同濟(jì)第五版配套矩陣教案

1、課題第一章 矩陣及其運(yùn)算 2.1矩陣 2.2矩陣的運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容矩陣的概念； 矩陣的運(yùn)算；教學(xué)目標(biāo)明確矩陣概念的形成；掌握矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法、矩陣與矩陣的乘法； 會(huì)求矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式、共軛矩陣；教學(xué)重點(diǎn)掌握矩陣定義及運(yùn)算法則教學(xué)難點(diǎn)矩陣乘法雙語教學(xué) 內(nèi)容、安 排矩陣： matrix 矩陣運(yùn)算： matrix operati ons 矩陣的加法：matrix addition數(shù)與矩陣相乘：scalar muctiplicati on轉(zhuǎn)置矩陣：tran sposd matrix教學(xué)手 段、措施講授課（結(jié)合多媒體教學(xué)） 2.1矩陣矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一，是處理許多實(shí)際問題的重要數(shù)

2、學(xué)工具。也是現(xiàn)代科技及經(jīng)濟(jì)理論中不可缺少的重要工具。一授課內(nèi)容：矩陣的概念（給出矩陣、行矩陣、列矩陣、行向量、列向量、方陣、 三角陣、對(duì)角陣、單位陣的概念）矩陣運(yùn)算（相等、加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置）及運(yùn)算法則。二授課過程與說明1.矩陣的概念引入：某工廠要購(gòu)進(jìn) 4種原料F1, F2, F3, F4 若知道 A1,A2,A3生產(chǎn)這4種原料，到哪買這 4種原料呢，對(duì)價(jià)格進(jìn) 行比較F1F2F3F4A14536A256453行4列表A34754在實(shí)際問題中經(jīng)常遇到由m n個(gè)元素構(gòu)成的數(shù)表疋義1 : m n個(gè)兀素aij （i 1,2丄,m; j 1,2丄,n）排成m行n列矩形數(shù)表（對(duì)教學(xué)內(nèi)容及欲 達(dá)目的、講

3、授方法 加以說明）組織教學(xué)矩陣與行列式的區(qū)ai1冃2L弘a21a22La2n=MMMan1an 2Lann稱為一個(gè)m n矩陣。般用大與黑體子母表示：記為A、B、Co為了表示行和列，也可簡(jiǎn)記為 Am n或aij矩陣中數(shù)3ij(i1,2,L ; j 1,2,L )ij m nJ丿稱為矩陣的第i行第j列兀素。注意：m=n時(shí)是方陣，此時(shí)矩陣稱為 n階方陣或n階矩陣。bib2n=1稱為列矩陣或列向量B。Mbnm=i稱為行矩陣或行向量Aa1, a2,L an。定義2:如果兩個(gè)矩陣有相同的行數(shù)，相同的列數(shù)，并且對(duì)應(yīng)位置上的元素均相等。則稱兩個(gè)矩陣相等。記為A=B。把有相同行數(shù)，相同列數(shù)的兩個(gè)矩陣稱為同型矩陣

4、。例1某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣ai1a12a13a14Aa?1a?2a?3a?4a31a32a33a34其中aj為工廠向第i店發(fā)送第j種產(chǎn)品的數(shù)量。這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單價(jià)重量也可列成矩陣S b12aS b22S b32b41 b42其中鬲為第i中產(chǎn)品的單價(jià)，bi2為第j種產(chǎn)品單價(jià)重量。例2四個(gè)航線中的單向航線A X.別？矩陣是數(shù)表，行列 式是數(shù)值或代數(shù) 和；矩陣的行與列 不等，但行列式的 行與列相等。1,從i市到j(luò)市有一條單向航線aij 0,從i市到j(luò)市沒有單向航線則圖可用矩陣表示為0 11110 0 0A (aj)j 0 10 010 10 2.2矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算一、矩

5、陣的加法：定義 1 : A+ B=( aij)mn+( bj ) mn=( aij + bij)mna115a12b|2La1nDn321b21322b?2L32nb2n=MMM3m1bm1am2“2Lamnbmn兩個(gè)同行(m行)、同列(n列)的矩陣相加等于對(duì)應(yīng)位置上的元素相加(行與列不變)由于矩陣加法歸結(jié)為對(duì)應(yīng)位置元素相加，故矩陣加法滿足如下運(yùn)算律1、交換律A+ B= B+ A2、結(jié)合律(A+ B)+C= A+ (B+C )3、有零兀A+0=A4、有負(fù)元 A+(-A)=0A B A ( B)二、數(shù)與矩陣的乘法定義2、給定矩陣A= ( a” ) m n及數(shù)k,則稱(k a” ) m n為數(shù)ka

