45.連接PE，P與AC相切于點E，PEAC.PEA90.PEFPEAAED45.PFDE，F(xiàn)PE45.PEFFPE.PFEF.FG平分DE，DFEFDE1.PF.FGBD1，PGFGPF1.P(，).yP.綜上，圓心P的縱坐標yP的取值范圍為yP1或yP；0t.【解法提示】. 當P在DE上方時，如解圖所示，圓心P在邊AC上且與邊BC相切于點F時，符合題意C(4t，0)，BC4t.D、E分別為AB、AC的中點，DEBC，DEBC4t2t.連接PF.P與BC相切于點F，PFBC.DEBC，DEPF.DGDE2tt.PFBC，PFy軸EPGEAD.PGAD1.又GFBD1，PFPGGF1.DP.在RtPDG中，由勾股定理得DP2DG2GP2，即()2t2()2.解得t.t0，t.t的取值范圍是0t.第1題解圖. 當P在DE下方時，如解圖.P與AC相切于點E為臨界狀態(tài)，過P作PMDE于點M，為ABC的中內(nèi)弧，只需PM1即可此時易得E