二次根式知識點總結(jié)及習(xí)題帶答案

1、【基礎(chǔ)知識鞏固】一、 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。二、取值范圍1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2. 二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時，沒有意義。三、二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因為二次根式（）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平

2、方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。四、二次根式（）的性質(zhì)：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。（）注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，.五、二次根式的性質(zhì)：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；

3、2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。六、與的異同點1、不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負(fù)實數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運算的結(jié)果是有差別的，而2、相同點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，=；時，無意義，而.七、二次根式的運算1、最簡二次根式必須滿足以下兩個條件（1）被開方數(shù)不含分母，即被開方的因式必須是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)中每一個因數(shù)或因式的指數(shù)都是1.2、乘法法則：=（a0

4、，b0）；積的算術(shù)平方根的性質(zhì)即乘法法則的逆用.3、除法法則： （b0，a0）；商的算術(shù)平方根的性質(zhì)即除法法則的逆用.4、合并同類項的法則：系數(shù)相加減，字母的指數(shù)不變.5、二次根式的加減（1）二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。 （2）步驟：如果有括號，根據(jù)去括號的法則去掉括號；把不是最簡二次根式的二次根式化簡；合并被開方數(shù)相同的二次根式。6、混合運算：與有理數(shù)的運算一致，先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號先算括號里面。有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算二次根式有意義

5、的條件：例1：求下列各式有意義的所有x的取值范圍。解：（1）要使有意義，必須，由得， 當(dāng)時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。（2）要使有意義，必須 的范圍內(nèi)。 當(dāng)時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。小練習(xí)：1、（1）當(dāng)x是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當(dāng)x是多少時， +在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ （3）當(dāng)x是多少時，+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當(dāng)時，有意義。2. 使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個 A0 B1 C2 D無數(shù)3已知y=+5，求的值4若+有意義，則=_5. 若有意義，則的取值范圍是 。最簡二次根式 例2：把下列各根式化為最簡二次根式：解：同類根式：例3：判斷下列各組根式是否是同類根式：分析：幾個二

6、次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡二次根式。解： 分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：分析：把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個代數(shù)式互為有理化因子，如與，均為有理化因式。解：求值：例5：計算：分析：迅速、準(zhǔn)確地進行二次根式的加減乘除運算是本章的重點內(nèi)容，必須掌握，要特別注意運算順序和有意識的使用運算律，尋求合理的運算步驟，得到正確的運算結(jié)果。解： （1）原式 化簡：例6：化簡：分析：應(yīng)注意（1）式，（2），所

7、以，可看作可利用乘法公式來進行化簡，使運算變得簡單。解：例7：化簡練習(xí)：解： 化簡求值：例8：已知：求：的值。分析：如果把a，b的值直接代入計算的計算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊徑，考慮到互為有理化因子可計算，然后將求值式子化為的形式。解：小結(jié)：顯然上面的解法非常簡捷，在運算過程中我們必須注意尋求合理的運算途徑，提高運算能力。類似的解法在許多問題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識的總結(jié)和積累。例9：在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解： 來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K1、2x24；【提示】先提取2，再用平方差公式【答案】 2（x）（x）2、x42x23【提示】先將x2看成整體，利用x2pxq（xa）（xb）其中abp，ab

8、q分解再用平方差公式分解x23【答案】（x21）（x）（x）例10、綜合應(yīng)用：如圖所示的RtABC中，B=90，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動問：幾秒后PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）一、選擇題：在以下所給出的四個選擇支中，只有一個是正確的。1、成立的條件是：ABCD2、把化成最簡二次根式，結(jié)果為：ABCD3、下列根式中，最簡二次根式為：ABCD4、已知t3 Bb3 Cb3 Db33若有意義，則m能取的最小整數(shù)值是（ ）Am=0 Bm=1 Cm=2 Dm=34若x0，則的

9、結(jié)果是（ ）A0 B2 C0或2 D25下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（ ）A B C D6如果，那么（ ）Ax0 Bx6 C0x6 Dx為一切實數(shù)7小明的作業(yè)本上有以下四題：；。做錯的題是（ ）A B C D8化簡的結(jié)果為（ ）A B C D9若最簡二次根式的被開方數(shù)相同，則a的值為（ ）A B Ca=1 Da= 110化簡得（ ）A2 B C2 D 11 ； 。12二次根式有意義的條件是 。13若m0，則= 。14成立的條件是 。15比較大?。?。16 ， 。17計算= 。18的關(guān)系是 。19若，則的值為 。20化簡的結(jié)果是 。21求使下列各式有意義的字母的取值范圍：（1） （2） （3） （4）22化簡：（1） （2） （3） （4）23計算：（1） （2） （3）（4） （5） （6）24若x，y是實數(shù)，且，求的值。二次根式（一）1C 2D 3B 4D 5A 6B 7D 8C 9C 10A110.3 12x0且x9 13m 1