6、1kaj2Lkaka21ka22Lka2nk與矩陣A的乘積。即kA= k aij =MMMkam1 kam2 Lkamn由定義可知 -=(-1) AA -B = A+(-B)數(shù)乘矩陣滿足以下的運(yùn)算律可行的條件：是同 型矩陣，方法是對(duì) 應(yīng)位置上的元素相 力口。其和與原矩陣 同型用數(shù)乘以矩陣中的每一個(gè)元素1、結(jié)合律：(kl)A=k(l A)=l(kA)2、交換律：kA=Ak3、分配律：k (A+ B ) =kA+kB 例1、 設(shè)31207524A= 157 9B= 5 19724683216求滿足關(guān)系式 A+2X=B的矩陣X ( 3A2B ) 三、矩陣的乘法疋義 3 :設(shè) A=(色)ms B =(

7、 bij)s n 則乘積 AB=C=( Cj )m nCij=abij ai2b2jaisbsjs=akbj (i=1,2m;j=1,2n)k 1一般稱AB為A左乘B矩陣乘法可行的條件是 A的列數(shù)與矩陣 B的行數(shù)相冋。方法： A中的第行與B中的第列對(duì)應(yīng)元素乘積之和例 2 設(shè) A= ( aij )3 s，B = ( bij)4 l ,(Cij ) m 6 且 AB =C ,確定s, m , l的值1321 1 2例3，設(shè)A=B =110求AB是否可2 2 41 1 1以求BA3 424例 4 設(shè) A=B =求 AB , BA5 7531 1 2 2 +A=B =求 AB1 1 2 2通過以上例題

8、得出以下結(jié)論(這是與通常意義下的乘法所不冋的)1 , AB=0 A,B 不一定為 02, AB不等于BA即矩陣乘法不滿足交換律(若成立則說可 交換3, AB-AC, B 不等于 C例如沁121011設(shè) A-B -C-A C -B C 但0 30 40 0數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式的區(qū)別所在！ ！定義說明，如果矩 陣A的列數(shù)等于矩 陣B的行數(shù)，貝U A 與B的乘積C中的 第i行第j列的元 素，等于矩陣A的 第i行兀素與矩陣B 的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和。并且矩 陣C的行數(shù)等于矩 陣A的行數(shù)，矩陣 C的列數(shù)等于矩陣.B的列數(shù).矩陣的乘法總讓我 們聯(lián)想是否滿足數(shù) 的乘法的運(yùn)算律。方陣乘法 矩陣的乘法滿足以下

9、運(yùn)算律1, 結(jié)合律：(AB)C=A(BC), (kA)B=k(AB)2, 分配律：(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC 例5怎樣定義矩陣的幕？ana12a13100A= a 21a22a23E= 010 求 EA 解 EA=Aa31a32a33001此時(shí)AE是否可行？只有當(dāng) E為3階方陣時(shí)，只有單位陣可與任何矩陣可交換矩陣的幕：A1 A, A2 A1A1,L ,Ak 1 AkA1,AkAl Ak l,(Ak)1 Akl,介紹以下特殊陣(共同特點(diǎn)都是方陣)1，對(duì)角陣n階方陣主元之外都是on稱為對(duì)角陣，一般它與任意n階方陣相乘不能交換，但兩個(gè)對(duì)角陣 相乘是能交換的，數(shù)與對(duì)角陣相乘，對(duì)

10、角陣相加、乘還是對(duì)角陣。再進(jìn)一步特殊化就是2、數(shù)量矩陣對(duì)于任意常數(shù) ，n階方陣叫數(shù)量矩陣。它與任意n階方陣相乘可交換，以數(shù)量矩陣乘以一個(gè)矩陣B相當(dāng)于數(shù)_乘以矩陣B3,單位陣當(dāng) =1時(shí)數(shù)量陣就是單位陣，即(AB)k ?什么時(shí)候有：(AB)k AkBk對(duì)角陣、數(shù)量陣、 單位陣的行列式是 多少？(上三角陣, 下三角陣，自己定義)記為EO1顯然E在矩陣乘法中的作用與數(shù)1在數(shù)的乘法中的是相同的即AE=EA。一般稱n階的方陣E為單位矩陣。即主元是 1，非主元 是零 例7:利用矩陣乘法，將線性方程組表為矩陣形式。n個(gè)未知量m個(gè)方程的方程組 系數(shù)矩陣、未知量列矩陣、常量列矩陣n個(gè)未知量m個(gè)方程的方程組的矩陣形；齊次方程組的矩陣形AX=BAX=O方程組可表示為 AX=B.此式為方程組矩陣型。齊次方程組可表 為 AX=0四，轉(zhuǎn)置矩陣定義4：將m n矩陣A的行與列互換所得的 n m矩陣，稱 為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為 AT轉(zhuǎn)置矩陣有如下性質(zhì)：_1 (AT )t=a2,(A+B) T= AT BT3. (kA